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1.2.3相反数
(
学习目标
)
学习目标：1、会借助数轴理解相反数的意义，会求任意有理数的相反数。
利用数轴直观认识相反数的位置，渗透数形结合的思想方法。
通过相反数的学习，体会数学符号化和和属性结合思想，进一步认识事物之间的联系。
学习重点：相反数的概念及其表示方法，能写出任意数的相反数，会对符号进行化解。
学习难点：负数的相反数的写法，多重符号的化解。
(
知识梳理
)
1. 相反数的定义：像2和－2，5和－5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.把其中一个数叫做另一个数的相反数.如2是－2的相反数，－2也是2的相反数.一般地，a和－a互为相反数.特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
(1)“只有”和“两个数”是掌握相反数的关键词.“只有”指的是除了符号不同外完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数.例如＋2与－1，符号不同，但不能说它们互为相反数.“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在.例如：＋6与－6互为相反数，是说＋6是－6的相反数，－6也是＋6的相反数.
(2)相反数的概念不要与倒数的概念相混淆.
2. 相反数的意义：相反数在数轴上分别位于原点的左右，到原点的距离相等.如图所示，－3和＋3，＋2.5和－2.5就互为相反数，它们到原点的距离分别是3，2.5.
(1)数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等.
(2)数轴上与原点的距离是a(a是一个正数)的点有两个，分别在原点左右，表示－a和a.
(3)数轴上表示数0的点到原点的距离为0.
3. 相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.
0是唯一一个相反数等于本身的数.如果a＝－a，那么a一定是0.
4. 相反数的特征：
(1)若a与b互为相反数，则a＋b＝0(或a＝－b)；
(2)若a＋b＝0(或a＝－b)，则a与b互为相反数.
5. 求一个数的相反数的方法：
(1)求一个具体数的相反数时，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数.
(2)求一个字母或一个式子的相反数时，也只需在这个字母或这个式子的整体前面加上“－”号，如a的相反数为－a，a－b的相反数为－(a－b)，这里的括号是必须要加的.
6. 相反数的表示方法：
数a的相反数是－a，这里的数a是任意有理数，即a可以是正数、负数或0.
当a>0时，－a<0(正数的相反数是负数)；
当a<0时，－a>0(负数的相反数是正数)；
当a＝0时，－a＝0(0的相反数是0).
以上说明，－a不一定就是负数.
7. 多重符号的化简方法：一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号都去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只剩一个“－”号；0前面不论有多少个“＋”“－”号，化简后仍是0.
(
提升
练习
)
一、单选题
1.（2021·恩施）-6的相反数是（ ）
A. -6 B. 6 C. ±6 D.
【答案】 B
【详解】-6的相反数是6.
故答案为：B.
2.（2021·吉林）化简 的结果为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】 C
【详解】 ，
故答案为：C ．
3.（2021·古冶模拟）若a与1互为相反数，那么 （ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】 B
【详解】∵互为相反数的两数和为0，
∴a+1=0，
故答案为：B．
4.（2021·新华模拟）如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【详解】由相反数的性质知：a+b=0，a=-b ， ；
A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 由 得 ，即a ， b互为倒数，符合题意；
故答案为：D
5.（2020七上·正定期中）下列说法中,错误的是（ ）
A. 零没有相反数. B. 最大的负整数是-1.
C. 互为相反数的两个数到原点的距离相等 D. 没有最小的有理数.
【答案】 A
【详解】A、零的相反数是0，故本选项符合题意；
B、最大的负整数是-1，故本选项⑴符合题意；
C、互为相反数的两个数到原点的距离相等，故本选项⑴符合题意；
D、没有最小的有理数，故本选项⑴符合题意．
故答案为：A．
6.（2020七上·郓城月考）一个数的相反数比它的本身小,则这个数是 （ ）
A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 负数和0
【答案】 A
【详解】根据相反数的定义，知一个数的相反数比它的本身小，则这个数是正数．
故答案为：A．
7.（2020七上·重庆期中）有理数 a 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. a < -1 < -a < 1 B. a < -1 < 1 < -a
C. -1 < a < -a < 1 D. -1 < a < 1 < -a
【答案】 C
【详解】 ， 的相反数是 ，-1，如图所示：
∴ .
