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1.1锐角三角函数教学设计
课题 1.1锐角三角函数 单元 1 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，还能够用正切进行简单的计算.
重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的大小,根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗 在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗 本章我们将借助生活中的实例,探索直角三角形边角之间的关系,并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题. 学生思考并试着将实际问题转化出几何图形 创设有意义的问题情境,使学生对学习正切的必要性有直观的印象,调动学生的积极性,初步培养建模意识.
讲授新课 问题1:在图1-1-8中,梯子AB和EF哪个更陡 你是怎样判断的 你有几种判断方法 图1-1-8 梯子AB比梯子EF更陡. 方法一:从图中很容易发现∠ABC>∠EFD,所以梯子AB比梯子EF陡. 方法二:因为AC=ED,所以只要比较BC,FD的长度即可判断哪个梯子陡.因为BC课堂练习 1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ） A. B.C. D. 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为( ) A．3 B. C. D. 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC与BC都扩大到原来的3倍，则tan A的值( ) A．没有变化 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的 4.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________． 5.如图,P是∠α的边 OA 上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα=__________. 6.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB. 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A的值是一元二次方程5x2＋2x－3＝0的一个根，请求出AB，AC的长． 学生自主动手解决，老师进行订正. 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑.
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识. 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 第1课时 正切1.正切的定义: 2.tanA的值越大,梯子越陡. 3.坡度的定义:例题讲解学生练习
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1.1锐角三角函数
北师大版 九年级下册
新知导入
A
B
1
2
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的大小,根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗
新知导入
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗
本章我们将借助生活中的实例,探索直角三角形边角之间的关系,并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题.
新知讲解
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
合作探究
①梯子AB和EF哪个更陡 你是如何判断的
A
B
C
E
F
D
5m
2m
5m
2.5m
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
合作探究
②梯子AB和EF哪个更陡 你是如何判断的
A
B
C
E
F
D
4m
1.5m
3.5m
1.3m
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
新知讲解
如图,小明想通过测量B1C1及AC1 ,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度;
小亮认为,通过测量B2C2及AC2 ,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗
新知讲解
两个直角三角形相似
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢
思考：由此你得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
相等
相似三角形的对应边成比例
C3
B3
归纳总结
如图，Rt△ABC中，如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定, 这个比叫做∠A的正切,记作tanA ,即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
当锐角A变化时,tanA的值也随之变化.
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
注意
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序 ）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
议一议
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
例题解析
例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
5m
┌
13m
β
乙
甲
α
4m
┐
8m
解:甲梯中,tanα=
乙梯中,tanβ=
∵tanα＞tanβ, ∴甲梯更陡.
练一练
在△ABC中，∠C=90°，BC=12 cm，AB=20 cm，求tan A和tan B的值.
20
12
怎样解答
A
B
C
典例精析
tan A=
tanB=
解：在△ABC中，∠C＝90°，
所以AC==16(cm),
新知讲解
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
新知讲解
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；
坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
100m
60m
┌
α
新知讲解
直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义
求解．
解题技巧
课堂练习
1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）
A. B.
C. D.
D
这个图呢？
课堂练习
A
A
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC与BC都扩大到原来的3倍，则tanA的值( )
A．没有变化 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的
课堂练习
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．
5.如图,P是∠α的边 OA 上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα=__________.
M
课堂练习
6.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
∴tanB=
作业布置
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A的值是一元二次方程
5x2＋2x－3＝0的一个根，请求出AB，AC的长．
课堂总结
正切
定义
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
坡度
作业布置
1.教材第4页，习题1.1第1,2题。
2.在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tan B.
13
13
10
D
5
12
B
A
C
D
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