黑龙江省绥化市第九中学2013届高三第一次月考文科数学试卷

黑龙江省绥化市第九中学2013届高三第一次月考文科数学试卷
（时间：120分钟，满分：150分）
一选择题：（共12小题每题5分，合计60分）
1.设全集，集合则集合=（ B ）
A． B． C． D．
2. 已知实数满足的最大值为 （ C ）
A．—3 B．—2 C．1 D．2
3.设是等差数列，且则这个数列的前5项和S5=( D )
A．10 B．15 C．20 D．25
4. 若，且是第二象限角，则的值为 ( D )
A． B． C． D．
5. 设，则( C )
A． B． C． D．
6. 下列说法中，正确的是 （ Ｂ ）
A. 命题“若，则”的否命题是假命题.
B.设为两个不同的平面，直线，则是 成立的充分不必要条件.
C.命题“”的否定是“”.
D.已知，则“”是“”的充分不必要条件.
7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象( D )
A．向左平移单位 B．向右平移单位 C．向左平移单位 D．向右平移单位
8. 若函数的图像在x=1处的切线为，则上的点到圆上的点的最近距离是( Ｃ )
A． B． C． D．1
9. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，等于（ C ）
A. B. C. D. 4
10. 函数满足，当时，，则在上零点的个数为　(　Ｂ)
A．1005 B．1006 C．2011 D．2012
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且，若点P在椭圆上，且满足，则该椭圆的离心率等于(A)
A． B． C． D．
12. 若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”。下列方程：①②③④对应的曲线中存在“自公切线”的有( C )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二填空题：（共4小题每题5分，合计20分）
13. 已知函数, 则_____
14. 已知点是圆：内一点，则过点M的最长弦所在的直线方程是_______ x-y-1=0
15. 已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是
16. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=______-16
三解答题：（共5道大题，每题14分，合计70分）
17. 已知向量 与 共线，设函数。
（1）求函数的周期及最大值；
（2）已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有，边 BC＝，，求 △ABC 的面积．
（1）因为，所以
（2）
┄┄┄┄┄┄┄┄14分
18设是一个公差为2的等差数列，成等比数列.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 数列满足，设的前n项和为，求.
解：（Ⅰ）由a1,a2,a4成等比数列得：（a1+2）2=a1(a1+6).
解得a1＝2…4分　　数列{an}的通项公式是an=2n(n∈N*)
（Ⅱ）=n·22n?=n·4n(n∈N*)Sn=1·4+2·42+…+n·4n　①4Sn=1·42+…+（n-1）4n+n4n+1②, ①-②得-3Sn=-n·4n+1?，即Sn=
19如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，分别为、、中点，．
（Ⅰ）求证：EF//平面PCD.
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）求多面体的体积．
（Ⅰ）证明：为矩形
又分别为中点
（Ⅱ）证明：
为PD边的中点。
又
（Ⅲ）
2０. 已知函数．
（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
（2）求的单调区间；
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，
单调递减区间是． ---------8分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，
单调递减区间是． --------10分
２１. 如图21，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
第21图
21．解： (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.
(2)( 方法一)a2＝4c2，b2＝3c2.
直线AB的方程可为y＝－(x－c)．
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，
得B.
所以|AB|＝·＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB
＝a·c·＝a2＝40，
解得a＝10，b＝5.
(方法二)设|AB|＝t.
因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，
t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.