2021-2022学年度北师大版八年级数学上册2 定义与命题教案 （2课时）

2　定义与命题
第1课时　定义与命题
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式．
2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例．
【过程与方法】
通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
【情感态度与价值观】
使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
二、重难点目标
【教学重点】
定义、命题的概念．
【教学难点】
真假命题的判断．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P165～P166的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
2．判断一件事情的句子，叫做命题.
3．一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成：“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的是条件；“那么”引出的是结论.
4．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．
5．下列语句中，属于定义的是(　D　)
A．两点确定一条直线
B．平行线的同位角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)对顶角相等；
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(3)同角或等角的余角相等．
【互动探索】(引发学生思考)如何区分命题的条件和结论？如何改写一个命题？
【解答】(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
(2)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．
(3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)命题改写的原则：不改变命题的原意，为了改写后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减词语或调换词序；(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项)部分和结论部分，再将其改写为“如果……那么……”的形式：“如果”后面跟的是已知事项，“那么”后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列语句中，不是命题的是(　C　)
A．在同一平面内的两条直线不平行就相交
B．邻补角的角平分线互相垂直
C．过直线l外一点P，作直线a∥l
D．在同一平面内，若a∥b，a与c相交，则b与c也相交
2．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)能被2整除的数必能被4整除；
(2)异号两数相加得零．
解：(1)如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除．
(2)如果两个数异号，那么这两个数相加得零．
3．下列命题是真命题吗？若不是，请举出反例．
(1)只有锐角才有余角；(2)若x2＝4，则x＝2；
(3)a2＋1≥1；(4)若|a|＝－a，则a<0.
解：(1)真命题．　(2)假命题，如：x＝－2.
(3)真命题．　(4)假命题，如：a＝0.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题请举一个反例加以说明．
(1)两个角的和是180°，则这两个角是邻补角；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(3)如果x>y，那么x2>y2.
【互动探索】如何判断一个命题的真假？举出的反例有什么特点？
【解答】(1)假命题．例如：两条直线平行，同旁内角的和为180°，但它们不是邻补角．
(2)假命题．例如：等腰梯形中，两底互相平行，两腰相等，但它不是平行四边形．
(3)假命题．例如：x＝2，y＝－3，x>y，但x2【互动总结】(学生总结，老师点评)识别命题真假的关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确，可以举“特例”验证，特例成立还不能证明其为真命题，要由特殊形式转化为一般形式，再用推理的方法证明结论正确；若特例不成立，则原命题一定是假命题．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
定义与命题
请完成本课时对应练习！
第2课时　定理与证明
一、基本目标
【知识与技能】
理解公理和定理的概念，并能对公理与定理加以区别．
【过程与方法】
理解证明命题的思路、书写的格式，使学生对推理论证有初步的认识，从而培养思维的条理性和逻辑性．
【情感态度与价值观】
在学习证明的过程中，培养严谨的学习习惯和生活态度．
二、重难点目标
【教学重点】
公理、定理的概念．
【教学难点】
证明的过程．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P168～P170的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．公理：它是公认的真命题，作为证明的出发点和依据．
2．证明：演绎推理的过程称为证明．
3．定理：经过证明的真命题称为定理．
4．下列说法正确的是(　B　)
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理必须要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
5．下列平行线的判定方法中是公理的是(　B　)
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】求证：直角三角形的两个锐角互余．
【互动探索】(引发学生思考)这个命题的条件和结论分别是什么？文字证明题基本格式是什么？
【解答】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A与∠B互余．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴∠A与∠B互余．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题首先根据题意将文字语言变成符号语言，画出图形，最后再经过分析论证，并写出证明的过程．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．请你完成定理“等角的补角相等”．
解：已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角，
∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2.
又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
2．请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”．
解：已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
求证：a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a.
证明：假设a＋b≤c，a＋c≤b，b＋c≤a，
则有a＋b＋a＋c＋b＋c≤a＋b＋c，
整理可得a＋b＋c≤0，显然与已知矛盾，
假设不成立，
∴三角形的任意两边之和大于第三边．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC．求证：OE⊥OF.
【互动探索】要证OE⊥OF，只需证∠EOF＝90°，而∠EOF＝∠EOB＋∠BOF，因此只需证∠EOB＋∠BOF＝90°.由OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC可得∠EOB＋∠BOF＝(∠AOB＋∠BOC)＝90°，所以得证OE⊥OF.
【证明】∵OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，∴∠EOB＝∠AOB，∠BOF＝∠BOC．又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，∴∠EOB＋∠BOF＝(∠AOB＋∠BOC)＝×180°＝90°，即∠EOF＝90°，∴OE⊥OF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
命题
请完成本课时对应练习！