23.3.3 相似三角形的性质 同步练习 2021-2022学年华东师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

相似三角形的性质
一、单选题
1．△ADE∽△ABC，若AD＝1，AB＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
2．如图，，且与的面积分别是和，与的周长分别是和，则一定成立的等式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝9：49，则DE：DC＝（　　）
A．2：5 B．2：3 C．3：7 D．3：4
4．如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB的长度是（　　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
5．△ABC的三边长分别为7，6，2，△DEF的两边长分别为1，3，要使△ABC∽△DEF，则△DEF的第三边长应为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，在中，点E是AB上任意一点，过点E作EFBC交CD于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（　　）
A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
8．如图，已知A、B是反比例函数y＝图象上两点，连接AB并延长，交y轴于C．若AB∶BC＝3∶1，S△AOC＝10，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，的边在轴上，边交轴于点，，反比例函数过点，且交线段于，，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
11．如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为和，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和为（ ）．
A．600 B．300 C．200 D．150
12．如图，在边长为的正方形中，点在上，且，作于点，平分，分别交，于点，．则的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是____________．
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，点D是直线AB上一动点，线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，则线段BE长度的最小值为____．
15．教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1m的竹竿的影长为0.9m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7m，落在墙壁上的影长为1.2m，请你和他们一起计算一下树高 ___m．
16．如图，矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D点，则B'点的坐标为 ___．
17．如图，在平行四边形中，的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若，则的值为____．
三、解答题
18．公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积的差为，它们的面积之和为多少？
19．如图，在和中，，，求的度数．
20．如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，求．
21．如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，求的长．
22．如图，点D，E分别是和上的点，，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）求的长．
参考答案
1．D
解：∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的相似比为AD：AB＝1：4．
故选：D．
2．D
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=6：5，
∴，
∴选项D正确，选项C错误，
∵无法确定和∠ A与∠B的比的值，故选项A，B错误，
故选：D．
3．C
解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：C．
4．C
解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴，
∵OM=15-7=8（cm），ON=11-7=4（cm），
∴，
∴AB=3cm，
故选：C．
5．C
解：△ABC∽△DEF
△ABC的三边长分别为7，6，2，△DEF的两边长分别为1，3，
设△DEF的第三边长为，
则，
解得．
故选C．
6．D
解：∵四边形ABCD为平行四边形，EFBC，
∴AD＝EF＝BC，AE＝DF，BE＝CF．
A、∵ADCH，
∴△ADF∽△HCF，
∴，即，结论A正确；
B、∵ABCD，
∴△ABH∽△FCH，
∴，即，结论B正确；
C、∵ADBH，
∴△ADF∽△HBA，
∴，即，结论C正确；
D、∵AECF，EFCH，
∴△FCH∽△AEF，
∴，即，结论D错误．
故选：D．
7．C
解：如下图：
过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米．
据题意，同一时刻，
∴
∴
∴AE=14
∴AB=AE+BE=14+2=16米
故选：C
8．D
解：作AM∥x轴交y轴于M，BN∥x轴交y轴于N，
∴AM∥BN，
∴＝＝，
设B（m，），
∴BN＝﹣m，ON＝，
∵AB：BC＝3：1，
∴＝，
∴AM＝4BN＝﹣4m，
∴A（4m，），
∵S△AOC＝OC AM＝10，
∴OC＝﹣，
∴CN＝OC﹣ON＝﹣﹣＝﹣，MC＝﹣﹣＝﹣，
∵＝，即＝，
解得k＝﹣4
故选：D．
9．B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴，
∴，即，
∴，故②正确；
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∴，故③错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴，，AF＝5a，
∴，
，
∴，
∴，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选：B．
10．C
解：过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CNAE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数上
∴C（2a，）
∴CE=NO=
∵CEDF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF=，
∵D点在函数上
∴D点坐标为（8a，）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
故选C．
11．B
解：设DE＝xcm，BE＝ycm，
∵∠B＋∠C＝90°， ∠FDC＋∠C＝90°，
∴∠B＝∠FDC，
又∠BED＝∠DFC，
∴△BED∽△DFC，
∴，
∴DF＝y，CF＝x，
∵DE＝DF，
∴x＝y，
∵在Rt△BED中，BE2＋DE2＝BD2，
∴y2＋x2＝900，
联立两个方程，解得：y2＝，
∴阴影部分的面积＝xy＋×xy＝y2＝300cm2
故选B．
12．C
解：如图，和交与点，过作交于，过点作交于，
，
，
，
又，，
，
，，
设，
∵，
则，
解得，
，
，
设，则，
解得，
，
故选：C．
13．
解：如图，
∵把△DEF沿DE边平移到△ABC的位置，
∴AC∥DF，
∴△DEF∽△GAE，
∵S△DEF：S△GAE=2，
∴DE：AE=，
∵，
∴
∴AE=，
∴DA=．
故答案为：．
14．
解：如图，以BC为边作等边△BCT，过点T作TH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K，设CT交AB于点J．
∵∠ECD=∠BCT=60°，
∴∠ECB=∠DCT，
∵CE=CD，CB=CT，
∴△ECB≌△DCT（SAS），
∴BE=DT，
∴当点D与H重合时，DT的值最小，此时BE的值最小，最小值=TH的长，
∵CK⊥AB，
∴CK2=AC2-AK2=BC2-BK2，
∴52-AK2=72-（8-AK）2，
∴AK=，
∴AC=2AK，
∴∠ACK=30°，∠A=60°，CK=AK=，
∵∠BCJ=∠A=60°，∠CBJ=∠ABC，
∴△BCJ∽△BAC，
∴，
∴BJ，
∵BK=AB-AK=，
∴，
∴，
∴，
∵TH⊥AB，CK⊥AB，
∴TH∥CK，
∴，
∴，
∴TH=，
∴BE的最小值为．
15．##
解：如图，过点C作CE∥AD，交AB于E，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD．
由题意，得△EBC∽△PQR，
∴，即．
∴BE＝3m．
∴AB＝BE＋AE＝3＋1.2＝4.2（m）．
即树高为4.2m．
故答案为：4.2．
16．
解：过点作轴于点，如图，
折叠，OA＝2，AB＝5，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得，
，
，
轴，轴，
，
，
，
即，
解得，
，
．
故答案为：．
17．
解：设，
∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．．
解：∵两三角形的相似比为，
∴它们的面积比为，
设较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为，
则，
解得，
∴面积和为，
答：它们的面积和为．
19．
解：在和中，，
，
，
，
．
20．．
解：∵ACDE，
∴△PBC∽△RBE，
∴，
∴BP＝PR，
又∵△PCQ∽△RDQ，
∴，
∴QR＝2PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：1：2．
21．．
解：过点O作OMAB，交BC于点M，
四边形ABCD是平行四边形
，
．
22．（1）；（2）；（3）．
解：（1）∵，，
∴；
（2）在△ADE中，
；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．