2021-2022学年度北师大版八年级数学上册 2　一次函数与正比例函数（1课时）教案

2　一次函数与正比例函数
一、基本目标
1．了解一次函数、正比例函数的一般形式．
2．运用一次函数、正比例函数知识解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数、正比例函数的一般形式．
【教学难点】
探索实际问题中的一次函数、正比例函数关系．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P79～P80的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．若两个变量x、y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数，即y＝kx(k≠0).
2．下列函数中，是一次函数的是(　B　)
A．y＝8x2 B．y＝x＋1
C．y＝ D．y＝
3．下面两个变量是正比例函数关系的是(　D　)
A．正方形的面积和它的边长
B．变量x增加，变量y也随之增加
C．矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长
D．圆的周长与它的半径
4．已知y＝(k－1)x＋k2－1，当k≠1时，它是一次函数；当k＝－1时，它是正比例函数．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4；　(2)y＝5x2－6；
(3)y＝2πx；　　(4)y＝－；
(5)y＝；　　(6)y＝8x2＋x(1－8x)．
【互动探索】(引发学生思考)一次函数的表达式是什么形式？正比例函数在一次函数形式的基础上又有什么特别条件？
【解答】(1)是一次函数，不是正比例函数．
(2)不是一次函数，也不是正比例函数．
(3)是一次函数，也是正比例函数．
(4)是一次函数，也是正比例函数．
(5)不是一次函数，也不是正比例函数．
(6)是一次函数，也是正比例函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
【例2】已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)该函数可能是正比例函数吗？若是正比例函数，求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)要使函数是一次函数，则x的指数和系数应分别满足什么条件？若是正比例函数，则还需加上什么条件？
【解答】(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．
(2)若y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是正比例函数，则m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0，故m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)若函数y＝kxm＋b是一次函数，则k≠0，且自变量的次数m＝1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．对于函数y＝2x－1，当自变量增加m时，相应的函数值增加(　A　)
A．2m B．2m－1
C．m D．2m＋1
2．已知一次函数y＝2x＋1，当x＝0时，函数y的值是1.
3．乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米．一列火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米/小时，则该列火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式是s＝600－58t.
4．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5元，小红所付款y(元)与购买笔记本的本数x(本)之间的关系；
(2)有一个长为120米、宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，y与x之间的关系．
解：(1)y＝2.5x，既是一次函数，又是正比例函数．
(2)y＝－x＋20，是一次函数，但不是正比例函数．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：
甲 乙
矿石 10 4
煤 4 8
煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除需原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．
(1)写出m与x的关系式；
(2)写出y与x的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)
【互动探索】(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x变化时，那么乙产品的产量m将如何变化？
(2)要写出y与x的函数关系式，题中的等量关系是什么？
【解答】(1)因为4m＋10x＝300，所以m＝.
(2)生产1吨甲产品获利为4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利为5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以y＝600x＋1000m.将m＝代入，得y＝600x＋1000×，即y＝－1900x＋75 000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
若两个变量x、y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数，即y＝kx(k≠0)．
请完成本课时对应练习！