山东省临沂市滨河区高级中学校2022届高三上学期10月质量检测数学试卷（PDF版含答案）

数 学 试 题
第 I卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 2．已知集合 A x x 4x 0 ， B x log3 x 1 ，则 A B （ ）
A． 3,4 B． 1,3 C． 0,4 D． 0,
2i
2．若复数 z （ i为虚数单位），则 z的实部与虚部的差为（ ）
1 i
A． 2 B． 2 C．1 D． 0
5 5
3．在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 P sin ,cos3 3
，则 sin （ ）

3 1A B C 1 3． ． ．
2 2 2
D．
2

4．已知向量 a m 1,1 ,b m, 2 ，则“m 2 ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在 ABC中， lg(sin A sinC) 2lgsin B lg(sinC sin A) ，则 ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．对于函数 f x ，若 x1, x2满足 f x1 f x2 f x1 x2 ，则称 x1, x2为函数 f x 的一对“类指数”．若
正实数 a与 b为函数 f x kx k 0 的一对“类指数”， a 4b的最小值为 9，则 k的值为（ ）
4
A 1． 2 B．1 C． D．23
1
7．已知 y＝f(x)是奇函数，当 x∈(0，2)时，f(x)＝ln x－ax a ，当 x∈(－2，0)时，f(x)的最小值
2
为 1，则 a的值等于（ ）
3 2 3
A． B． C． D．1
4 3 2

8．扇形OAB 2 的半径为 1，圆心角为 ， P是 AB上的动点，则 AP BP的最小值为（ ）3
1
A． 2 B 0 C D
1
． ． ．
2 2
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
1
9．下列关于平面向量的说法中不．正．确．的是（ ）
r r
A． a
9
, k ，b k ,8 ,若2 a//b ,则 k 6

B．单位向量 i 1,0 ， f 0,1 ，则 3i 4 f 5

C．若 a c b c且 c 0，则 a b

D．若点G为 ABC的重心，则GA GB GC 0
a
10．已知 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足B ,a c 3b ,则 （ ）
3 c
1
A 1．2 B．3 C． 2 D． 3

11．已知点 ( ,0)是函数 f x sin x 0, 的图象的一个对称中心，且 f x 的图象
6

关于直线 x 对称， f x 在[0, ]单调递减，则（ ）
3 3
A．函数 f x 2 的最小正周期为
3
B．函数 f x 为奇函数
n
C．若 f x 1 x 0, 2 的根为 xi i 1,2, ,n ，则 xi 6 3 i 1
D．若 f 2x f x 在 a,b 2 上恒成立，则b a的最大值为
9
1 1
12．设函数 f (x) 1 ln x x (m 0)，则（ ）
m mx
A．当m 0时， f (x) 1
B．当m 0时， f x 有两个极值点
C．当0 m 1时， f x 任 (1, )上不单调
D．当m >1时，存在唯一实数 m使得函数 g x f x 2恰有两个零点
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知关于 x的一元二次不等式 x2－ax－b＜0的解集为（1，2），其中 a，b∈R，则函数 y a x b
的图象必定不经过第________象限．
14．已知 tan , tan 是方程 x2 3 3x 4 0的两根，且 ,
, 3 ，则 的值为_____.
2 2
2

15．已知 a,b为单位向量，且 a b 0，若 c 2a 5b，则 cos a,c ___________．.
16． y = x2与 y ln x a 有一条斜率为 2的公切线，则 a ____________.
四、解答题：共 70 分, 解答应写必要的文字说明、推理过程或演算步骤。
1
17．(本题 10分)若定义在 1,1 上的函数 f x a x 为奇函数.4 1
（1）求 a的值；
（2）判断 f x 的单调性（无需证明），并求 f 1 m f m 的解集.
18．(本题 12分)如图，在 ABC中 D是 AC边上一点， BD平分 ABC， ABC的面积是△BCD的
4倍．
sin A
(1)求 ；
sinC
(2)若BD 2，CD 1，求 ABC的周长．
1
19．(本题 12分)已知函数 f x x 1 ln x
2
（1）求 y f x 的单调区间.
3
（2）若 g x xf x ，证明：对任意的 x 1, 时 g x 0恒成立.
2

20．(本题 12分)已知 a 1,cos x ，b sin x, 3 .

