(共21张PPT)
1.5 三角形函数的应用
北师大版 九年级下
复习旧知
1. 一物体沿坡度为 的山坡向上移动 m ,则物体升高了 m ．
2. 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°, 沿水平方向，再向塔底前进a m ，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔的高为
3.如图所示，在高2 m ，坡角为30°
的楼梯表面铺地毯，地毯的长度
至少需要 m ．
1
新知探究
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25 °的C处.之后,货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
北
东
A
C
B
新知讲解
北
东
A
D
C
B
解: 过A点作BC的垂线AD,则AD的长即为货轮距离小岛的最短距离.若AD＞10 n mile,则货轮安全;反之则有触礁的危险.设AD=x.
Rt△ABD中,tan55°=
Rt△ACD中,tan25°=
∴BC=BD－BC=x·tan55°－x·tan25°
∴x=≈20.79 n mile
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
新知讲解
古塔究竟有多高
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1 m).
要解决这问题,我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做
现在你能完成这个任务吗
新知讲解
这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:
D
A
B
C
┌
50 m
30°
60°
答:该塔约有43 m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°，AB=50 m.
设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
∵tan∠ADC=
∴AC=xtan60°，BC=xtan30°
∴xtan60°-xtan30°=50
∴x=
方法点拨
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中，
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.1
答：旗杆的高度为15.1m.
想一想
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
现在你能完成这个任务吗
请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做
新知讲解
解:如图,根据题意可知，∠A=35°,∠BDC=40°，DB=4 m.求(1)AB-BD的长，(2)AD的长.
A
B
C
D
┌
4 m
35°
40°
答:调整后的楼梯会加长约0.48 m.
∵sin40°=
∴BC=BDsin40°
∵sin35°=
∴AB=
∴AB-BD≈4.48-4=0.48(m)
新知讲解
解:如图,根据题意可知,∠A=35°∠BDC=40°,DB=4m.
求(2) AD的长.
A
B
C
D
┌
4 m
35°
40°
答:楼梯多占约0.61 m一段地面.
拓展延伸
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
12米
A
B
C
D
拓展延伸
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
课堂练习
1.如图,一艘轮船A位于灯塔P的南偏东37°方向,且距离灯塔50海里,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的正东方向上的B处,这时B处与灯塔P的距离可以表示为( )
A.50海里 B.50sin 37°海里
C.50cos 37°海里 D.50tan 37°海里
B
2.在台风来临之前,有关部门用钢管加固树木(如图),固定点A离地面的高度AC=m,钢管与地面所成角∠ABC=α,那么钢管AB的长为( )
A. B.m·sin α C.m·cos α D.
D
课堂练习
3.如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度是 km.(保留准确值)
4.如图,在山坡AB上种树,已知∠C=90°,∠A=α,相邻两棵树的坡面距离AB为m米,则相邻两棵树的水平距离AC= 米.
(20-20)
mcos α
课堂练习
5.周末,小明一家去东昌湖划船,当船划到湖中C点处时,湖边的路灯A位于点C的北偏西64°方向上,路灯B位于点C的北偏东44°方向上.已知每两个路灯之间的距离是50米,求此时小明一家离岸边的距离是多少米 (结果精确到1米,参考数据:sin 64°≈0.9,cos 64°≈0.4,tan 64°≈2.1,sin 44°≈0.7,cos 44°≈0.7,tan 44°≈1.0)
课堂练习
解:过点C作CD⊥AB,交AB于点D.设CD=x米.
在Rt△ACD中,AD=CD·tan 64°≈2.1x.
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 44°≈x.
由题知AB=AD+BD,即2.1x+x=50×2,解得x≈32.
答:此时小明一家离岸边的距离约是32米.
作业布置
1.课本习题1.6第1、2题
2.如图,某遥控无人机从离水平地面1000米高的A点出发(AB=1000米),沿俯角为30°的直线飞行1400米到达D点,然后再沿俯角为60°的方向降落到地面上,求这架无人机飞行的水平距离BC.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
(有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”)
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1.5三角函数的应用教学设计
课题 1.5三角函数的应用 单元 1 学科 数学 年级 九
学习 目标 1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2、能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
重点 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
难点 灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1. 一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 m ,则物体升高了 m ． 2. 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°, 沿水平方向，再向塔底前进a m ，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔的高为 。 3.如图所示，在高2 m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m ． 学生独立读题、思考并给出自己的答案 复习、巩固解直角三角形的知识，为后面的学习提供基础
讲授新课 如图,海中有一个小岛A,该岛四周10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25 °的C处.之后,货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的． 首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处．示意图如下． 2、引导学生思考，货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？ 根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险.如果小于10海里则有触礁的危险。A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，算出AD的长度，然后与10海里比较. 探究二 塔有多高 小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m) （详细解答过程见课件展示） 探究三：楼梯加长了多少 深圳东门某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m) （详细解答过程见课件展示） ----仅提供参考 拓展延伸 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）. 学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用. 让学生在规定时间内完成并展示（投影）成果. 巡回指导，对学生画出的示意图中出现的问题予以纠正，及时提醒学生应注意的问题. 继续引导学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程，也可以利用投影仪展示出来，以备各组相互评价. 要求学生独立完成，把解答过程写到课堂练习本上．挑选三名同学到讲台前说出答案并讲述自己的思路. 从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性. 通过学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）等活动，培养学生将实际问题清晰条理地转化成数学问题的能力. 由浅入深，引导学生感受知识的生长和发展过程，并在这个过程中，强化数形结合、方程的思想，培养学生总结、归纳知识方法的能力。通过一道题就能掌握一类题，提高课堂效率，为学生提供运用综合知识解决问题的机会，从而提高学生的综合解题能力。
课堂练习 1.如图,一艘轮船A位于灯塔P的南偏东37°方向,且距离灯塔50海里,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的正东方向上的B处,这时B处与灯塔P的距离可以表示为( ) A.50海里 B.50sin 37°海里 C.50cos 37°海里 D.50tan 37°海里 2.在台风来临之前,有关部门用钢管加固树木(如图),固定点A离地面的高度AC=m,钢管与地面所成角∠ABC=α,那么钢管AB的长为( ) A. B.m·sinα C.m·cosα D. 3.如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度 是 km.(保留准确值) 4.如图,在山坡AB上种树,已知∠C=90°,∠A=α,相邻两棵树的坡面距离AB为m米,则相邻两棵树的水平距离AC= 米. 5.周末,小明一家去东昌湖划船,当船划到湖中C点处时,湖边的路灯A位于点C的北偏西64°方向上,路灯B位于点C的北偏东44°方向上.已知每两个路灯之间的距离是50米,求此时小明一家离岸边的距离是多少米 (结果精确到1米,参考数据:sin 64°≈0.9,cos 64°≈0.4,tan 64°≈2.1,sin 44°≈0.7,cos 44°≈0.7,tan 44°≈1.0) 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 第6课时 三角函数的应用1.方位角 2.仰角与俯角 3.坡度角 例题:习题板书区
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