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4.5 相似三角形判定定理的证明
北师版 九年级上
新知导入
想一想：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
③ 三边对应成比例，两三角形相似.
新知讲解
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明.
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
如何对文字命题进行证明？
试着根据文字命题画图，然后根据图形和文字命题写出已知，求证。
新知讲解
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
分析：现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等。
新知讲解
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可，根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A'B'C'全等的三角形。
新知讲解
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E
D
E
则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
则
F
新知讲解
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
F
∵DE∥BC, DF∥AC，∴ 四边形DFCE是平行四边形
∴DE = CF.
而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠ C，
∴ △ADE∽△ABC.
∵ ∠A =∠A'，∠ADE =∠B =∠B'，AD=A'B'，
∴ △ADE≌△A'B'C' ． ∴ △ABC∽△A'B'C.
新知讲解
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
【总结归纳】
几何语言：
在△ABC与△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
A′
B′
C′
A
B
C
新知讲解
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在△ABC的边AB上截取AD=A'B'．
过点D作BC的平行线，交AC于点 E
D
E
则∠B=∠ADE，∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE
新知讲解
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A′
B′
C′
A
B
C
∴AE=A'C'
而∠A=∠A'，
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△ABC∽△A′B′C′
D
E
新知讲解
总结归纳：
三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽△A′B′C′ .
A′
B′
C′
A
B
C
新知讲解
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
思考：
（1）要证明这个定理可以采用哪些方法？（2）根据前面两个定理的证明过程，你有哪些解题思路？
新知讲解
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在△ABC的边AB，AC上截取AD=A'B'，
AE=A'C'，连接DE.
D
E
而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE
新知讲解
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
∴DE=B'C'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△ABC∽△A′B′C′
新知讲解
相似三角形的判定定理3：
【总结归纳】
三边成比例的两个三角形相似．
数学表达式：
∴△ABC∽△A′B′C′.
在△ABC与△A′B′C′中，
A′
B′
C′
A
B
C
课堂练习
1.已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB的长.
解： ∵ ∠ A=∠ A，∠ABD=∠C,
∴ △ABD∽△ACB ,
∴AB2=AD·AC
∵AD=2，AC=8，∴AB=4
课堂练习
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长.
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=
又∵∠ABC=∠DCA
∴△ABC∽△DCA
B
A
C
D
课堂练习
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.
(1)如图①，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC.
拓展提高
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.
(2)如图②，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2.
证明：由(1)知∠DAF＝2α＝∠BAC，
∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAF.
又∵AB＝AC，AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)．
拓展提高
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.
(2)如图②，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2.
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF.
∵∠BAC＝2×45°＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°. ∴∠ACF＝45°.
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°.∴EF2＝CE2＋CF2.
∵D，F关于直线AE对称，∴DE＝EF.
又∵BD＝CF，∴DE2＝BD2＋CE2.
中考链接
4.【2020·泰安】小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上，抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
中考链接
探究发现：
(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图②)，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？________.(填“是”或“否”)
拓展延伸：
(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
是
中考链接
解：结论成立：
理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC＋∠CDF＝90°，∠EDF＋∠CDF＝90°.
∴∠BDC＝∠EDF.
∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC.∴∠A＝∠EDF.
拓展延伸：
(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
中考链接
∵∠A＋∠ACB＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴∠A＝∠E. ∴∠E＝∠EDF. ∴EF＝FD.
∵∠E＋∠ECD＝90°，∠EDF＋∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC. ∴FD＝FC. ∴EF＝FC.
∴点F是EC的中点．
拓展延伸：
(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
课堂总结
本节课你学到了什么？
通过辅助线的添加，找到问题的关键点，抓住规律，强化相似三角形判定定理的证明：
1.两角对应相等，两三角形相似；
2.三边对应成比例,两三角形相似；
3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
板书设计
课题：4.5 相似三角形判定定理的证明
教师板演区
学生展示区
一、定理1
二、定理2
三、定理3
作业布置
课本P102 练习题
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北师版九年级上册数学4.5 相似三角形判定定理的证明
教学设计
课题 4.5 相似三角形判定定理的证明 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1. 以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法. 2. 会证明相似三角形判定定理.3. 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
重点 证明相似三角形判定定理．抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点.