（1）若 a b，求 sin 2x cos2 x的值；

（2）设 f a π a b，将函数 y f x 的图象向右平移 个单位长度得到曲线 C，保持 C上各点的
6
1 π
纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的 倍得到 g x2 的图象，且关于 x的方程 g x m 0在 0, 2
上有解，求 m的取值范围.
3
21．(本题 12分)在① 2a sin B b cosC c cos B 0，② sin 2 A sin 2 B sin 2 C 3 sin AsinC 0 ，
③ sin AsinC 3 sinB cos AcosC 0三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知锐角 ABC的内角A， B，C的对边分别为 a，b，c，满足______（填写序号即可）
（1）求 B；
（2）若 a 1，求 c的取值范围．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
22．(本题 12分)设函数 f x 2ln x mx2 1．
（1）当 f x 有极值时，若存在 x0，使得 f x0 m 1成立，求实数m的取值范围；
（2）当m 1时，若在 f x 定义域内存在两实数 x1，x2满足 x1 x2且 f x1 f x2 ，证明：x1 x2 2．
4
高 三 第 二 次 质 量 检 测
参考答案
1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．AC 10．AC 11．ACD 12．ACD
4 2 ln 2
13．二 14． 15． 16．
3 3 2
1 1
17．【详解】（1）因为函数是定义在 1,1 的奇函数，所以 f 0 a 0，得 a ，
2 2
1 1 1 1 1 4 x
此时 f x x ， f x ，2 4 1 2 4 x 1 2 1 4 x
f x f x 0 1，满足函数是奇函数，所以 a 成立； ......5分
2
1 1
（2） f x 是减函数，
2 4x 1
1 1 m 1

所以 1 m 1
1
，解得：0 m ，
2
1 m m
所以不等式 f 1 m f m 的解集是 0,
1
......10分
2
18．【详解】(1)因为 ABC的面积是△BCD的 4倍，所以△ABD的面积是△BCD的 3倍，
1 AB BD sin ABD
则 21 3．BC BD sin CBD
2
AB
又 BD平分 ABC，所以sin ABD sin CBD，所以 3． ......4分
BC
AB BC sin A BC 1
在 ABC中，由正弦定理知 ，故 ． ......5分
sinC sin A sinC AB 3
(2)因为△ABD的面积是△BCD的 3倍，所以 AD 3CD 3．
设 BC x，则 AB 3x．
2 2 2
△ABD cos ADB AD BD AB 13 9x
2
在 中， ． ......8分
2AD BD 12
2 2 2 2
在△BCD中， cos CDB BD CD BC 5 x ． ......10分
2BD CD 4
2
因为 ADB CDB π，所以 cos ADB cos CDB 28 12x 0 ，
12
x 21 21解得 或 x (舍去)．
3 3
故 ABC 4 21的周长为 4． ......12分
3
答案第 1页，共 4页
1
19．【详解】（1）已知函数 f x x 1 ln x的定义域为 0, ......1分
2
f x 1 1 x 2
2 x 2x
令 f x 0 x 2即 0，又因为 x 0, ，所以 x 2 0即 x 2
2x
令 f x 0 x 2即 0，又因为 x 0, ，所以 x 2 0即0 x 2 ......3分
2x
f x 1 x 1 ln x的减区间为 0,2 ；增区间为 2, . ......4分
2
（2）因为 g x xf x 3 1 x2 x x ln x 3 定义域为 1,
2 2 2
g x x 1 ln x 1 x ln x ......5分
令 h x x ln x
h x 1 1 x 1 及 x 1,
x x
h x 0则 g x x ln x在 1, 单调递增 ......8分
g x g 1 1 0min
g x 1 x2 3则 x x ln x 在 1, 单调递增 ......10分
2 2
g x g 1 1 3 1 1 ln1 0min 2 2
对任意的 x 1, 时 g x 0恒成立. ......12分
20．【详解】

