(共28张PPT)
4.6 利用相似三角形测高
北师版 九年级上
新知导入
新知导入
你知道这些建筑物的高度吗？
新知导入
我们怎样测量旗杆的高度呢？
今天我们要学一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度、大树的树高、楼房等。
新知讲解
活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯杆)的高度.
活动方式：分组活动、全班交流研讨.
活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.
新知讲解
探究1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度.
如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由.
你能将实际问题转化为数学模型吗
新知讲解
C
A
E
B
D
观察图形，如何测量旗杆CD的高度呢？
解：∵太阳的光线是平行的，
∴AE∥CB，
∵人与旗杆是垂直于地面的，
∴△ABE∽△CDB.
∴∠ABE=∠CDB=90°，
∴∠AEB=∠CBD.
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了.
求旗杆高BC，需测量人的高度DF，影长EF及旗杆的影长AB.
新知讲解
【总结归纳】
示意图
C
D
E
F
B
A
测量数据：
相关算式：
方法一：利用阳光、影子测量高度（在同一时刻高与影长成正比）
设BC=x，
由△DEF∽△CAB，
得
新知讲解
探究2：利用标杆测量旗杆的高度.
每个小组选一名学生作为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度.
你能将实际问题转化为数学模型吗
新知讲解
观察图形，如何测量旗杆CD的高度呢？
A
B
F
E
D
C
N
M
解：如图，过点A作AN⊥CD于N，交EF于M.
∵EF⊥BD，CD⊥BD，∴∠EFD=∠CDF=90°，∴EF∥CD，∴∠AME=∠ANC.
∵∠CAM=∠CAN，∴ △AME∽△ANC,
新知讲解
观察图形，如何测量旗杆CD的高度呢？
A
B
F
E
D
C
N
M
又∵AB⊥BD，
∴∠ABF=∠CDF=∠AND=90°，
∴四边形ABDN为矩形，∴DN=AB，AN=BD，
∴CD=CN+ND=CN+AB.
因此，只要测量出人的高度AB，人到旗杆的距离BD，人到标杆的距离BF ，标杆的高度EF ，就可以求出旗杆CD的高度.
测量数据：
求旗杆高CD，需测量AB、EF、BF、DF.
新知讲解
【总结归纳】
示意图
相关算式：
方法二：利用标杆测量高度
设CD=x，
由△AME∽△ANC，
得
A
B
F
E
D
C
N
M
新知讲解
探究3：利用镜子的反射测量旗杆的高度.
操作方法：选一名学生为观测者.在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端.测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度.
你能将实际问题转化为数学模型吗
新知讲解
观察图形：
（1）入射角和反射角指的是哪两个角？
（2）利用相似三角形的哪个判定定理可以证明出△ABE∽△CDE？你能完成证明过程吗？
A
B
E
D
C
新知讲解
观察图形，如何测量旗杆CD的高度呢？
A
B
E
D
C
F
解：∵入射角=反射角，∴∠AEF=∠CEF，
∴∠AEB =∠CED.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABE=∠CDE=90°，
∴△ABE∽△CDE，
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度.
测量数据：
求旗杆高CD，需测量AB、BE、DE
新知讲解
【总结归纳】
示意图
相关算式：
方法三：利用平面镜测量高度（光线的反射角等于入射角）
设CD=x，
由△CDE∽△ABE，
得
A
B
E
D
C
F
课堂练习
1.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，
BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深
AC为_______米．
7
课堂练习
2.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是( )
A．17.5 m
B．17 m
C．16.5 m
D．18 m
A
课堂练习
3.泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( )
A．图形的平移
B．图形的旋转
C．图形的轴对称
D．图形的相似
D
课堂练习
4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )
A．五丈 B．四丈五尺
C．一丈 D．五尺
B
拓展提高
5.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求B处到灯塔P的距离；
拓展提高
(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
中考链接
6.【中考·吉林】如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝________m.
100
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
利用相似三角形测高
（1）利用阳光下的影长测高
被测物体的高度
被测物体的影长
=
参照物的高度
参照物的影长
（2）利用标杆测高
利用人、标杆与被测物体构造相似三角形
（3）利用镜子的反射测高
利用物理中的入射角等于反射角构造相似三角形
板书设计
课题：4.6 利用相似三角形测高
教师板演区
学生展示区
一、利用阳光下的影长测高
二、利用标杆测高
三、利用镜子的反射测高
作业布置
课本 P105 练习题
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北师版九年级上册数学4.6 利用相似三角形测高教学设计
课题 4.6 利用相似三角形测高 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，提高综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题的能力，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．2．在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心．
重点 1．综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题. 2．有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.
