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北师版九年级上册数学4.4.4 黄金分割教学设计
课题 4.4.4 黄金分割 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。2.通过找一条线段的黄金分割点,培养学生理解与动手能力。3.理解黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点和图形,让学生认识教学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。
重点 了解黄金分割的意义并能运用
难点 找出黄金分割点和黄金矩形
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师课件出示图片自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、埃菲尔铁塔、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？同学们，你们想知道什么原因吗？ 学生观看图片，思考教师回答的问题。 通过播放常见的图片，让学生初步了解黄金分割普遍存在于我们的日常生活中，为下面的学习做铺垫。
讲授新课 观察下图中的五角星，思考下面几个问题。(1)从图中找出相等的角、相等的线段.(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.(3)用刻度尺分别度量线段AC，BC的长度，计算 通过计算，你发现了什么？黄金分割的定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.一条线段有几个黄金分割点？2个例1：计算黄金比.解：由得AC2=AB·BC.设AB=1，AC=x，则BC=1-x.∴x2=1× (1-x). 即x2+x-1=0.解这个方程，得x1= x2= (不合题意，舍去).所以，黄金比拓展提高自然界中的黄金分割在日常生活中，黄金分割处处可见。如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉很好。有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比接近黄金比。普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.想一想如图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，思考：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？∵四边形AEFD是正方形，∴AD=BC=AE∴点E是AB的黄金分割点。矩形ABCD的宽与长的比是黄金比。黄金矩形宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.拓展提高黄金三角形顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，它的底边与腰长的比等于黄金比. 学生通过观察、思考、交流,教师引导、回答问题。学生在教师的引导下理解黄金分割的定义。学生利用所学知识计算黄金比。教师介绍黄金矩形将黄金分割的意义一维图形扩展到二维图形,同时通过巴台农神庙展示黄金分割的历史文化价值。 利用五角星,创设一个有利于学生探究和综合运用线段比的情境。引入黄金分割的概念、黄金比约为0.618.培养学生建立数学模型的能力,让学生亲自计算,发现生活中的黄金分割,感受数学与生活的密切联系。 深挖概念,把握规律。帮助学生更深刻的理解黄金分割的定义。在于展示黄金分割的文化价值,在人类历史上的作用,运用比例变形的一些技巧,体会比例基本性质的重要性,提高解题问题的能力。
课堂练习 1.黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算－1的值( B )A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间2.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式正确的是( C ).A．AB2＝AC·BC B．BC2＝AC·ABC．AC2＝BC·AB D．AC2＝2AB·BC3.若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8 cm，AC＞BC，则AC的长为( C )A. cm B．2(－1) cmC．4(－1) cm D．6(－1) cm4.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走( A )米才最理想．A．18－6 B．6－6C．6＋6 D．18－6或6－65.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.求证：点E为线段AB的黄金分割点；证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°.∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°.∴∠BCE＝∠A.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE.∴＝，即BC2＝AB·BE.∵∠B＝72°，∠BCE＝36°，∴∠BEC＝72°＝∠B.∴BC＝EC.同理可得AE＝EC，∴BC＝AE.∴AE2＝AB·BE.∴点E为线段AB的黄金分割点．6.【2020·泸州】如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为( A )A．10－4 B．3－5C. D．20－8 学生利用所学知识做练习。 巩固本节课所学知识。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.2.一条线段有两个黄金分割点 学生在教师的引导下总结归纳。
板书 课题：4.4.4 黄金分割一、什么是黄金分割？二、黄金分割点三、黄金比
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4.4.4 黄金分割
北师版 九年级上
新知导入
我们欣赏几幅图片
新知导入
我们欣赏几幅图片
新知导入
自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、埃菲尔铁塔、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？
同学们，你们想知道什么原因吗？
新知讲解
观察下图中的五角星，思考下面几个问题。
(1)从图中找出相等的角、相等的线段.
(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.
(3)用刻度尺分别度量线段AC，BC的长度，计算
通过计算，你发现了什么？
新知讲解
黄金分割的定义：
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
B
C
A
一条线段有几个黄金分割点？
2个
新知讲解
例1：计算黄金比.
解：由 得AC2=AB·BC.
设AB=1，AC=x，则BC=1-x.
∴x2=1× (1-x). 即x2+x-1=0.
解这个方程，得
x1= x2= (不合题意，舍去).
所以，黄金比
新知讲解
拓展提高
自然界中的黄金分割
在日常生活中，黄金分割处处可见。如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉很好。
有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比接近黄金比。
普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.
新知讲解
想一想
如图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，
新知讲解
思考：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
∵四边形AEFD是正方形，∴AD=BC=AE
∴点E是AB的黄金分割点。
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比。
新知讲解
黄金矩形
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
新知讲解
拓展提高
A
C
B
黄金三角形
顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，它的底边与腰长的比等于黄金比.
课堂练习
B
课堂练习
2.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式正确的是( ).
A．AB2＝AC·BC
B．BC2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB
D．AC2＝2AB·BC
C
课堂练习
C
课堂练习
4.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走( )米才最理想．
A
拓展提高
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.
求证：点E为线段AB的黄金分割点；
拓展提高
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.
求证：点E为线段AB的黄金分割点；
中考链接
6.【2020·泸州】如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为( )
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
2.一条线段有两个黄金分割点
板书设计
课题：4.4.4 黄金分割
教师板演区
学生展示区
一、什么是黄金分割？
二、黄金分割点
三、黄金比
作业布置
课本 P98 练习题
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