6.2反比例函数的图像与性质-同步培优 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大九年级数学上册—6.2反比例函数的图像与性质-同步培优
一．选择题
1．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
2．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
3．关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（　　）
A．图象过（1，2）点
B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1
5．在反比例函数y＝图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
6．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（　　）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
7．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（　　）
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
9．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
10．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
二．填空题
11．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　．
12．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为　 　．
13．如图，已知双曲线y＝（k<0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　．
14．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜+b的解集是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB＝2，则k的值为　 　．
三．解答题
16．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
17．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（4，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝ （x＞0）的图象于点N．
①当n＝2时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
19．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．
20．如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
21．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
22．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集；
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
参考答案
一．选择题
1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D
二．填空题
11．2 12．3 13．9 14．﹣5＜x＜﹣1或x＞0． 15．6+2．
三．解答题
16.解：（1）把A（m，6），B（n，3）两点坐标代入y＝（x＞0）可得m＝2，n＝4，
∴A（2，6），B（4，3），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A、B，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+9．
（2）设直线与x轴的交点为C，
把y＝0代入y＝﹣x+9，则﹣x+9＝0，解得x＝6，
∴C（6，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝6×6﹣＝9．
17．解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝；（2）把x＝4代入y＝得：y＝1，即CN＝1，
∵S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4，
由题意得：|OP|×AO＝4，
∵AO＝2
∴|OP|＝4，
∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．
18．解：（1）将A（4，m）代入y＝x﹣2，
∴m＝4﹣2＝2，
∴A（4，2），
将A（4，2）代入y＝，
∴k＝4×2＝8，
（2）①当n＝2时，P（2，2），
令y＝2，代入y＝x﹣2，则x＝4，
∴M（4，2），
∴PM＝2，
令x＝2代入y＝，则y＝4，
∴N（2，4），
∴PN＝2
∴PM＝PN，
②P（n，n），n＞0，即点P在直线y＝x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，
M（n+2，n），
∴PM＝2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN＝|﹣n|，
∴|﹣n|≥2，
∴0＜n≤2或n≥4．
19．解：（1）把A（2，m），B（n，﹣2）代入y＝得：k2＝2m＝﹣2n，
即m＝﹣n，
则A（2，﹣n），
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，
∵A（2，﹣n），B（n，﹣2），
∴BD＝2﹣n，AD＝﹣n+2，BC＝|﹣2|＝2，
∵S△ABC＝ BC BD
∴×2×（2﹣n）＝5，解得：n＝﹣3，
即A（2，3），B（﹣3，﹣2），
把A（2，3）代入y＝得：k2＝6，
即反比例函数的解析式是y＝；
把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y＝k1x+b，
解得：k1＝1，b＝1，
即一次函数的解析式是y＝x+1；
（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴不等式k1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是p≤﹣2，
当点P在第一象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是p＞0，
即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．
20．解：（1）当y1﹣y2＞0，
即：y1＞y2，
∴一次函数y1＝ax+b的图象在反比例函数y2＝图象的上面，
∵A（﹣4，），B（﹣1，2）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y1﹣y2＞0；
（2）∵y2＝图象过B（﹣1，2），
∴m＝﹣1×2＝﹣2，
∵y1＝ax+b过A（﹣4，），B（﹣1，2），
∴，解得，
∴一次函数解析式为；y＝x+，
（3）设P（m，m+），过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴PM＝m+，PN＝﹣m，
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ AC AM=BD DN，
即；，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，）．
21．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，
得a＝﹣1+4，
解得a＝3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y＝，
得k＝3，
∴反比例函数的表达式y＝，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1＝1，x2＝3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）过点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
把A，D两点代入，
解得m＝﹣2，n＝5，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，
令y＝0，得x＝，
∴点P坐标（，0），
S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD＝×2×2﹣×2×＝2﹣＝．
22．解：（1）∵点A（a，4），
∴AC＝4，
∵S△AOC＝4，即=4，
∴OC＝2，
∵点A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2 A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入y＝得：k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
把B（8，b）代入得：b＝﹣1，
∴B（8，﹣1）
因此a＝﹣2，b＝﹣1；
（2）由图象可以看出mx+n＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8；
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大（PA﹣PB＝PA﹣PB′≤AB′，共线时差最大）
∵B（8，﹣1）
∴B′（8，1）
设直线AP的关系式为y＝kx+b，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：
解得：k＝，b＝，
∴直线AP的关系式为y＝x+，
当y＝0时，即x+＝0，解得x＝，
∴P（，0）
23．解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），
∴0＝﹣2+b，得b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2，
∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4），
∴4＝a+2，得a＝2，
∴4＝，得k＝8，
即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；
（2）∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
设点M（m﹣2，m），点N（，m），
当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形，
||＝2，
解得，m＝2或m＝+2，
∴点M的坐标为（2﹣2，2）或（，+2）．