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1.4 解直角三角形
北师大版 九年级下
知识回顾
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
新知探究
在Rt△ABC中,∠C=90°
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗
（2）根据AC= ，BC= ，你能求出这个三角形的其他元素吗？
（3）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗
解：（1）∠B=30°，AC=15，BC=15
(2) ∠A=60°, ∠B=30°,AB=
(3)其它边求不出来。
归纳总结
A
B
a
b
c
C
解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫作解直角三角形．
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
例题解析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=,求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,a=
A
B
C
在Rt△ABC中，
练一练
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角
形的其他元素．(角度精确到1′)
解：由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
方法点拨
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
典例精析
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为 a,b,c,且b=30,∠B=25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
解:Rt△ABC中,∠B=25°
∵sinB=, b=30
∴c=
∵tanB= , b=30
∴a=
方法点拨
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
练一练
如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
归纳总结
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果
再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元
素就都可以确定下来.
拓展延伸
如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ , sin B＝ ，求BC的长．
要求的BC边不在直角
三角形中，已知条件中
有∠B的正弦值，作BC边上的高，
将∠B置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可
解决问题．
合作探究
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝1× ＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝
解：
方法总结
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角
形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种
“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知
条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，
则∠B的正弦值就无法利用．
1.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．28
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
AB=8，则BC的长是（ ）
课堂练习
C
D
课堂练习
45°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，则BC＝ 2 ，∠A＝_______．
4．如图，河流两岸a，b互相平行，A，B是河岸a上的两座建筑物，C，D是河岸b上的两点，A，B之间的距离为200 m．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度为_______m.
100
课堂练习
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为
a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素.
(1) a=20,∠A=45°; (2)a=36, ∠B=30°.
解:(1)∵tanA=
∴b=20,∠B=45°
解:(2)∵∠B=30°
∵sinA=
∴c=24
∴c=
∴∠A=60°
∵sinB=
∴b=12
课堂练习
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9，求：
(1)BC的长；
(2)cos ∠BCD的值．
课堂练习
解：(1)在Rt△DEA中，AD＝＝2×＝3，
∴AB＝BD＋AD＝12，
∴在Rt△ABC中，BC＝AB·sin A＝12×＝8
(2)∵在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝8，∴AC＝4，
∵在Rt△DEA中，DE＝2，AD＝3，∴AE＝，
∴CE＝3，CD＝7，
∴在Rt△DEC中，cos ∠CDE＝＝.
又∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∴cos ∠BCD＝cos ∠CDE＝
作业布置
1.课本习题1.5第1、2题
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，△ABC的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1 cm）
作业布置
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形.
两边：两直角边或斜边、一直角边
一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角
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1.4解直角三角形教学设计
课题 1.4解直角三角形 单元 1 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.初步理解解直角三角形的含义 2.掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素
重点 理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素
难点 从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语） 2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？ 3、提问：RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 学生独立读题、思考并给出自己的答案 复习、巩固利用直角三角形边之间的关系、角之间的关系以及锐角三角函数值等相关的知识，为本节课的学习做好铺垫。
讲授新课 在Rt△ABC中,∠C=90° （1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗 （2）根据AC=，BC= ，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗 解直角三角形的定义： 在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形. 例1 在Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b,c,且a =，b =，求这个三角形的其他元素. 例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为 a,b,c,且b=30,∠B=25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1). 注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差.（为了便于学生计算，教师可以将角B改为特殊角） 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ , sin B＝ ，求BC的长． 学生动手计算后回答 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法 由例1的解题经验，同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题 从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义，并对解直角三角形的定义加以理解。 教师引导学生回顾解题过程后总结得出：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来。 通过拓展提升训练，让学生知道构造直角三角形解题的方法
课堂练习 1.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是（ ） A．10 B．20 C．40 D．28 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（ ） A. B.4 C. D. 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，则BC＝ 2 ，∠A＝_______． 4．如图，河流两岸a，b互相平行，A，B是河岸a上的两座建筑物，C，D是河岸b上的两点，A，B之间的距离为200 m．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度为_______m. 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为 a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素. (1) a=20,∠A=45°; (2)a=36, ∠B=30°. 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9，求： (1)BC的长； (2)cos ∠BCD的值． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 第5课时 解直角三角形1.解直角三角形定义 例题:习题板书区
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