2021-2022学年度北师大版七年级数学上册 2.1 有理数（教案）

2.1　有理数
1．了解正数与负数是从实际需要中产生的，并会判断一个数是正数还是负数．
2．会用正、负数表示具有相反意义的量．
3．在负数概念的形成过程中，培养学生的观察、归纳与概括的能力．
教学重点：
1．理解并掌握有理数的概念．
2．会用正、负数表示生活中具有相反意义的量．
教学难点：有理数的分类．
学情分析
认知基础：学生在小学已经学习并掌握了非负有理数的意义，对应用非负有理数表示生活中的量比较熟悉，并且已经熟练地掌握了非负有理数的四则运算法则及运算律，能规范条理地表述运算过程，初步具有了有条理地思考和书面表达能力，这些都为本章的学习奠定了基础．
活动经验基础：北师大版的小学数学重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系，教材对重要的数学内容都是按照“问题情境——建立模型——解释与应用”的叙述方式编排的，学生在学习中掌握了基本的数学知识和方法，形成了良好的数学思维习惯和应用意识，有了一定的解决问题的能力，同时学生在研究具体问题的过程中自主地参与、探究和交流，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力．
教学方法
创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索．通过小组交流合作的形式，构建以教师为主导，学生为主体自主探索的课堂学习环境，使学生在探索合作的过程中掌握知识，提高技能，形成自己的观点．
一、引入新课
设计说明
教材例题贴近学生生活实际，生动活泼，通过对该例设置问题串，由浅入深，引导学生在轻松熟悉的气氛中进行思考，既复习旧知，作好新知学习的铺垫，同时鼓励学生大胆想象，充分进行思考、交流．
阅读教材本节起始部分的内容，回答下列问题：
问题1：你能很快地为这两个队排一下名次吗？你的依据是什么？
学生排名次的依据可能不唯一，如：数笑脸的个数、计算总得分等，只要学生能充分思考，正确表达出排名次的依据，就进行表扬．
问题2：在完成表格后，你有什么发现？
学生通过填“答错题的得分”这一栏，发现“－3”“－2”，这种数字是我们没有学过的数，它是什么数？表示什么意义？和我们以前学过的数有什么关系？——引入新课．
教学说明
以上问题从学生已有的知识入手，以问题为载体，自然理顺学生解决问题的思路，问题1和问题2对于开拓学生解题思维有很大帮助，使个性化思维得到鼓励和发展，同时引入了新课的学习．实践证明，该设计调动了学生的积极性，成功引入了新课．
二、讲授新课
1．达标导学，初探新知
通过上面的问题我们看到，生活中的有些量用我们以前学过的数不能表示了，这些比0小的数，可以用带有“－”的数来表示．比如－10，我们读作“负10”．
对于比0大的数，我们用带有“＋”的数来表示．如＋10，读作“正10”．
注意：“＋”常常可以省略．
问题：“－”可以省略吗？为什么？
学生回答：不可以省略．“＋”和“－”是表示数的性质符号，“－”省略了，数的性质就改变了．
2．小组讨论，理解新知
生活中你见过带有“－”的数吗？
设计说明
安排这一活动的目的，主要为了鼓励学生自己寻找生活中的例子，并在寻求实例的过程中体会负数的引入是实际生活的需要．同时，可以根据实际需要，选择一些学生熟悉的实例展开讨论．如，零上温度与零下温度，海拔高于海平面的高度与海拔低于海平面的高度，等等．
像5,1.2，…这样的数叫做正数，它们都比0大．
在正数前面加上“－”的数叫做负数，如－10，－3，…
问题1：正数和负数有什么关系？
根据学生关于具有相反意义的量的讨论，使学生通过对数学模型的观察、归纳、概括、交流等数学活动，进一步理解怎样用正、负数表示现实生活中具有相反意义的量，掌握正、负数的意义，培养学生的正、负数的数感．
问题2：0是正数还是负数？
学生的回答会多种多样，甚至有的学生无法回答，这里教师明确告诉学生，引入负数以后，“0”的意义就不仅仅表示“没有”了，它还是正、负数的分界，是“基准”．
问题3：带“－”的数一定是负数吗？
该问题学生回答有一定困难．对于正数和负数的概念，要提醒学生注意不要认为带“＋”的数就是正数，带“－”的数就是负数．如－a不一定是负数．但此处不易引申太多．
3．例题处理，巩固新知
设计说明
通过例题的教学，要求学生能正确地表达出负数所表示的实际意义以及用正、负数表示相反意义的量；同时，了解并不是所有的基准都必须为0.
