2021-2022学年度北师大版八年级数学上册 4　一次函数的应用（3课时）教案

4　一次函数的应用
第1课时　借助一次函数表达式解决一些简单问题
一、基本目标
会用待定系数法求一次函数的表达式，并能运用一次函数知识解决简单的实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
会利用待定系数法确定一次函数的表达式．
【教学难点】
通过求一次函数的表达式来解决简单的实际问题．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P89的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示．
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
解：(1)v＝t.
(2)当t＝3时，v＝×3＝.所以下滑3秒时物体的速度是 m/s.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】求正比例函数y＝(m－4)xm2－15的表达式．
【互动探索】(引发学生思考)本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．
【解答】由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.
【例2】已知一次函数的图象经过(0,5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
【互动探索】(引发学生思考)先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0,5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．
【解答】设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．已知正比例函数y＝kx，当x＝－3时，y＝6.那么该正比例函数应为(　B　)
A．y＝x B．y＝－2x
C．y＝－x D．y＝2x
2．一次函数的图象经过点(2,1)和(－1，－3)，则它的表达式为(　D　)
A．y＝x－ B．y＝x－
C．y＝x＋ D．y＝x－
3．已知y＝kx－4，当x＝－2时，y＝0，则k＝－2.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克 售价y/元
1 8＋0.4
2 16＋0.8
3 24＋1.2
4 32＋1.6
5 40＋2.0
… …
【互动探索】从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍……从中怎样得到函数关系式？
【解答】由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
确定一次函数表达式
请完成本课时对应练习！
第2课时　借助单个一次函数图象解决简单实际问题
一、基本目标
通过运用一次函数知识解决实际问题，及其与一元一次方程的关系，进一步加深理解并掌握所学知识．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握单个一次函数图象的应用．
【教学难点】
了解一次函数与一元一次方程的关系．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P91～P92的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题：
(1)水库干旱前的蓄水量是多少？
(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
(3)蓄水量小于400万m3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
解：观察图象可知：
(1)当t＝0，v＝1200，因此水库干旱前的蓄水量是1200万m3.
(2)当t为10时，蓄水量V约为1000万m3.当t为23时，蓄水量V约为740万m3.
(3)当V等于400万m3时，对应的t的值约为40天，因此干旱40天后将发生严重警告．
(4)当V为0时，对应的t的值为60，所以预计干旱60天水库将干涸．
2．看图填空：
(1)当y＝0时，x＝－2；
(2)直线对应的函数表达式是y＝0.5x＋1；
(3)一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？
解：一元一次方程0.5x＋1＝0的解是一次函数的函数值为0时自变量的值．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3
【互动探索】(引发学生思考)观察图象可得，当t＝0时，V＝1200；当t＝50时，V＝200.所以从干旱开始到第50天，蓄水量减少了1200－200＝1000(万米3)，则每天减少1000÷50＝20(万米3)．
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)要认真观察图象，结合题意，弄清各点所表示的意义．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，图象如图所示，则此销售人员的销售量为3千件时的月收入是1400元．
2．一次函数y＝kx＋b的图象与y轴相交于点(0，－3)，且方程kx＋b＝0的解为x＝2，试求这个一次函数的表达式．
解：由题意可知，b＝－3，且函数图象与x轴交点坐标为(2,0)，所以可得2k－3＝0，解得k＝，故一次函数表达式为y＝x－3.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为(　　)
A．x＝－1 B．x＝2
C．x＝0 D．x＝3
【互动探索】首先由函数经过点(0,1)可得b＝1，再将点(2,3)代入y＝kx＋1，可求出k的值为1，从而可得出一次函数的表达式为y＝x＋1，再求出方程x＋1＝0的解为x＝－1.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数的关系式．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一次函数的应用
请完成本课时对应练习！
第3课时　借助两个一次函数图象解决简单实际问题
一、基本目标
1．会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系，处理一些较为复杂的问题，领会数形结合的思想．
2．经历对实际问题建立数学模型的过程，体验数形结合的作用和一次函数模型的价值．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握两个一次函数图象的应用．
【教学难点】
能利用函数图象解决实际问题．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P93～P95的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，图象l甲、l乙分别表示甲、乙两名运动员在校运动会800米比赛中所跑的路程s(米)与时间t(分)之间的关系，则他们跑的速度关系是(　A　)
A．甲跑的速度比乙跑的速度快
B．乙跑的速度比甲跑的速度快
C．甲、乙两人跑的速度一样快
D．图中提供的信息不足，无法判断
2．如图，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量(　D　)
A．小于3 t B．大于3 t
C．小于4 t D．大于4 t
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题．
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式；
(2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同；
(3)3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多长时间？
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据图象确定点的坐标，再运用待定系数法确定函数表达式；(2)根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同，可以得到一个一元一次方程，解此方程可得注水时间；(3)由图可知，乙蓄水池的水深为4米，乙蓄水池水上升的速度为1米/小时，由此求得答案即可．
【解答】(1)设它们的函数关系式为y＝kx＋b.根据甲的函数图象可知，当x＝0，y＝2；当x＝3时，y＝0，将它们分别代入所设函数关系式y＝kx＋b中，得k＝－，b＝2，所以甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y＝－x＋2.同理可得，乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y＝x＋1.
(2)由题意，得－x＋2＝x＋1，解得x＝.故当注水小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同．
(3)4÷(3÷3)＝4(小时)．所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需要4小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题首先根据图象确定一次函数的表达式．然后结合方程思想解题．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者比慢者每秒快(　B　)
A．1 m B．1.5 m
C．2 m D．2.5 m
2．某公司为用户提供网费的两种收费方式如下表：
收费标准/方式 基础费用(单位：元/月) 单价(单位：元/分)
A 0 0.1
B 20 0.05
若设用户上网的时间为x分钟，A、B两种收费方式的费用分别为yA(元)、yB(元)，它们的函数图象如图所示，则当上网时间多于400分钟时，选择B种方式省钱．(填“A”或“B”)
3．王教授和孙子小强经常一起爬山．有一天，小强让爷爷先走，然后追赶爷爷，图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时)．
(1)小强让爷爷先走了多少米？
(2)山顶离山脚的距离为多少米？谁先爬上了山顶？
(3)小强经过多长时间追上了爷爷？
解：(1)由图象可知，小强让爷爷先走了60米．
(2)由y轴纵坐标可知，山顶离山脚的距离为300米，由图象可知小强先爬上了山顶．
(3)根据函数图象可得，小强的速度为30米/分，240米处追上爷爷，两条线段的交点的横坐标即为相遇时的时间，即为240÷30＝8(分钟)．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】已知一次函数y＝x＋a和y＝－x＋b的图象都经过点A(－4,0)，且与y轴分别交于B、C两点，求△ABC的面积．
【互动探索】充分利用数形结合的方法，求出点B、C的坐标，求得BC的长，进而求出面积．
【解答】∵y＝x＋a与y＝－x＋b的图象都过点A(－4,0)，∴×(－4)＋a＝0，－×(－4)＋b＝0.∴a＝6，b＝－2.∴两个一次函数分别是y＝x＋6和y＝－x－2.y＝x＋6与y轴交于点B，则B(0,6)；y＝－x－2与y轴交于点C，则C(0，－2)．∴S△ABC＝BC·AO＝×(6＋2)×4＝16.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题要先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与x轴、y轴交点的坐标．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
两个一次函数的应用
请完成本课时对应练习！