《24.4 相似三角形判定》同步练习2020-2021学年 沪教版九年级数学上册（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 《24.4 相似三角形判定》同步练习2020-2021学年 沪教版九年级数学上册（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 470.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-04 11:03:03 | ||
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文档简介
24.4 相似三角形判定
一．填空题
1．如图，已知∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中相似三角形共有 对．
2．已知，如图，CD是Rt△ACB斜边上的高，若AD＝6，BD＝2，CE＝3，则BC的长度为 ；BE的长度为 ．
3．如图，若AD AB＝AE AC，∠A＝70°，∠AED＝54°，则∠C＝ 度．
4．如图，已知Rt△ACB中，∠C＝90°，四边形MNPQ是正方形，若AN＝4，BP＝6，则PQ＝ ．
5．已知，如图，AB⊥AC，AC⊥CD，M为线段AC上一动点，AB＝4cm，AC＝11cm，CD＝6cm，当AM＝ 时，△ABM与以M，C，D构成的三角形相似．
6．如图，Rt△ABC内有三个正方形，DF＝9cm，GK＝6cm，则PQ的长是 ．
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AE⊥CD，垂足为E，AD＝2，DB＝1，AC＝，且∠ACB＝60°，则AE＝ ；∠ACE＝ ．
8．如图，G是等腰直角三角形的重心，且AC＝CB，∠ACB＝90°，CG＝GD，∠CGD＝90°，若AC＝6cm，则CD＝ ．
9．△ABC的面积为6cm2，BC＝2cm，则重心G到BC的距离为 ．
10．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，则∠AFB+∠ACB＝ ．
二．解答题
11．如图，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且点A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上．
12如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E是斜边AB延长线上一点，∠ECB＝∠BCD，AC＝4cm，AB＝10cm，则BE＝ ．
13如图，若，求证：∠ABD＝∠ACE．
14如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：＝．
15如图：已知△ABC是边长为6的正三角形纸片，沿EF翻折△AEF，使点A落在BC上点A′处，且BA′：A′C＝1：2，求：BE和CF的长．
16如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．
（1）当点P是边AB的中点时，比例式＝成立吗？为什么？
（2）当点P不是边AB的中点时，＝是否仍然成立？请说明理由．
17在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时cot∠ABC的值；若不存在，试说明理由．
参考答案与试题解析
一．填空题
1．如图，已知∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中相似三角形共有 4 对．
【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，
∴DE∥BC．
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，
∴△ADE∽△ACD．
∴共4对．
故答案是：4．
2．已知，如图，CD是Rt△ACB斜边上的高，若AD＝6，BD＝2，CE＝3，则BC的长度为 4 ；BE的长度为 5 ．
【分析】根据“CD是Rt△ACB斜边上的高”证得△CDB∽△ACB，进而得到BC2＝BD AB，即可求得BC，再利用勾股定理即可得到BE．
【解答】解：∵CD是Rt△ACB斜边上的高，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠DBC＝∠CBA，
∴△CDB∽△ACB，
∴＝，即BC2＝BD AB，
∵AD＝6，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝8，
∴BC＝4，
在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴BE＝5．
故答案为：4，5．
3．如图，若AD AB＝AE AC，∠A＝70°，∠AED＝54°，则∠C＝ 56 度．
【分析】利用相似三角形的判定方法可判断△ADE∽△ACB，则∠ADE＝∠C，然后利用三角形内角和计算出∠ADE，从而得到∠C的度数．
【解答】解：∵AD AB＝AE AC，
∴＝，
而∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣70°﹣54°＝56°．
故答案为56．
4．如图，已知Rt△ACB中，∠C＝90°，四边形MNPQ是正方形，若AN＝4，BP＝6，则PQ＝ 2 ．