教材实例(例题)：
问题1：在以上3道题中正数、负数分别表示什么量？
问题2：每道题的基准分别是什么？
问题1根据学生的回答强调，习惯上人们经常把零上的温度、上升的高度、向东的行程等规定为正的，而把零下的温度、下降的高度、向西的行程等与前面意义相反的量规定为负的；问题2要求学生注意并不是所有的基准都必须为0，如第1小题的基准为转盘静止不动，第2小题的基准为一只乒乓球的标准质量，第3小题的基准为10 kg.
练习题组
设计说明
为了让学生更好地理解巩固正数和负数是表示一对意义相反的量，在例题讲解完成后及时补充练习，同时通过填空题的形式规范书写格式，包括正、负数的书写及填空题的单位．通过该练习培养学生严谨规范地书写．练习完成后教师可提问学生各题中互为相反意义的量分别是什么？基准分别是什么？帮助学生更全面地理解本节的重点．
(1)海平面上的高度记为正，海平面下的深度记为负，则海平面下150米记作________；
(2)盈利100元记作＋100元，那么亏损100元记作________；
(3)如果零上5 ℃记作＋5 ℃，那么零下5 ℃记作________；
(4)某仓库运进面粉7.5吨记作＋7.5吨，那么运出3.8吨应记作________；
(5)东西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示________，物体原地不动记为________；
(6)向南走－4米，实际上是向________走了________米．
4．小组活动，再探新知
现在大家分组活动，列举我们已学过的数，然后将列举的所有数适当地分成几组，并说明这样分组的理由．
有理数的分类：
有理数(按定义)　　　有理数(按性质)
整数和分数统称有理数．
设计说明
有理数的概念是本节课的重点内容，通过该题组使学生充分理解有理数的分类．
把下列各数填入相应数集里：3，－2,3.5，－，0，－3.14，－10%
正数集合：﹛　　　　　…﹜；负数集合：﹛　　　　　…﹜；
整数集合：﹛　　　　　…﹜；有理数集合：﹛　　　　　…﹜.
教学说明
本过程通过初探、理解、巩固、再探四个环节，使学生在教师的引导下，通过问题的探讨、交流、合作，自主地解决问题，巩固知识．同时练习题组的设计使学生的新知得到了及时地巩固掌握，教学效果良好．
三、巩固提高
设计说明
通过三个练习，使学生对本节课学习过程中易出错和模糊的概念从不同题型加以理解，掌握解题技巧．
1．小学学过的小数是不是有理数？属于分类中的哪一类？
2．判断下列说法是否正确：
(1)一个有理数不是整数就是分数；
(2)一个有理数不是正数就是负数；
(3)一个整数不是正整数就是负整数；
(4)一个分数不是正分数就是负分数．
3．议一议：
一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%.
(1)±10%的含义是什么？
(2)请你算出该商品的最高价格和最低价格；
(3)如果以标准价格为标准，超过标准记作“＋”，低于标准记作“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？
答案：1．有限小数和无限循环小数都是有理数，属于分数；无限不循环小数不是有理数．
2．第(1)，(4)说法正确．
3．(1)±10%的含义是在标准的基础上加价或降价的幅度不超过10%.
(2)最高价格为200＋200×10%＝220(元)；最低价格为200－200×10%＝180(元)．
(3)因为220－200＝20(元)，200－180＝20(元)，所以这件商品加价或降价的幅度不超过20元，所以这件商品价格的浮动范围又可以表示为±20元．
中考链接：
1．在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了8米，记作“＋8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作(　　)
A．＋2米 B．－2米 C．＋18米 D．－18米
2．如果水库的水位高于标准水位3 m时，记作＋3 m，那么低于标准水位2 m时，应记作(　　)
A．－2 m B．－1 m C．＋1 m D．＋2 m
答案：1．B　2．A
教学说明
本过程仍然先让学生独立思考，再进行小组交流的方式进行展开．课堂上鼓励学生大胆发言，用自己的语言说明理由，进一步培养提高学生的思维表达能力．练习1对于有限小数和无限循环小数都是分数，学生不能很好的说明理由，考虑到为避免喧宾夺主，教学时可视学生情况适当解释．
四、总结反思
通过本节课的学习，请大家总结我们都学到了哪些数学知识和方法？
1．我们知道了为什么要学习负数，学会了用正、负数表示生活中的具有相反意义的一对量，还知道了有理数都包括哪些数及其分类．
2．我们还要掌握分类的思想方法．
3．学生易困惑的地方：学生对于有理数的分类理解不是很好，易把两种分类混淆和重复，应通过判断题或选择题的形式多加练习．
评价与反思
本节课设计为学生创设了轻松愉快地自主探索交流的学习环境，四大环节的设计遵循学生的认知规律，重在挖掘学生潜力，给了学生更多的思考空间．教学过程中注重发挥学生的主体作用，培养学生在学习互动过程中学会竞争与合作，增强团队互助合作精神．教学时一直让学生处于发现问题、提出猜想、交流讨论的状态中，用自己的思维方式形成自己对于问题独特地理解和认识.