2021-2022学年冀教新版九年级上册数学第25章 图形的相似单元测试卷（word版、含解析）

2021-2022学年冀教新版九年级上册数学《第25章 图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．已知＝，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A．4m＝3n B．3m＝4n C．m＝4n D．mn＝12
2．若a：b＝3：4，且a+b＝14，则2a﹣b的值是（　　）
A．4 B．2 C．20 D．14
3．在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是（　　）
A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km
4．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝10cm，则AC等于（　　）
A．6cm B．（5+1）cm C．5（﹣1）cm D．（5﹣1）cm
5．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知≠0，则的值为（　　）
A． B．﹣ C．2 D．
7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则DF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．两个相似三角形的周长比是1：2，则其面积的比是（　　）
A．1：2 B．2：1 C．4：1 D．1：4
9．已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若＝，B1D1＝4，则BD的长是（　　）
A． B． C．6 D．8
10．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．已知线段c是线段a和b的比例中项，且a、b的长度分别为2cm和8cm，则c的长度为　 　cm．
12．如图，l1∥l2∥l3，AB＝AC，DF＝10，那么DE＝　 　．
13．若＝，则＝　 　．
14．已知＝，那么的值是　 　．
15．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝　 　．
16．一个三角形的三边之比为3：6：4，与它相似的三角形的周长为39cm，则与它相似的三角形的最长边为　 　．
17．如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC），已知AB＝160cm，BC的长约为　 　cm．（结果精确到0.1cm）
18．已知3x＝5y，则＝　 　．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，添加的一个条件是　 　．
20．等腰△ABC被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰△ABC的顶角的度数是　 　．
三．解答题
21．在一张比例尺为1：20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．
22．已知：，x﹣y+z＝6，求：代数式3x﹣2y+z的值．
23．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG＝AF AB．
24．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．
25．已知△ABC和△DEF中，有，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．
26．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．
27．如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ＝2PN．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由＝，得4m＝3n．
A、4m＝3n，故A正确；
B、4m＝3n，故B错误；
C、m＝，故C错误；
D、4m＝3n，故D错误；
故选：A．
2．解：由a：b＝3：4知3b＝4a，
所以b＝．
所以由a+b＝14得到：a+＝14，
解得a＝6．
所以b＝8．
所以2a﹣b＝2×6﹣8＝4．
故选：A．
3．解：设甲、乙两地间的实际距离为x，则：
＝，
解得x＝125000cm＝1.25km．
故选：D．
4．解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB，
而AB＝10cm，
∴AC＝×10＝5（﹣1）cm．
故选：C．
5．解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，即＝，
∴EF＝6．
故选：B．
6．解：由≠0，得
b＝，c＝2a，
＝＝﹣．
故选：B．
7．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝6，
∴DF＝EF+DE＝8，
故选：D．
8．解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴其面积的比是1：4，
故选：D．
9．解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴，
∴，
∴BD＝6，
故选：C．
10．解：已知给出的三角形的各边分别为、2、、
只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
二．填空题
11．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝2×8，解得c＝±4（线段是正数，负值舍去），
故答案为：4．
12．解：∵l1∥l2∥l3，
∴．
∵AB＝AC，
∴，
∴．
∵DF＝10，
∴，
∴DE＝4．
故答案为：4．
13．解：∵＝，
∴2x+2y＝3x，
故2y＝x，
则＝．
故答案为：．
14．解：∵＝，
∴设x＝2a，则y＝5a，
那么＝＝．
故答案为：．
15．解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，
∴FC：FD＝1：2，
∵FC＝2.5，
∴FD＝5．
故答案为5．
16．解：∵一个三角形的三边之比为3：6：4，
∴与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，
∵与它相似的三角形的周长为39cm，
∴与它相似的三角形的最长边为：39×＝18（cm）．
故答案为：18cm．
17．解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB＝160cm，
∴BC＝AB＝×160≈98.9，
故答案为：98.9．
18．解：∵3x＝5y，
∴＝，
故答案为：．
19．解：添加条件为∠AED＝∠B，理由如下：
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB；
故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．
20．解：分以下三种情况：
（1）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，△ABD∽△BCA，求∠BAC的度数．
∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，
∵∠CDA＝2∠B，
∴∠CAB＝3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠BAC＝108°；
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，△ABD∽△BCA，求∠BAC的度数．
∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝2∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°；
（3）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，△BCD∽△ABC，求∠BAC的度数．
∵AB＝AC，BD＝AD＝BC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，
∵∠BDC＝2∠A，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°；
综上所述，等腰△ABC的顶角的度数是36°或90°或108°，
故答案为：36°或90°或108°．
三．解答题
21．解：地图与该地区的实际图形相似，相似比就是比例尺为1：20，周长的比就是相似比，设实际周长是xcm，则
24：x＝1：20，
解得：x＝480，
面积的比等于相似比的平方，设实际面积是ycm2，则
20：y＝（1：20）2，
解得y＝8000，
答：这个区域的实际周长480cm，面积8000cm2．
22．解：设＝k，
可得：x＝2k，y＝3k，z＝4k，
把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入x﹣y+z＝6，
可得：2k﹣3k+4k＝6，
解得：k＝2，
所以x＝4，y＝6，z＝8，
把x＝4，y＝6，z＝8代入3x﹣2y+z＝12﹣12+8＝8．
23．（1）解：
∵DE∥BC，
∴＝，
又＝，AE＝3，
∴＝，
解得AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；
（2）证明：
∵DE∥BC，EF∥CG，
∴＝＝，
∴AD AG＝AF AB．
24．解：设＝＝＝k，
可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，
解得：k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
则△ABC为直角三角形．
25．解：设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米．
∵，
∴＝＝①
由题意可得：y﹣x＝15 ②
由①式得x＝y③
将③式代入②式得：y﹣y＝15，
∴y＝45，
将y＝45代入③式得：x＝30，
答：△ABC和△DEF的周长分别是30厘米和45厘米．
26．解：（1）如图．
（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠AEF＝90°
∴∠BEF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°
∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形EBCF是矩形．
【方法1】设
∴
∴矩形EBCF是黄金矩形．
【方法2】设，
∴
∴矩形EBCF是黄金矩形．
（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．
27．证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且．
∵AB∥CD，
∴．
∵AD∥CE，
∴．
∴＝＝．
又∵＝，
∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．
∴AN+CQ＝2DN．
∴＝＝2．
即MN+PQ＝2PN．