【分析】设PQ＝x，证明△AMN∽△QBP，则利用相似比得到＝，即＝，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】解：设PQ＝x，
∵四边形MNPQ是正方形，
∴MN＝PQ＝x，∠MNP＝∠QPN＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
而∠A+∠AMN＝90°，
∴∠AMN＝∠B，
∵∠ANM＝∠BPQ，
∴△AMN∽△QBP，
∴＝，即＝，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴PQ＝2．
故答案为2．
5．已知，如图，AB⊥AC，AC⊥CD，M为线段AC上一动点，AB＝4cm，AC＝11cm，CD＝6cm，当AM＝ cm 时，△ABM与以M，C，D构成的三角形相似．
【分析】首先判定△ABM∽△CDM，然后由该相似三角形的对应边相等得到：＝，代入相关数值即可解答．
【解答】解：∵△ABM与以M，C，D构成的三角形相似，且∠AMB＝∠CMB，
∴△ABM∽△CDM或△ABM∽△DCM，
如图，∵AB⊥AC，AC⊥CD，
∴AB∥CD．
∴只有△ABM∽△CDM．
∴＝．
∵AB＝4cm，AC＝11cm，CD＝6cm，
∴＝．
∴AM＝（cm）．
故答案是：cm．
6．如图，Rt△ABC内有三个正方形，DF＝9cm，GK＝6cm，则PQ的长是 4cm ．
【分析】由相似三角形的判定可得△QPK∽△KGF∽△FDA，由相似三角形的性质可得＝，再由正方形的性质可得：PK＝KQ﹣QP，GF＝DF﹣GK，即可求得PQ的长度．
【解答】解：由已知可得PK∥EF∥AC，
∴△QPK∽△KGF∽△FDA，
∴由相似三角形的性质和正方形的性质可得：＝，
又∵PK＝KG﹣QP，GF＝DF﹣GK，DF＝9cm，GK＝6cm
∴＝，即＝，
解得：QP＝4．
则PQ的长是4cm；
故答案为：4cm．
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AE⊥CD，垂足为E，AD＝2，DB＝1，AC＝，且∠ACB＝60°，则AE＝ ；∠ACE＝ 45° ．
【分析】根据“AD＝2，DB＝1，AC＝”得到AC2＝AD AB，进而证得△ACD∽△ABC，利用特殊角的锐角三角函数可得AE，再利用勾股定理求得CE，可得AE＝CE，即可求得∠ACE．
【解答】解：∵AD＝2，DB＝1，
∴AB＝AD+DB＝3，
∵AC＝，
∴AC2＝AD AB，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC＝∠ACB＝60°，
在Rt△ADE中，AD＝2，∠ADC＝60°，
∴AE＝，
在Rt△ACE中，AE＝，AC＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝45°．
故答案为：，45°．
8．如图，G是等腰直角三角形的重心，且AC＝CB，∠ACB＝90°，CG＝GD，∠CGD＝90°，若AC＝6cm，则CD＝ 4cm ．
【分析】延长CG交AB于E，由等腰直角三角形的性质及可得到GD∥EB，则，根据G为重心，可得，从而可求CD的长．
【解答】解：延长CG交AB于E，如图所示，
∵△ABC为等腰直角三角形且CE为中线，
∴CE亦为AB上的高，即∠CEB＝90°，
又∠CGD＝90°，
∴GD∥EB，
∴，
又G为重心，
故，AC＝BC＝6cm，
∴CD＝BC＝4cm．
故答案为：4cm．
9．△ABC的面积为6cm2，BC＝2cm，则重心G到BC的距离为 2cm ．
【分析】根据题意作出图形如右图所示，由三角形面积可得BC边上高AD＝6cm，由重心性质可得AG＝2GE，过点G作GF⊥BC于点F，再证明△GFE∽△ADE，根据比例式即可求出GF，即重心到BC的距离．
【解答】解：△ABC如图所示，AD为△ABC的高，
∵△ABC的面积为6cm2，BC＝2cm，
故AD＝＝6cm．
作BC边上中线AE，
设AE上点G为重心，
由重心的性质可得：AG＝2GE，
过点G作GF⊥BC于点F，
∴GF∥AD，
∴△GFE∽△ADE，
∴，
∴GF＝＝2cm，
故重心G到BC的距离为2cm，
故答案为：2cm．
10．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，则∠AFB+∠ACB＝ 45° ．
【分析】由正方形的性质得出∠AEB＝45°，AB＝BE＝EF＝FC＝a，∠B＝90°，EC＝2a，由勾股定理求出AE＝a，证出 ＝，再由公共角∠AEF＝∠CEA，得出△AEF∽△CEA，得出对应角相等∠AFB＝∠EAC，再由三角形的外角性质即可得出结论
【解答】解：∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，
∴∠AEB＝45°，AB＝BE＝EF＝FC＝a，∠B＝90°，
∴EC＝2a，AE＝＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠AEF＝∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠AFB＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACB＝45°，
∴∠AFB+∠ACB＝45°．
故答案为45°．
二．解答题
11．如图，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且点A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上．
