23.4中位线 同步练习2020-2021学年华东师大版数学九年级上册（Word版 含答案）

中位线
一、单选题
1．如图，在△ABC中，F为BC的中点，点E是AC边上的一点，且AC＝10，当AE的长为（ ）时，EF∥AB
A．3 B．4 C．5 D．4.5
2．如图，已知在中，，，分别是边，，的中点，，，则四边形AFDE的周长等于（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
3．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（ ）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
4．如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，点，分别为，的中点，连接．则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（ ）
A．1.5 B．1 C．0.5 D．2
8．如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
9．如图，四边形中，R、P分别是上的点，E、F分别是的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关
10．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则的面积为（ ）
A．60 B．48 C．30 D．15
12．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，交OB于E，交AD于F，若，则EF的值为（ ）
A．3 B． C． D．4
二、填空题
13．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，西西想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，雅雅帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为8m，则A，B间的距离为_________m．
14．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是 ___．
15．如图所示，在中，，点D在BC上，，且，作的平分线CF交AD于点F，，E是AB的中点，连接EF．则EF的长为___________．
16．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为_____．
17．如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长是______．
三、解答题
18．如图，在中，，，是的中位线，连接，．求证：．
19．如图，正方形中，对角线交于点O，平分交于F．求证：．
20．如图，在中，、分别是、的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）探究：当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连结MG．若MG＝5，正方形边长为8，求BE的长．
22．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．
（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．
（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
参考答案
1．C
解：当为的中点时，∵F为BC的中点
∴为的中位线，
∴
此时
故选C
2．A
解：∵D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．AB＝10，AC＝8，
∴DE＝AB＝5，DF＝AC＝4，AF＝AB＝5，AE＝AC＝4，
∴四边形AFDE的周长＝AF＋DF＋DE＋AE＝5＋5＋4＋4＝18，
故选：A．
3．B
解：过O点作OM∥AB，交AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD=14，
∴O为BD的中点，
又∵OM∥AB，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM=DM=AD=，OM=AB=7．
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴，
∴，
∴AE=．
故选B．
4．B
解：如图所示，连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∴，，
∵M是DE的中点，
∴EM=DM，
在和中，
∴（AAS）,
∴，，
∴，
∵点N是为AF的中点，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
在中，根据勾股定理，
，
∴，
故选B．
5．C
解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ 即，
故①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
故②错误；
③∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△DOE∽△COB，
，
∴，
故③正确；
④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝3△BOC中上的高，
且△ABC与△BOC同底（BC），
∴，
由②和③知，，，
∴，
∴，
∴．
故④正确．
综上，①③④正确．
故选C．
6．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，
∴OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，BC//EO，
∴四边形OEBF是平行四边形，AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，
∵四边形OEBF的周长为10，
∴OE+BE+BF+OF=10，
∴OE+OF=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）=20，
故选D．
7．A
解：、分别为、的中点，，
，
，
，
为的中点，，
，
，
故选：A．
8．A
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD=2EO，
∵EO=8，
∴CD=2EO=16，
∴AB=CD=16，
故选：A．
9．C
解：如图，连接
四边形中，R、P分别是上的点，当点P在上从C向D移动而点R不动，
的长度是定值，
E、F分别是的中点，
的长度是定值.
故选：
10．C
解：过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD
则∠DCB=∠AMB
∵∠DCB=∠ABC
∴∠AMB=∠ABC
∴AM=AB
∵AD∥BC，AM∥DC
∴四边形AMCD是平行四边形
∴AM=DC
∴AB=DC
在△ABC与△DCB中
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴BD=AC=10m
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴GH=EF=，EH=FG=
∴四边形EFGH是平行四边形
则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)
故选：C．
11．C
解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD中点，
∴BD=2EF=12，
∵CD2+BD2=25+144=169，BC2=169，
∴CD2+BD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=BD CD=×12×5=30，
故选：C．
12．C
解：如图，连接AE，
∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD，
∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线，
∴AB＝2ME，OD＝2MF，
∵ME＝MF，
∴AB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OA＝OB，
∴AB＝AO＝BO＝3，
∴△ABO是等边三角形，BD＝6，
∴AD＝，
∵△ABO是等边三角形，点E是BO中点，
∴AE⊥BO，
又∵点F是AD的中点，
∴EF＝AD＝，
故选：C．
13．16
解：∵点D，E是AC，BC的中点，DE=8m，
∴AB=2DE=16（m），
故答案为：16．
14．
解：四边形是菱形，
,
E、F分别是AB、AC的中点，EF＝2，
，
菱形ABCD的周长为．
故答案为：．
15．
解：∵的平分线CF交AD于点F，，
∴,
∵，
在中，,
∴,
∵，
∴,
∵E是AB的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：2．
16．12
解：∵点、是边、的中点，
∴，且，
同理可得：，且，
又∵，
∴，，且，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积；
故答案是12．
17．
解：如解图，延长至，使，连接，过点作于，
∵平分的周长，
∴，又，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．见解析
解：∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵∠CAB＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD．
19．见解析
解：∵正方形 ABCD
∴O是BD的中点，
作OG∥AB交BE于点G．
∴OG是△BDE的中位线，
∴OG=DE，
∵正方形ABCD中，∠ABD=∠DBC=45°，
又∵BE是∠DBC的平分线，
∴∠DBE=×45°=22.5°
∴∠ABF=45°+22.5°=67.5°．
∵AB∥OG，
∴∠OGF=∠ABF=67.5°，
又∵在△ABF中，∠BAF=45°，
∴∠AFB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠OGF=∠AFB，
∴OF=OG，
∴OF=DE．
20．（1）见解析；（2）当时，四边形是矩形．理由见解析
解：（1）∵、分别是、的中点，
∴，且，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）当时，平行四边形是矩形．
理由：∵，，
∴
∵、分别是，边上的中点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
21．（1）①见解析；②GFC是等腰三角形，理由见解析；（2）BE的长为14或2．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在DAH和DCH中，
，
∴DAH≌DCH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：GFC是等腰三角形，
理由：∵DAH≌DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴GFC是等腰三角形．
（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝10，
在RtDCE中，CE＝＝＝6，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可证GM是DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝10，
在RtDCE中，CE＝＝＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2．
综上所述，BE的长为14或2．
22．（1）见解析；（2）图2中等边三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．
解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∵BE＝2BD，
∴BC＝BE，
∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴BG∥AC，BF∥AE，
∴四边形AGBF是平行四边形．
（2）∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴GF∥BC，
∵BG∥AC，
∴四边形BGFC是平行四边形，
∴GF＝BC，
∵GF＝AB，AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
即△ABC是等边三角形，
∵GF∥BC，DF∥AB，BG∥AC，
∴△AHF∽△ABC，△CDF∽△CBA，△GBH∽△FAH，
∴△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形，
综上可得：图2中等边三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．