2021-2022学年度北师大版八年级数学上册教案 7　二次根式（3课时）

7　二次根式
第1课时　二次根式的概念及性质
一、基本目标
1．了解二次根式及最简二次根式的概念．
2．会化简二次根式．
3．理解并掌握二次根式的性质．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式及最简二次根式的概念．
【教学难点】
化简二次根式．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、≥0，也就是说二次根式具有双重非负性.
2．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.
3．乘法法则的推广：＝··….
4．下列式子中，不是二次根式的是(　B　)
A． B．
C． D．
5．计算：＝21；＝.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】当x________，＋在实数范围内有意义．
【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？
【解答】要使＋在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．
【例2】化简下列二次根式．
(1)；　(2)(a≥0，b≥0)；
(3).
【互动探索】(引发学生思考)如何化简二次根式？什么样的二次根式是最简二次根式？
【解答】(1)＝＝×＝4.
(2)＝＝·＝2a.
(3)＝＝6×13×3＝234.
【互动总结】(学生总结，老师点评)①若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．②将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列二次根式中的最简二次根式是(　A　)
A． B．
C． D．
2．下列各式正确的是(　D　)
A．＝×
B．＝×
C．＝×
D．＝×
3．把化成最简二次根式是10.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式
请完成本课时对应练习！
第2课时　二次根式的四则运算
一、基本目标
1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的．
2．会进行简单的二次根式乘除以及加减运算．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的四则运算．
【教学难点】
合并同类二次根式．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P43～P45的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．分别把下面两个式子：＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)等号的左边和右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：·＝(a≥0，b≥0)；除法法则：＝(a≥0，b＞0).
2．二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．
3．计算：
(1)×；　(2)；　(3)－；　(4)(2－)2.
解：(1)3.　(2).　(3).
(4)22－4.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】计算：
(1)2－6；　(2)－＋；
(3)＋6－2x.
【互动探索】(引发学生思考)(1)直接把二次根式合并．(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并．
【解答】(1)2－6＝－4.
(2)－＋＝4－2＋＝3.
(3)＋6－2x＝2＋3－2＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．计算3－的值是(　D　)
A．2 B．3
C． D．2
2．计算×的结果是(　B　)
A． B．
C．3 D．5
3．若最简二次根式与可以合并，则a＝5.
4．计算：
(1)；　(2)××；
(3)－；　(4)2＋3.
解：(1).　(2)30.　(3)2.　(4)16.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】计算：(2＋3－)(2－3＋)．
【互动探索】将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简．
【解答】原式＝[2＋(3－)][2－(3－)]＝(2)2－(3－)2＝12－(18－12＋6)＝12－12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式的四则运算
请完成本课时对应练习！
第3课时　二次根式的混合运算
一、基本目标
正确进行二次根式的四则混合运算．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的混合运算．
【教学难点】
运用二次根式的混合运算解决问题．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P46～P47的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
计算：
(1)×；
(2)(5＋)(5－2)；
(3)(2＋3)×(2－3)；
(4)(4＋3)2.
解：(1)－15.　(2)19.　(3)－6.
(4)61＋24.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(≈1.414)
【互动探索】(引发学生思考)可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．
【解答】贺卡的周长为4×(＋)＝4×(12＋13)＝4×25≈141.4(厘米)．
∵1.5米＝150厘米，150>141.4，
∴李欣的彩带够用．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．
活动2　巩固练习(学生独学)
计算：
(1)－；
(2)－＋；
(3)×；
(4)2＋－.
解：(1).　(2).　(3)10.　(4)7＋2.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】已知a＝，b＝，求的值．
【互动探索】要求代数式的值，可以先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．
【解答】∵a＝＝＝＋2，b＝＝＝－2，
∴a＋b＝2，ab＝1.
∴＝＝＝＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式
请完成本课时对应练习！