【分析】首先得出∠ABC＝135°，进而利用相似三角形的判定与性质得出可以把这对应边比值看作：2，2：2等，进而得出答案．
【解答】解：由图可知∠ABC＝135°，不妨设单位正方形的边长为1个单位，则AB：BC＝1：，
由此推断，所画三角形必有一角为135°，且夹该角的两边之比为1：，
也可以把这一比值看作：2，2：2等，以此为突破口，在图连出和2，2和2等线段，
即得△EDF∽△GDH∽△FMN∽△ABC，
如图所示．即图中的△EDF、△GDH、△FMN均可视为△A1B1C1．
12如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E是斜边AB延长线上一点，∠ECB＝∠BCD，AC＝4cm，AB＝10cm，则BE＝ ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】cm
【分析】过B点作BH⊥BC交CE于H，如图，先利用勾股定理计算出BC＝2，再利用面积法计算出CD＝4，接着计算出BD＝2，然后证明△CBH∽△CDB，利用相似比求出BH＝，最后证明△EBH∽△EAC，于是利用相似比可求出BE的长．
【解答】解：过B点作BH⊥BC交CE于H，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝10，
∴BC＝＝2，
∵CD⊥AB，
∴CD AB＝AC BC，
∴CD＝＝4，
∴BD＝＝＝2，
∵∠BCH＝∠BCD，∠CBH＝∠CDB，
∴△CBH∽△CDB，
∴＝，即＝，解得BH＝，
∵BH⊥BC，
∴BH∥AC，
∴△EBH∽△EAC，
∴＝，即＝，解得EB＝（cm）．
故答案为cm．
13如图，若，求证：∠ABD＝∠ACE．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】证明见解析部分．
【分析】由可得△ABC∽△ADE，推出∠BAC＝∠DAE，推出∠BAD＝∠CAE，推出△ABD∽△ACE，再根据相似三角形的性质即可得出答案．
【解答】证明：∵
∴△ABC∽△ADE （三边分别对应成比例的两个三角形相似），
∴∠BAC＝∠DAE（相似三角形的对应角相等），
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE．
14如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：＝．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先由直角三角形的性质可得：△CBA∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例，可得：AB：AC＝BD：AD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证得：ED＝AC＝EC，可得：∠C＝∠EDC，则易得：∠FAD＝∠FDB，∠F为公共角，证得：△DBF∽△ADF，则得：BD：AD＝DF：AF，则问题得证．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴＝，
∴AB：AC＝BD：AD①，
∴∠C＝∠FAD，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AC＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
又∵∠EDC＝∠FDB，
∴∠FAD＝∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，．
15如图：已知△ABC是边长为6的正三角形纸片，沿EF翻折△AEF，使点A落在BC上点A′处，且BA′：A′C＝1：2，求：BE和CF的长．
【考点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】BE＝，CF＝．
【分析】由折叠的性质可得AE＝A'E，∠A＝∠A'＝60°，AF＝A'F，通过证明△A'BE∽△FCA'，可求BE CF＝8，在Rt△EHA'中，由勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解答】解：过点E作EH⊥BC于H，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝6，
∵BA′：A′C＝1：2，
∴BA'＝2，A'C＝4，
∵沿EF翻折△AEF，
∴AE＝A'E，∠A＝∠A'＝60°，AF＝A'F，
∵∠EA'C＝∠B+∠A'EB＝∠EA'F+∠FA'C，
∴∠BEA'＝∠FA'C，
∴△A'BE∽△FCA'，
∴，
∴BE CF＝2×4＝8，
设BE＝x，则AE＝A'E＝6﹣x，
∵∠B＝60°，∠BHE＝90°，
∴BH＝BE＝，EH＝x，
∴A'H＝2﹣，
∵A'E2＝EH2+A'H2，
∴（6﹣x）2＝（x）2+（2﹣）2，
∴x＝，
∴BE＝，
∵BE CF＝2×4＝8，
∴CF＝．
16如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．
（1）当点P是边AB的中点时，比例式＝成立吗？为什么？
（2）当点P不是边AB的中点时，＝是否仍然成立？请说明理由．
【考点】等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先连接PC，易证得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得＝1，继而可得比例式＝成立；
