山东省泰安市第四高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（10月底）数学试卷（PDF版含答案）

2021-2022 学年泰安四中第一次月考
高二数学试题
2021.10
一、单项选择题：本题共 14小题，每小,5分，共 70分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系 Oxyz中，点(1，－2，4)关于 x轴对称的点为
A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2，4)
C.(1，2，－4) D.(1，2，4)

2.已知向量 a 2,3,1 ，b 1,

2,4 ，则a b （ ）
A.(－1,1,5) B.(－3,5,－3)
C.(3,－5,3) D.(1,－1,－5)
3.已知 a =(﹣3，2，5)， b=(1，m，3)，若 a⊥ b，则常数 m=（ ）
A.﹣6 B.6 C.﹣9 D.9

4. 已 知 点 O,A,B,C 为 空 间 不 共 面 的 四 点 ， 且 向 量 a OA OB OC ， 向 量

b OA OB OC ，则与 a，b不能构成空间基底的向量是（ ）

A.OA B.OB C.OC D.OA或OB
5.已知三棱锥 A﹣BCD 的各棱长均为 1，且 E是 BC的中点，则 AE CD =（ ）
1 1 1 1
A． B.- C. D.-
2 2 4 4
6.若直线 l向上的方向与 y轴的正方向成 30°角,则直线 l的倾斜角为 ( )
A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120°
7.如图所示，在四面体P ABC中，PC 平面 ABC， AB BC CA PC，那么二面角
B AP C的余弦值为（ ）
A. 2 B. 3
2 3
7 5C. D.
7 7
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8.若 A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则 m的值为 ( )
1
A. B.-1 C.-2 D.0
2
9.如图，点 P为矩形 ABCD所在平面外一点， PA 平面 ABCD，Q为 AP的中点，
AB 3， BC 4， PA 2，则点 P到平面 BQD的距离为（ ）
5 12
A. B.
13 13
13 13
C. D.
5 12
10.空间线段 AC AB， BD AB，且 AC : AB : BD 1:3:1，
设CD与 AB所成的角为 ，CD与面 ABC所成的角为 ，二面角C AB D的平面角为
，则（ ）
A. B.
2 2

C. D.
2 2
11.（2021 北京模拟）与直线 3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A.3x+4y﹣5＝0 B.3x+4y+5＝0
C.3x﹣4y+5＝0 D.3x﹣4y﹣5＝0
12.（2020秋 菏泽期中）两直线 l1：3x﹣2y﹣6＝0，l2：3x﹣2y+8＝0，则直线 l1关于直线
l2对称的直线方程为（ ）
A.3x﹣2y+24＝0 B.3x﹣2y﹣10＝0
C.3x﹣2y﹣20＝0 D.3x﹣2y+22＝0
x y
13.直线 1与 x轴，y轴分别交于点 A，B，以线段 AB为直径的圆的方程为（ ）
4 2
A. x2 y2 4x 2y 0 B. x2 y2 4x 2y 1 0
C. x2 y2 4x 2y 1 0 D. x2 y2 2x 4y 0
14.圆 x2＋y2－2x－1＝0关于直线 2x－y＋3＝0对称的圆的方程是
A. x 3 2 y 2 2 1 x 3 2 y 1 B. 2 2
2 2
C. x 3 2 y 2 2 2 D. x 3 2 y 2 2 2
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分。
15.下列四个命题中,为假命题的是( )
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为 tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为 tan α
16.下列说法不正确的是（ ）
y y
A. 1 k不能表示过点M x , yx 且斜率为 的直线方程； x 1 1 k1
x y
B.在 x轴 y轴上的截距分别为 a，b的直线方程为 1；
a b
C.直线 y kx b与 y轴的交点到原点的距离为b；
D.设 A 2,2 ， B 1,1 ，若直线 l : ax y 1 0与线段 AB有交点，则 a的取值范围
是 , 2
17.如图，以等腰直角三角形斜边 BC上的高 AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂
直的两个平面后，某学生得出下列四个结论,其中正确的是（ ）
A. ；
B.∠BAC=60°；
C.三棱锥 D﹣ABC是正三棱锥；
D.平面 ADC的法向量和平面 ABC的法向量互相垂直.
18（. 多选）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，AD 4, AB 2，平面 PAD
平面 ABCD, PAD