难点 把生活中的问题转化为数学问题，利用工具构造相似三角形模型.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师课件出示图片教师提问：你知道这些建筑物的高度吗？我们怎样测量旗杆的高度呢？今天我们要学一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度、大树的树高、楼房等。 学生看图片，思考问题。 通过出示图片，提高学生的学习兴趣，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．
讲授新课 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯杆)的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由.你能将实际问题转化为数学模型吗 观察图形，如何测量旗杆CD的高度呢？说明：AE、BC表示光线，DC表示旗杆，EB表示人影长，AB表示身高，BD表示杆影长．∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB．∴∠AEB＝∠CBD．∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB．∴△ABE∽△CBD． ∴． 即CD=．因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．【总结归纳】方法一：利用阳光、影子测量高度（在同一时刻高与影长成正比）示意图测量数据：求旗杆高BC，需测量人的高度DF，影长EF及旗杆的影长AB.相关算式：设BC=x，由△DEF∽△CAB，得探究2：利用标杆测量旗杆的高度.每个小组选一名学生作为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度.你能将实际问题转化为数学模型吗 观察图形，如何测量旗杆CD的高度呢？解：如图，过点A作AN⊥CD于N，交EF于M.∵EF⊥BD，CD⊥BD，∴∠EFD=∠CDF=90°，∴EF∥CD，∴∠AME=∠ANC.∵∠CAM=∠CAN，∴ △AME∽△ANC,又∵AB⊥BD， ∴∠ABF=∠CDF=∠AND=90°，∴四边形ABDN为矩形，∴DN=AB，AN=BD，∴CD=CN+ND=CN+AB. 因此，只要测量出人的高度AB，人到旗杆的距离BD，人到标杆的距离BF ，标杆的高度EF ，就可以求出旗杆CD的高度.方法二：利用标杆测量高度示意图 求旗杆高CD，需测量AB、EF、BF、DF.相关算式：设CD=x，由△AME∽△ANC，得探究3：利用镜子的反射测量旗杆的高度.操作方法：选一名学生为观测者.在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端.测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度.你能将实际问题转化为数学模型吗 观察图形：（1）入射角和反射角指的是哪两个角？（2）利用相似三角形的哪个判定定理可以证明出△ABE∽△CDE？你能完成证明过程吗？解：∵入射角=反射角，∴∠AEF=∠CEF，∴∠AEB =∠CED.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABE=∠CDE=90°，∴△ABE∽△CDE，因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度.【总结归纳】方法三：利用平面镜测量高度（光线的反射角等于入射角）示意图 求旗杆高CD，需测量AB、BE、DE设CD=x，由△CDE∽△ABE，得 由小组交流、体会操作方法，把生活中的问题转为数学模型．教师注意点拨：把太阳的光线看成是平行的，构造出相似三角形进而利用三角形相似得出比例式．由小组交流、理解、体会操作方法，在教师引导下构造出相似三角形，了解可测出的数量，并完成解题过程．教师提醒用此方法时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直．学生先独立思考体会操作方法，在教师引导下理解“入射角＝反射角”这一物理知识，并根据相似三角形完成解题过程．教师引导学生如何根据测量的数据及相似三角形的知识求解，代入测量数据即可求出CD的长度 设置贴近学生生活的情景问题，使学生置身其中，提高学生的注意力，从而达到更有效的激发学生的情趣，使学生很快的进入学习状态．学生从中感受到相似三角形的构造方法，同时复习应用了相似三角形的判定方法．体会数学来源于生活并服务于生活．结合物理上的知识“入射角＝反射角”得到相似三角形，将物理与数学相结合，体会知识服务于生活这一理念．
课堂练习 1.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为____7___米．2.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是( A )A．17.5 m B．17 mC．16.5 m D．18 m3.泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( D )A．图形的平移 B．图形的旋转C．图形的轴对称 D．图形的相似4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( B )A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺5.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求B处到灯塔P的距离；解：由题易得∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°.∴PB＝AB＝60海里．(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？作PH⊥AB于点H，如图．∴BC∥PH.∵∠CBP＝30°，∴∠BPH＝30°.∴BH＝BP＝30海里．在Rt△BHP中，PH＝＝30海里．∵30>50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．6.【中考·吉林】如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝____100____m. 要求学生先独立思考，再合作交流，集思广益．师生共同完成书写过程，教师找学生口述过程． 注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的有关知识解决相关问题.
课堂小结 本节课你学到了哪些知识？利用相似三角形测高（1）利用阳光下的影长测高（2）利用标杆测高（3）利用镜子的反射测高 学生在教师的引导下总结归纳。 过让学生积极反思所学，大胆发言，谈收获或困惑，从而揭示问题的本质，养成数学思考和反思总结的习惯．
板书 课题：4.6 利用相似三角形测高一、利用阳光下的影长测高二、利用标杆测高三、利用镜子的反射测高
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