故答案为：C.
8.（2020七上·潮南月考）如果将汽车向东行驶3千米，记为+3千米，那么记为-3千米表示的是( )
A. 向西行驶3千米 B. 向南行驶3千米
C. 向北行驶3千米 D. 向东南方向行驶3千米
【答案】 A
【详解】向东行驶3千米，记为+3千米；
所以，向西行驶3千米，记为-3千米。
故答案为：A.
9.（2020七上·潜江期末）数轴是数形结合思想的产物.有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系.同时，数轴也是我们研究相反数、绝对值的直观工具.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a的相反数是（ ）
A. a B. b C. c D. ﹣b
【答案】 C
【详解】由数轴可得，
有理数a表示﹣2，b表示﹣3.5，c表示2，
∴a的相反数是c，
故答案为：C.
二、填空题
10.（2021六下·奉贤期末） 的相反数是________.
【答案】
【详解】 的相反数是 .
11.（2021七上·桂林期末）若a与4互为相反数，则a=________.
【答案】 4
【详解】∵a与4互为相反数，
∴a＝ 4，
故答案为： 4.
12.（2020七上·袁州期中）如图，点A表示的数的相反数是________．
【答案】 -2
【详解】∵点A在数轴上表示的数是2，
∴点A表示的数的相反数是-2．
故答案为：-2．
13.（2020七上·无锡期中）已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m＜n.则m＝________，n=________.
【答案】 -3；3
【详解】∵m，n互为相反数，
∴n=-m，
∵m＜n，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6，
∴n-m=6，
∴-m-m=6，
∴m=-3，n=3.
故答案为：-3，3.
14.（2020七上·龙岗期末）习近平总书记一贯提倡“厉行节约，反对浪费”。如果节约20 电记作+20 ，那么浪费10 记作________ 。
【答案】 -10
【详解】节约和浪费为相反的含义
∴节约为正，则浪费为负
∴浪费10kw·h记作-10kw·h
15.（2020七上·乐平期中）在数轴上，点A表示的数是1，点B ， C表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B表示的数是________．
【答案】 ﹣4或2
【详解】∵点A表示的数是1，点C与点A间的距离为3，
∴点C表示的数为4或﹣2，
∵点B ， C表示的数互为相反数，
∴点B表示的数为﹣4或2，
故答案为：﹣4或2．
16.（2020七上·滨州期末）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②-a是负数；③a与-a必有一个是负数；④a与-a互为相反数，其中正确的序号是________.
【答案】 ④
【详解】 ∵a是有理数， ∴a可能是正数或负数或0，当a=0时，-a=0；故①②③错误；
∵a是有理数，∴a与-a互为相反数，故④正确.
故答案为：④.
三、综合题
17.化简下列各式，并解答问题：
①-（-2）；
②+（- ）；
③-[-（-4）]；
④-[-（+3.5）]；
⑤-{-[-（-5）]}；
⑥-{-[-（+5）]}.
问：
（1）当+5前面有2 018个负号时，化简后结果是多少？
（2）当-5前面有2019个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？
【答案】 （1）解：①-（-2）=2；②+(- =- ；③-［-（-4）］=-4；④-［-（+3.5）］=3.5；⑤-{-［-（-5）］}=5；⑥-{-［-（+5）］}=-5.
当+5前面有2 018个负号时，化简后的结果是+5.
（2）解：当-5前面有2 019个负号时，化简后的结果是+5.
总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简后的结果等于它本身．
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学习目标：1、会借助数轴理解相反数的意义，会求任意有理数的相反数。
利用数轴直观认识相反数的位置，渗透数形结合的思想方法。
通过相反数的学习，体会数学符号化和和属性结合思想，进一步认识事物之间的联系。
学习重点：相反数的概念及其表示方法，能写出任意数的相反数，会对符号进行化解。
学习难点：负数的相反数的写法，多重符号的化解。
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1. 相反数的定义：像2和－2，5和－5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.把其中一个数叫做另一个数的相反数.如2是－2的相反数，－2也是2的相反数.一般地，a和－a互为相反数.特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
(1)“只有”和“两个数”是掌握相反数的关键词.“只有”指的是除了符号不同外完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数.例如＋2与－1，符号不同，但不能说它们互为相反数.“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在.例如：＋6与－6互为相反数，是说＋6是－6的相反数，－6也是＋6的相反数.