为等腰直角三角形，且 PAD ，O为底面 ABCD的中心，E为 PD的
2
FA
中点，F在棱 PA上，若 , [0,1]，则下列说法正确的有（ ）
PA
A. 21异面直线 PO与 AD所成角的余弦值为
7
B. 2 21异面直线 PO与 AD所成角的余弦值为
21
1
C. 5若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为 ，则
5 2
D. 5 5若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为 ，则
5 2
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三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3
19.若直线 k的斜率满足－ 3 3
20.（2020春 金湖县期中）设点 A（2，0）和 B（4，3），在直线 l：x﹣y+1＝0上找一点
P，使|PA|+|PB|的取值最小，则这个最小值为 .
21.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝ 2，E，F分
别是面 A1B1C1D1、面 BCC1B1的中心，则 E、F两点间的距离为________.
22.如图在一个 60°的二面角的棱上有两点 A、B，线段 AC、BD
分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱 AB垂直，
若 AB 2， AC 1， BD 2，则 CD= .
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四、解答题:本题共 3 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（12分）
（1）已知直线 l1:2x+（m+1）y+4=0与直线 l2：mx+3y-2=0平行，求 m的值；
（2）当 a为何值时，直线 l1：（a+2）x+（1-a）y-1=0与直线 l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0
互相垂直？
24（. 14分）如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1 AB AC 2，
AB AC，M、N 分别是CC1，BC的中点，点 P在线段 A1B1上，且
A1P A1B1 .
（1）证明：无论 取何值，总有 AM PN ；
1
（2）当 时，求平面 PMN 与平面 ABC夹角的余弦值.2
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25.（14分）如图，已知正方形 ABCD的四个顶点坐标分别为 A(0，－2)，C(4，2)，B(4，
－2)，D(0，2).
(1) 求对角线 AC所在直线的方程；
(2)求正方形 ABCD外接圆的方程；
(3)若动点 P为外接圆上一点，点 N(－2，0)为定点，问线段 PN中点的轨迹是什么 并求
出轨迹方程。
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2021-2022 学年泰安四中第一次月考
高二数学答案
2021.10
1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9B. 10.A 11 D 12D．13A. 14C.
15.ACD 【16】BCD 17.BC 18.BC
2 6
二：填空 19. 0, , 20. 5 21. 22. √5 6 3 2
三解答题
23
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24.解：以 A为坐标原点，分别以 AB, AC, AA1为 x, y, z轴建立 z
空间直角坐标系，
则 A 1（0， 0 ， 2），B1（2，0，2）， M（0，2，1），N（1,1，0），
A1P A1B1 (2,0,0) ( ,0,0),
A P AA1 A1P ( ,0,2)， PN (1 ,1, 2).
(Ⅰ)∵ AM (0,2,1)，∴ AM PN 0 2 2 0 .
∴无论 取何值， AM PN .
1
(II ) 时， P(1,0,2),PN (0,1, 2) , PM ( 1,2, 1) .
2 x y
而面 ABC的法向量 n 0,0,1 ，设平面 PMN的法向量为n1 (x, y,1)，

n1 PM x 2 y 1 0,
则 n1 (3,2,1) ,
n1 PN y 2 0,
n1.n 14设 为平面 PNM与平面 ABC所成锐二面角， cosa .
n . n 141
所以平面 PNM与平面 ABC 14所成锐二面角的余弦值是 .
14
25,
y 2 x 4
解析 (1)由两点式可知，对角线 AC所在直线的方程为 ，整理得 x－y－2
2 2 0 4
＝0．
0 4 2 2(2) 设 G为外接圆的圆心，则 G为 AC的中点，∴G , ，即(2，0)，设 r为
2 2
1
外接圆的半径，则 r＝ |AC|，而|AC| 2 2＝ 4 0 2 2 4 2 ，
2
∴r＝2 2 ．
∴外接圆方程为(x－2)2＋y2＝8．
x 2 y
(3)设 P点坐标为(x0，y0)，线段 PN的中点 M的坐标为(x，y)，则 x＝ 0 , y 0 ，
2 2
∴x0＝2x＋2，y0＝2y，①
∵点 P为外接圆上一点，
∴(x 20－2)2＋ y0 ＝8，将①代入并整理，得 x2＋y2＝2，
∴轨迹是以原点为圆心， 2 为半径的圆，轨迹方程为 x2＋y2＝2．
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