江西省赣州市第三高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学（理）试卷（Word版含答案）

赣州市第三高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考
数学（理）试卷
考试时间：120分钟
一、选择题（12*5=60）
1．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，从编号为1~120的该商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号一定被抽到的是（ ）
A．22 B．53 C．38 D．9
2．执行如右图所示的程序框图，则输出的（ ）
A． B． C．5 D．
3．在△ABC中，，，且△ABC的面积，则边BC的长为（ ）
A． B． C．3 D．7
4．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．实数对满足不等式组，且目标函数当且仅当，时取最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．过点作直线分别交轴正半轴，轴正半轴于，两点，为坐标原点，当取最小值时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．相离
9．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若线段A1D上存在一点E，使AE+B1E取得最小值，则此最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
11．如图，在正方体中，过点A作平面的垂线，垂足为点H，给出以下命题：①H是的垂心；②垂直于平面；③的延长线过点；④直线和所成角的大小为，其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与正方体外接球的交点轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4*5=20）
13．已知x与y之间的一组数据如下表所示，当m变化时，回归直线必过定点________．
x 0 1 2 3
y 1 3 5－m 7＋m
14．水平放置的的直观图如图所示，已知，
，则边上的中线的实际长度为______．
15.已知关于的一元二次不等式的解集为，
则的最小值是__________．
16．已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．
三、解答题
17．（10分）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（12分）已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
19．（12分）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．
（1）求出直方图中m的值；并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；
（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面PAB，为等边三角形，底面ABCD为梯形，，，.
（1）若M为PA的中点，求证：平面；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
21．（12分）已知点，曲线C上任意一点P满足．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理.
22．（12分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA =2.
（1）证明:平面PBE⊥平面PAB；
（2）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.
参考答案
1-5 ACBDD 6-10 CBADC 11-12．CA
13． 14． 15． 16．2或6.
12．选A 如图所示，连接，取的中点，的中点，的中点，
连接，其中为正方体的中心，作，垂足为，
因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形且为的中点，为的中点，可得，
又因为，且平面，所以平面，因为面，所以，又由，且平面，所以平面，
因为面和面是同一面，所以平面，
在直角中，，可得，所以，
又因为，在中，可得，
由平面截球的轨迹为圆，其中是截面圆的圆心，为球心，因为正方体的棱长为，所以外接球的半径，
根据截面圆的性质，可得，所以截面的周长为.故选：A.
17．解：（1）因为，
当时，可得；
当时，可得，
两式相减得，即，
所以数列的通项公式为…………………………5分
（2）
，
．……………………………………10分
18．解：(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.
∵直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴，∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．
又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，∴T＝6π.
令，k∈Z，得，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. …………………………6分
(2)由（1）得f(x)＝2sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，∴h(x)＝2sin.
令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，
即方程2sint＋k＝0在上有且只有一个实数解，
亦即y＝2sint，t∈的图象与直线y＝－k有且只有一个交点，
画出图象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.
故实数k的取值范围是{k|或k＝－2}．…………………………12分
19．解：（1）由，得，
平均数为，
因为，，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则，解得，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为；………………6分
（2）由频率分布直方图知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：(个)，二等品有：(个)，
所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个. …………………………12分
20．解：（1）取PB中点N，连接MN，DM，CN，因为为PA的中点，所以，
又因为，且，所以四边形MNCD为平行四边形，
因为平面，平面PBC，所以平面.…………………………5分
（2）取PD中点E，PA中点M，连接DM，AE，由为等边三角形得，，
又由平面平面PAB，平面平面，平面PAD，可得平面PAB，
因为平面PAB，所以，又因为，，AD，平面PAD，
所以平面，因为平面，所以，因为，所以，
因为等边三角形PAD中，E为PD中点，，
又由，，所以，
且，所以平面，
因为，且平面PCD，所以平面，
所以，到平面PCD的距离，
设直线与平面所成的角为，则 ……………………12分
21．解：（1）设点的坐标为，
因为，可得，整理得，
即曲线的方程为. …………………5分
（2）①如果斜率不存在，直线垂直于x轴，此时与圆交于两点，可得这些直线都是平行的，不可能经过同一点，不符合题意．
②设存在定点Q满足条件，设直线的方程为，
设，联立方程组，整理得，
可得，
无论直线如何运动，轴都平分∠EDF，可得，
所以，可得，
所以，
所以，整理得，可得，
所以，可得直线经过定点，
所以存在过定点的直线与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，轴都平分∠EDF． …………………12分
22．解：(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ，
可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB//CD，所以
因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥ BE.
又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， 所以BE⊥ 平面PAB，
又平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB.…………………5分
(2)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线.取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI.
由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，
可知是正三角形，因为H是AD的中点，所以 .
因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥ BH.
又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A，
所以BH⊥平面PAD，又平面PAD，所以.BH⊥PF，
又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B，
所以PF⊥平面BHI，而平面BHI，所以PF⊥HI，
则∠BIH为二面角B-PFA的一个平面角.
因为BH⊥平面PAD，平面PAD，所以BH⊥HI.
因为菱形ABCD中，DE//AB，， E为BF的中点，.
在中，，，PB⊥BF， BI⊥PF，
所以，，又，
所以中，，，
即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为 ………………12分