2021-2022学年度北师大版九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定教案 （3课时）

2　矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
一、基本目标
1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
2．经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握矩形的性质定理．
【教学难点】
会用矩形的性质定理进行推导证明．
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4．判断下列说法是否正确：
(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．(　?　)
(2)平行四边形就是矩形．(　?　)
(3)平行四边形具有的性质，矩形也具有．(　?　)
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，求矩形对角线的长．
【互动探索】(引发学生思考)矩形中含有直角三角形→判断AB与BD的数量关系→需确定∠ODA的度数．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°，
∴∠ODA＝∠OAD＝×(180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5(cm)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是(　B　)
A．对边相互平行 B．对角线相等
C．对角线相互平分 D．对角相等
2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为(　B　)
A．3∶2 B．2∶1
C．1.5∶1 D．1∶1
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E为AB、AC的中点．则下列结论中错误的是(　D　)
A．CD＝AD B．∠B＝∠BCD
C．∠AED＝90° D．AC＝2DE
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长．
【互动探索】在Rt△ABD中，已知AB＝1，要求AD的长，需先求出BD的长，由矩形的性质及∠AEB＝15°，应怎样转化，建立起它们之间的联系，才能得出结论？
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD，
∴∠E＝∠DAE.
又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE.
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝2，
∴AD＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是应用转化思想，将CE＝BD转化为AC＝CE.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应训练！
第2课时　矩形的判定
一、基本目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握矩形的判定方法及其证明．
【教学难点】
定理的证明方法及运用．
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P14～P16的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．对角线相等的平行四边形是矩形．
2．有三个角是直角的四边形是矩形．
3．能够判断一个四边形是矩形的条件是(　C　)
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等
D．对角线垂直且相等
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．
【互动探索】(引发学生思考)矩形的判定方法有哪些？
【证明】∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC，
∴OA＝OB，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)矩形的判定方法有多种，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形是一种常用的判定方法．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列说法错误的是(　D　)
A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有两个角是直角的四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是答案不唯一，如：∠A＝90°.(填上你认为正确的一个答案即可)
3．如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：四边形BFDE为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB.∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求□ABCD的面积．
【互动探索】结合△ABO是等边三角形，能判定四边形ABCD是什么特殊四边形？
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，
∴AC＝BD＝2OA＝8，
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC＝90°，
∴由勾股定理，得BC＝＝4，
∴□ABCD的面积是BC×AB＝4×4＝16.
【互动总结】(学生总结，老师点评)先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应训练！
第3课时　矩形的性质与判定的运用
一、基本目标
1．通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．
2．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力．
二、重难点目标
【教学重点】
进一步掌握矩形的性质及判定的应用．
【教学难点】
能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P16～P18的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，则∠DAO＝30°，AC＝5cm，S矩形ABCD＝cm2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．
【互动探索】(引发学生思考)矩形性质→BE与OE的数量关系→确定△ABO的形状→得出AE的长度．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°.
∵ED＝3BE，∴BE＝OE.
又∵AE⊥BD，∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，即△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB＝30°，∴AE＝AD＝×6＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是利用题中的隐含条件(OA＝OB)及ED＝3BE、AE⊥BD得到△ABO是等边三角形．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为(　D　)
A．10 cm　　 B．8 cm
C．6 cm　　 D．5 cm
2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　B　)
A．AB＝BE B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝5.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
【互动探索】已知两个邻补角的角平分线能得到什么结论？结合已知条件，要证四边形ADCE是矩形，应选择矩形的哪个判定定理？
【证明】∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°.
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE为矩形．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应训练！