（1）∵ a b，∴ a b 0，即 sin x 3 cos x 0， tan x 3 ......2分
sin 2x cos 2 x 2sin xcos x cos
2 x 2 tan x 1 2 3 1
∴ ......5分
sin 2 x cos2 x tan 2 x 1 4

（2） f x a b sin x 3 cos x 2sin x π 3 ， ......6分
π
利用图像的变换可知 g x 2sin 2x ， ......8分
6
关于 x的方程 g x π m 0 π π 在 0, 2 上有解，即m 2sin 2x 在 0, 2 上有解. 6
π π π 7π π
由于 x 0, ，2x 2 , ，∴ 2sin 2x 1,2 ， ......11分 6 6 6 6
故m的取值范围为 1,2 .......12分
答案第 2页，共 4页
21．【详解】（1）若选①，由正弦定理得 2sin Asin B sin B cosC sinC cos B sin B C sin A，
因为 sin A 0 1，所以 sin B ，
2
π π
又因为 B 0, ，所以 B ；
2 6
若选②，由正弦定理得 a2 b2 c2 3ac 0，即 a2 c2 b2 3ac，
a2 c2 b2 3
由余弦定理得 cos B ，
2ac 2
又因为 B
0, π π ，所以 B ；
2 6
若选③， 3 sinB cos AcosC sin AsinC cos A C cos π B cos B，
3
从而得 tan B ，
3
π π
又因为 B 0, ，所以 B ； ......4分
2 6
a c
（2）由正弦定理 得
sin A sinC
3 1
sinC sin A B sin A cos Ac 2 2 3 cos A 3 1 ， ......8分
sin A sin A sin A 2 2sin A 2 2 tan A

0
π
A
2 π π
由 ABC是锐角三角形可得 ，得 A ， ......10分
0 C 5π π A 3 2
6 2
因为 y tan x
π , π 在 上单调递增，所以 tan A 3, 3 2 ，
1
从而 0,
3 3 2 3
，所以c , ． ......12分
tan A 3 2 3
2 2
22 2．【详解】（1） f x 定义域为 0, ， f x 2mx mx 1 ，
x x
当m 0时， f x 0，即 f x 在 0, 上单调递增，不合题意， m 0； ......1分
令 mx2 1 1 0，解得： x ，
m

x 0, 1

当 时， f x
1
0；当 x ,
m m
时， f x 0；

1 1 1
f x 在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减， f x f ； ......3分
m m
max
m
答案第 3页，共 4页

存在 x0，使得 f x0 m 1成立，则m 1 f x ，即m 1 f
1
max ，
m



f 1 2 ln 1 m 1又 1 lnm， m 1 lnm，
m m m
即m lnm 1 0， ......5分
1 m 1
令 h m m lnm 1，则 h m 1 0，
m m
h m 在 0, 上单调递增，又 h 1 1 ln1 1 0， 0 m 1，
即实数m的取值范围为 0,1 .......6分
2 2
（2）当m 1时， f x 2ln x x2 1 2 1 x ，则 f x 2 2 x 2 2x ，
x x x
当 x 0,1 时， f x 0；当 x 1, 时， f x 0；
f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减， ......7分
由 x1 x2且 f x1 f x2 知： 0 x1 1 x2；
令 F x f x f 2 x ， x 0,1 ， ......8分
2 2 1 2 x 22 1 x 2
则 F 4x x 1 2 x 0， ......10分
x 2 x x 2 x
F x 在 0,1 上单调递增， F x F 1 0，即 f x f 2 x ；
f x1 f 2 x1 ，又 f x1 f x2 ， f x2 f 2 x1 ；
x1 0,1 ， 2 x1 1, 2 ，又 x2 1且 f x 在 1, 上单调递减，
x2 2 x1 ，即 x1 x2 2 .......12分
答案第 4页，共 4页