2021-2022学年度北师大版八年级数学上册 6　二元一次方程与一次函数（1课时）教案

6　二元一次方程与一次函数
一、基本目标
1．理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组．
2．在对作图象解法与代数解法的对比中，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化．
3．在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．
二、重难点目标
【教学重点】
二元一次方程组与两直线交点坐标之间的关系．
【教学难点】
方程和函数之间的对应关系．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P123～P124的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．以方程x＋3y＝2的解为坐标的所有点都在一次函数y＝－x的图象上．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数图象相同，是一条直线.
2．方程组有0个解；方程组有无数个解；方程组有1个解．
3．两条直线互相平行，有0个交点，两条直线重合，有无数个交点；两条直线相交，有1个交点．
4．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】一次函数y＝5－x与y＝2x－1的图象的交点为(2,3)，则方程组的解为________.
【互动探索】(引发学生思考)观察一次函数y＝5－x与y＝2x－1与方程组有什么关系？它们的交点与方程组的解又有什么关系？
【分析】方程组的解就是直线y＝5－x与直线y＝2x－1的交点坐标．∵两直线的交点坐标为(2,3)，∴方程组的解为
【答案】
【互动总结】(学生总结，老师点评)二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成的，而每个一次方程的图象都是一条直线．两条直线的交点坐标表示该方程组中两个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x、y的方程组的解为(　A　)
A． B．
C． D．
2．方程组的解为，则直线y＝－x＋15和y＝x－7的交点的坐标是(11,4).
3．已知方程组的解是确定一次函数y＝x＋与y＝x－m图象交点的坐标．
解：将y＝x＋变为－3x＋4y＝6，y＝x－m变为2x－3y＝m，所以直线y＝x＋与y＝x－m交点的坐标即是原方程组的解中x、y的对应值，因此两个一次函数图象的交点坐标是(2,3)．
4．若正比例函数y＝－2x的图象与一次函数y＝x＋m的图象交于点A，且点A的横坐标为－3.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)直接写出方程组的解．
解：(1)将x＝－3代入y＝－2x，得y＝6，则点A坐标为(－3,6)．将A(－3,6)代入y＝x＋m，得－3＋m＝6，解得m＝9，所以一次函数的解析式为y＝x＋9.
(2)方程组的解为
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b的图象过点B，与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点C，与直线y＝kx交于点P，且PO＝PA．
(1)求a＋b的值；
(2)求k的值；
(3)D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE＝2EF，求D点坐标．
【互动探索】(1)a、b满足什么关系？(2)设P(x，y)，怎样表示PO和PA？点P还满足什么关系？(3)设点D(x，－x＋2)，则点E、F怎么表示？DE和EF呢？
【解答】(1)根据题意，得
解得
∴a＋b＝－＋2＝.
(2)设P(x，y)，则点P即在一次函数y＝ax＋b上，且在直线y＝kx上．
由(1)，得一次函数y＝ax＋b的解析式是
y＝－x＋2.
∵PO＝PA，
∴解得
(3)设点D，则E、F(x,0)．
∵DE＝2EF，
∴－x＋2－x＝2×x，解得x＝1.
则－x＋2＝－×1＋2＝，
∴D.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．二元一次方程组的解是对应的两条直线的交点坐标．
2．用图象法解二元一次方程组的步骤：
(1)变形：把两个方程化为一次函数的形式；
(2)作图：在同一坐标系中作出两个函数的图象；
(3)观察图象，找出交点坐标；
(4)写出方程组的解．
请完成本课时对应练习！