(2)相反数的概念不要与倒数的概念相混淆.
2. 相反数的意义：相反数在数轴上分别位于原点的左右，到原点的距离相等.如图所示，－3和＋3，＋2.5和－2.5就互为相反数，它们到原点的距离分别是3，2.5.
(1)数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等.
(2)数轴上与原点的距离是a(a是一个正数)的点有两个，分别在原点左右，表示－a和a.
(3)数轴上表示数0的点到原点的距离为0.
3. 相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.
0是唯一一个相反数等于本身的数.如果a＝－a，那么a一定是0.
4. 相反数的特征：
(1)若a与b互为相反数，则a＋b＝0(或a＝－b)；
(2)若a＋b＝0(或a＝－b)，则a与b互为相反数.
5. 求一个数的相反数的方法：
(1)求一个具体数的相反数时，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数.
(2)求一个字母或一个式子的相反数时，也只需在这个字母或这个式子的整体前面加上“－”号，如a的相反数为－a，a－b的相反数为－(a－b)，这里的括号是必须要加的.
6. 相反数的表示方法：
数a的相反数是－a，这里的数a是任意有理数，即a可以是正数、负数或0.
当a>0时，－a<0(正数的相反数是负数)；
当a<0时，－a>0(负数的相反数是正数)；
当a＝0时，－a＝0(0的相反数是0).
以上说明，－a不一定就是负数.
7. 多重符号的化简方法：一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号都去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只剩一个“－”号；0前面不论有多少个“＋”“－”号，化简后仍是0.
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一、单选题
1.（2021·恩施）-6的相反数是（ ）
A. -6 B. 6 C. ±6 D.
2.（2021·吉林）化简 的结果为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3.（2021·古冶模拟）若a与1互为相反数，那么 （ ）
A. B. 0 C. 1 D.
4.（2021·新华模拟）如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
5.（2020七上·正定期中）下列说法中,错误的是（ ）
A. 零没有相反数. B. 最大的负整数是-1.
C. 互为相反数的两个数到原点的距离相等 D. 没有最小的有理数.
6.（2020七上·郓城月考）一个数的相反数比它的本身小,则这个数是 （ ）
A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 负数和0
7.（2020七上·重庆期中）有理数 a 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. a < -1 < -a < 1 B. a < -1 < 1 < -a
C. -1 < a < -a < 1 D. -1 < a < 1 < -a
8.（2020七上·潮南月考）如果将汽车向东行驶3千米，记为+3千米，那么记为-3千米表示的是( )
A. 向西行驶3千米 B. 向南行驶3千米
C. 向北行驶3千米 D. 向东南方向行驶3千米
9.（2020七上·潜江期末）数轴是数形结合思想的产物.有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系.同时，数轴也是我们研究相反数、绝对值的直观工具.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a的相反数是（ ）
A. a B. b C. c D. ﹣b
二、填空题
10.（2021六下·奉贤期末） 的相反数是________.
11.（2021七上·桂林期末）若a与4互为相反数，则a=________.
12.（2020七上·袁州期中）如图，点A表示的数的相反数是________．
13.（2020七上·无锡期中）已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m＜n.则m＝________，n=________.
14.（2020七上·龙岗期末）习近平总书记一贯提倡“厉行节约，反对浪费”。如果节约20 电记作+20 ，那么浪费10 记作________ 。
15.（2020七上·乐平期中）在数轴上，点A表示的数是1，点B ， C表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B表示的数是________．
16.（2020七上·滨州期末）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②-a是负数；③a与-a必有一个是负数；④a与-a互为相反数，其中正确的序号是________.
三、综合题
17.化简下列各式，并解答问题：
①-（-2）；
②+（- ）；
③-[-（-4）]；
④-[-（+3.5）]；
⑤-{-[-（-5）]}；
⑥-{-[-（+5）]}.
问：
（1）当+5前面有2 018个负号时，化简后结果是多少？
（2）当-5前面有2019个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？
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