难点 证明相似三角形判定定理
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 想一想：相似三角形的判定方法有哪些？① 两角对应相等，两三角形相似.② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.③ 三边对应成比例，两三角形相似. 学生思考回答问题。 让学生进一步回顾相关知识点，为进行新课做好准备.
讲授新课 在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明.定理1：两角分别相等的两个三角形相似.如何对文字命题进行证明？试着根据文字命题画图，然后根据图形和文字命题写出已知，求证。已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'．分析：现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等。下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可，根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A'B'C'全等的三角形。证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD= ，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，.过点D作AC的平行线，交BC于点F,则.∴ .∵ DE∥BC,DF∥AC,∴ 四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF.∴.∴.而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠, ∠ADE=∠B=∠,AD=,∴△ADE≌△.∴△ABC∽△.【总结归纳】相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD= ，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C,∴△ABC∽△ADE.∴.∵∴.∴.∴.而∴△ADE≌.∴△ABC∽。总结归纳：三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言： ∠A=∠A′，∴ △ABC ∽△A′B′C′ .定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知:如图,在△ABC和△ 中, .求证：△ABC ∽△.思考：（1）要证明这个定理可以采用哪些方法？（2）根据前面两个定理的证明过程，你有哪些解题思路？证明:在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线) 上分别截取,,连接DE.∵∴而∴△ABC ∽△ADE,∴又∴∴∴∴△ADE≌△.∴△ABC ∽△.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC∽△A′B′C′. 定理1由教师用课件展示证明过程，特别是添加辅助线应该让学生先分组讨论，再进行尝试画图，最后老师展示证明的全部过程.学生总结归纳。定理2由教师用课件展示证明过程，特别是添加辅助线应该让学生借助探究1先分组讨论，再进行尝试画图，并由两名学生板书证明过程,最后老师展示证明的全部过程加以矫正.定理3应该让学生借助探究1、2先分组讨论，再进行尝试画图，并由两名学生板书证明过程,由教师用课件展示证明过程，特别是添加辅助线，学生完全可以模仿探究２进行.最后老师展示证明的全部过程加以矫正. 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，进一步熟悉证明文字命题的基本步骤:画图、写已知、求证、证明过程.同时通过分析问题,提高学生交流的能力和语言表达能力！由于学生已经有了探究1的基本方法和思路,因此,探究2处理起来应该很顺利,可以大胆放手给学生,这样更能激发学生的求知欲望,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣和成功的喜悦.由于学生已经有了探究1、２的基本方法和思路,因此,探究３处理起来应该很顺利,可以大胆放手给学生,这样更能激发学生的求知欲望,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣和成功的喜悦.
课堂练习 1.已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB的长.解： ∵ ∠ A=∠ A，∠ABD=∠C, ∴ △ABD∽△ACB ,∴AB2=AD·AC∵AD=2，AC=8，∴AB=42.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长.解：AB=6，BC=4，AC=5，CD=∴.又,∴∽,∴,∴.3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.(1)如图①，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC.证明：∵D，F关于直线AE对称，∴AD＝AF，∠DAE＝∠FAE＝α.∴∠DAF＝2α＝∠BAC.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴＝.∴△ADF∽△ABC.(2)如图②，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2.证明：由(1)知∠DAF＝2α＝∠BAC，∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)．∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF.∵∠BAC＝2×45°＝90°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝45°. ∴∠ACF＝45°.∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°.∴EF2＝CE2＋CF2.∵D，F关于直线AE对称，∴DE＝EF.又∵BD＝CF，∴DE2＝BD2＋CE2.4.【2020·泰安】小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上，抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图②)，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？____是____.(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC＋∠CDF＝90°，∠EDF＋∠CDF＝90°.∴∠BDC＝∠EDF.∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC.∴∠A＝∠EDF.∵∠A＋∠ACB＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E. ∴∠E＝∠EDF. ∴EF＝FD.∵∠E＋∠ECD＝90°，∠EDF＋∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC. ∴FD＝FC. ∴EF＝FC.∴点F是EC的中点． 学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错． 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 本节课你学到了什么？通过辅助线的添加，找到问题的关键点，抓住规律，强化相似三角形判定定理的证明：1.两角对应相等，两三角形相似；2.三边对应成比例,两三角形相似；3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 通过盘点收获，学生小结了本节课的知识要点及数学方法，进一步加深了对类比学习方法的感受，使知识系统化.
板书 课题：4.5 相似三角形判定定理的证明一、定理1二、定理2三、定理3
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