中小学教育资源及组卷应用平台
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试
数学试题（三）
选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．命题：“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】
解：由全称命题的否定为特称命题得“，”的否定为：，.
故选：C
2．已知向量满足，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【详解】
，
故选：B
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
由得，
因为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
原不等式可化为，而，原不等式无解，解集为．
故选：B．
5．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
【答案】B
【详解】
因为，
由正弦定理得：，即，
解得，
因为，所以或，
故选：B.
6．已知函数在定义域内单调递减，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，.
故选：A.
7．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，其频率分布直方图如图所示，则用电量低于150度的户数为（ ）
A．70 B．18 C．30 D．24
【答案】C
【详解】
由频率分布直方图得：
用电量低于150度的频率为：（0.0024+0.0036）×50＝0.3，
所以用电量低于150度的户数为100×0.3＝30．
故选：C．
8．若的解集为且函数的最大值为－1，则实数a的值为（ ）
A．2 B．
C．3 D．
【答案】B
【详解】
因为的解集为，所以，
因为，函数的最大值为－1，
则，解得.
故选：B
9．当0A．0 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【详解】
因为0所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，
故选：B.
10．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由图象可得，解得A=2，k=1，
由正弦型图象性质可得，
所以，解得，
又，且，
所以，
所以.
故选：A
11．已知向量，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为，，，所以，因为，所以，解得，
故选：A
12．已知为锐角，为第三象限角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为为锐角，为第三象限角，所以，
因此，
从而
,
故选：B.
13．元旦放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别是、，假定人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
记事件至少有1人去北京旅游，其对立事件为：三人都不去北京旅游，
由独立事件的概率公式可得，
由对立事件的概率公式可得，
故选：B.
14．城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强．某地区2010年至2019年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．这些年该地区居民生活水平在逐步提高
B．该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加
C．这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异
D．这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大
【答案】B
【详解】
对于A，由于两条折线图都是呈上升趋势，故这些年该地区居民生活水平在逐步提高，故选项A正确；
对于B，折线图反映的是人均的情况，不能说明每一户的情况，故选项B错误；
对于C，由两条折线图之间差距可知，这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异，故选项C正确；
对于D，由两条折线图的张角在变大可知，这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大，故选项D正确．
故选：B．
15．，为不重合的直线，，，为互不相同的平面，下列说法错误的是（ ）
A．若，则经过，的平面存在且唯一
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【答案】D
【详解】
对于A，因为，所以由两平行直线确定一个平面，可知经过，的平面存在且唯一，所以A正确，
对于B，因为，，，所以，所以B正确，
对于C，设，在内作，在内作，因为，，所以，所以∥，所以∥，因为，，所以∥，因为，所以，所以C正确，
对于D，当，，，时，与可能平行，可能相交，所以D错误，
故选：D
16．如图，在正方体中，二面角的平面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意得：，，
为二面角的平面角，
，，
故选：B
17．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：函数在上单调递减，
又，，则，
由零点存在性定理可知，函数在区间上有零点.
故选：C.
18．将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，
再的图象向左平移个单位长度，可得，
所以所求得象的函数解析式为.
故选：C.
19．若一个正方体内接于表面积为4π的球，则正方体的表面积等于（ ）
A．4 B．8 C．8 D．8
【答案】B
【详解】
设正方体棱长为，球半径为，则，解得，
正方体的体对角线为，所以，解得.
所以该正方体的表面积为.
故选：B.
20．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，故由正弦定理可得：
即，
而，故，故，
由余弦定理可得，故，
故，
故选：C.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）
21．已知集合，，若，则实数的取值为__________．
【答案】0，－1，－2
【详解】
，
因为，所以，
若，则满足题意，
若，则，由得，由得，
综上，的值为0，－1，－2．
故答案为：0，－1，－2．
22．若复数z满足，则z的虚部为_____________
【答案】
【详解】
由题意，
则Z的虚部为
故答案为：
23．如图，在离地面高100的热气球M上，观测到山顶C处的仰角为 山脚A处的俯角为，已知，则山的高度BC为___________.
【答案】
【详解】
依题意可知三角形是等腰直角三角形，
所以，
，，
由正弦定理得，
所以.
故答案为：
24．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：
甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．
乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．
则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为______．
【答案】
【详解】
解：因为，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和4个数的平均数，为；
又，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为，所以
故答案为：
25．已知，若在闭区间上有两个不同的解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
若，则，
由，得，
所以在上单调递增，，
在区间上单调递减，，
若在闭区间上有两个不同的解，
则需要，解得．
三、解答题（本题共3小题，共25分）
26．已知向量，
（1）设，求的最小正周期和单调增区间；
（2）求（1）中函数在区间的取值范围.
【详解】
（1）由题设，，，
∴，则最小正周期为，
由，得，
∴的单调增区间为
（2）由（1）知：上，，
∴在，即上是增函数，在，即上是减函数，
又，
∴在区间上的取值范围是.
27．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF.
（1）求证：DF∥平面ABE；
（2）若AD＝AE＝2CF＝2，求该几何体的表面积.
【详解】
（1）证明：因为AE∥CF，CF 平面ABE，所以CF∥平面ABE，
因为四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，
由于CD 平面ABE，所以CD∥平面ABE，
又CF∩CD＝C，所以平面CDF∥平面ABE，
又DF 平面CDF，所以DF∥平面ABE.
（2）由AE∥CF，知A，C，F，E四点共面，
连接AC，于是该几何体是由两个相同的四棱锥B﹣ACFE，D﹣ACFE构成的，
由题意知，S△ABE＝，S△ABC＝，S△BCF＝，
在△BEF中，EF＝，BE＝，BF＝，S△BEF＝，
所以该几何体的表面积为2×（S△ABE+S△ABC+S△BCF+S△BEF）＝.
28．已知函数
（1）若函数在单调递增，求的取值范围；
（2）若对于任意恒有成立，求实数的取值范围.
【详解】
（1）由题意，函数，
①当时，当，可得在单调递增成立；
②当时，当且时，解得，
可得在单调递增，
综上可得，实数的取值范围为.
（2）对于任意恒有，即，
①由（1）知时，函数在上单调递增，
又由，，所以，
即，解得，所以；
②当时，可得，
则，，
当时，由，即成立；
当时，由，即，解得成立，
所以成立
③当时，可得，，
由，可得成立；
④当时，可得，所以，，
由，解得不符合，
综上可得，实数的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
