云南省玉溪市江川区第二中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷（Word版含答案）

玉溪市江川区第二中学2021-2022学年高二上学期第一次月考
数学试卷
考试时间：120分钟；总分：150分；
第I卷（选择题）
一、选择题（1-11题为单选题，12题为多选题，每题5分，共60分）
1．设全集，，，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C．3 D．5
3．已知任意两个非零向量，则“，且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设命题p： x∈R，2x>2012，则￢p为（ ）
A． x∈R，2x≤2012 B． x∈R，2x>2012
C． x∈R，2x≤2012 D． x∈R，2x<2012
5．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．△中，角所对的边分别为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
7．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾
D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）
8．下列调查方式中，不适合的是（ ）
A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式
B．调查某班学生的体重，采用普查的方式
C．调查一条河流的水质，采用抽查的方式
D．调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式
9．树人中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为（ ）
A．102 B．103 C．109.5 D．116
10．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12（多选题）．下列选项中，正确的是（ ）
A．函数（且）的图象恒过定点
B．若不等式的解集为，则
C．已知，则的最小值为
D．，且为自然对数的底数，则
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分）
13．函数的最小正周期是________．
14．设向量，若，则______________.
15．设函数是定义在R上的函数，且，则的值为______．
16．在中，若，则_______．
三、解答题（17题10分，其它题每题12分，共70分）
17．（10分）求值：（1）；
（2）．
18．（12分）已知函数，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为，且函数图象的一个对称中心为.
（1）求的解析式；
（2）确定在上的单调递增区间.
19．（12分）在中内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
20．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，四棱锥的体积为1，求证：平面平面．
21．（12分）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
22．（12分）2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？
（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：
后天剩菜剩饭的重量为：
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）
高二数学参考答案
1．C 由题设，，又，∴.故选：C
2．B 解： ，所以．故选：B.
3．B 由题意，两个非零向量，，满足，且，
当时，满足且，但，所以充分性不成立；
当时，可得，且，所以必要性成立，
所以，且是的必要不充分条件.故选：B．
4．A 解：∵命题p为： x∈R，2x>2012，∴命题￢p为： x∈R，2x≤2012，故选：A.
5．B 由题意，故选：B
6．C 由余弦定理知：，又，∴.故选：C
7．D 对于A：平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样，故A错误；
对于B：是一次性抽取20瓶，不符合逐个抽取的特点，故不是简单随机抽样，故B错误；
对于C：挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样，故C错误；
对于D：易知D中的抽样方法是简单随机抽样，故D正确. 故选：D
8．A 对于A：调查一批灯泡的使用寿命，破坏性较强，应采用抽查的方式；
对于B：调查某班学生的体重，要求结果精确，故因采用普查的方式；
对于C：调查一条河流的水质，因为所调查的对象范围广，应采用抽查的方式；
对于D：调查某鱼塘中草鱼的平均重量，因为所调查的对象范围广，且捕捉不易，应采用抽查的方式； 故选：A
9．C ，这8名学生数学成绩的第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数. 故选：C.
10．B 将甲，乙分别记为x，y，另2名同学分别记为a，b．
设“甲，乙只有一人被选中”为事件A，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有，，，，，，共6种，
其中事件A包含的可能情况有，，，，共4种，故．
11．A 由于函数是在上的减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A
12．BCD 解析：对于选项A：令，得，所以，所以函数图象所过的定点是，故A错误；
对于选项B：由不等式的解集可得和3是方程的两根，由韦达定理得，解得，所以，故B正确；
对于选项C：由，利用基本不等式可求得最小值为，知C正确；
对于选项D：令，则，令，则，当时，，当时，在单调递增，在单调递减，
因为，所以，即，从而，故D正确．
故选：BCD．
13．4 因为，故的最小正周期为：，故答案为：4
14．5 由可得，又因为，
所以，即，故答案为：5.
15．2 ．故答案为：2．
16． 由正弦定理，结合化简可得： ，
即 ，
所以，又，故，又，故
17．（1）原式＝；
（2）原式＝.
18． （1）设函数的周期为，由题设得，
又∵为图像的一个对称中心，
∴，
又∵，∴，故；
（2）由，，
∴在上递增，
当时，在递增，由，
∴在上的单调递增区间为．
19.（1）中，，由正弦定理得：，
即，而，
则，又，所以；
（2）由(1)知，因的面积为，即，得，
由余弦定理，得，解得，
所以的周长为18.
20.（1）连接交于点O，连结,
因为为矩形，所以O为的中点,
又E为的中点，所以,
平面，平面，所以平面.
（2）因为,
所以，所以底面为正方形，所以，
因为，所以，且，所以平面，
又平面，所以平面平面.
21．（1）由题意得众数为75，
的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，
从抽取的人数：.
22．（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.
（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），
则抽出两人的基本事件为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）
共15个基本事件，其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.
记抽出两人都是高二学生为事件，则，
所以高二学生都在同一组的概率是.
（3）（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，
因为20.5<23.5，
所以宣传节约粮食活动的效果很好.