（2）首先连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，易证得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得＝成立．
【解答】解：（1）点P是边AB的中点时，比例式＝成立．
理由：如图（1），连接PC，
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，
∵AC＝BC，AP＝BP，
∴CP⊥AB，＝1，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝1，
∴＝；
（2）当点P不是边AB的中点时，＝仍然成立．
理由：如图（2），连接PC，则MN⊥PC，
过点P作PE⊥AC于点E，
∵∠ACB＝90°，∠A是公共角，
∴△AEP∽△ACB，
∴，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，∠APE＝∠B＝45°，
∴AE＝EP，
∵∠MCN＝90°，CP⊥MN，
∴∠ECP＝∠MNC，
∴△MCN∽△PEC，
∴，
∴，
∴＝．
17在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时cot∠ABC的值；若不存在，试说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于∠ABQ＜90°，若△ABQ是直角三角形，需要考虑两种情况：
①∠BAQ＝90°，此时△BAQ∽△ABO，根据相似三角形所得比例线段，可求出BQ的长，即可得到Q点坐标；
②∠BQA＝90°，此时四边形BOAQ是矩形，BQ＝OA，由此可求出Q点坐标．
（2）假设P点翻折到AB上时，落点为E，那么∠QAP＝∠QAE，QE＝QP；由于BQ∥OP，那么∠QAP＝∠BQA＝∠BAQ，即BQ＝BA＝5，此时P、Q运动了2.5s，所以AP＝AE＝，即E是AB的中点；分别过E、Q作BQ、OP的垂线，设垂足为F、H，易求EF＝PH＝，即可证得△QPH≌△QEF，得∠EQF＝∠PQH，由此发现∠EQP＝90°，而∠PQA＝∠EQA，由此可求得∠AQP的度数．
（3）假设存在这样的平行四边形，可分作两种情况考虑：
①点C在线段PQ上，可延长AC、BQ交于点F，由于DQ∥AC，因此DQ是△BCF的中位线，则FC＝2DQ＝2AC，过F作FH⊥x轴于H，由于∠BAC＝90°，可证得△AOB∽△FHA，通过得到的比例线段，即可求出AF的长，进而可得到AC的长；在Rt△BAC中，已知了AC、BA的长，即可求出∠ABC的正切值；
②点C在PQ的延长线上，设AD、AC与BQ的交点分别为G、F，按照①的思路可证得AD＝CQ＝2AG，那么在相似三角形△CFQ和△AFG中，FC＝2AF，即AC＝3AF，AF的长在①中已求得，由此可得到AC的长，进而可求出∠ABC的余切值．
【解答】解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB＝5．
ⅰ）当∠BAQ＝90°时，△AOB∽△BAQ，
∴BQ：AB＝AB：AO．解得 BQ＝；
ⅱ）当∠BQA＝90°时，BQ＝OA＝4，
∴Q （，3）或Q（4，3）．（4分）
（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ＝∠PAQ，∠EQA＝∠PQA，AE＝AP，QE＝QP；
又∵BQ∥OP，
∴∠PAQ＝∠BQA，
∴∠EAQ＝∠BQA，
即AB＝QB＝5．
∴AP＝BQ＝，
∴AE＝AP＝＝AB，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点F，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则 EF＝，PH＝，∴EF＝PH．
又∵EQ＝PQ，∠EFQ＝∠PHQ＝90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF＝∠PQH，从而∠PQE＝90°．
∴∠AQP＝∠AQE＝45°．（8分）
（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴AB：FA＝AO：FH，即5：FA＝4：3，
∴FA＝．
∵DQ∥AC，DQ＝AC，且D为BC中点，
∴FC＝2DQ＝2AC．
∴AC＝．
在Rt△BAC中，tan∠ABC＝；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ＝AD且D为BC中点，
∴AD＝CQ＝2DG．
∴CQ＝2AG
∵BQ∥OP，AD∥PC，
∴AG＝PQ，
∴CQ＝2PQ．
∴FC＝2AF．
∴AC＝．
在Rt△BAC中，tan∠ABC＝．
即cot∠ABC＝＝（12分）
一．填空题
1．如图，已知∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中相似三角形共有 对．
2．已知，如图，CD是Rt△ACB斜边上的高，若AD＝6，BD＝2，CE＝3，则BC的长度为 ；BE的长度为 ．
3．如图，若AD AB＝AE AC，∠A＝70°，∠AED＝54°，则∠C＝ 度．
4．如图，已知Rt△ACB中，∠C＝90°，四边形MNPQ是正方形，若AN＝4，BP＝6，则PQ＝ ．
5．已知，如图，AB⊥AC，AC⊥CD，M为线段AC上一动点，AB＝4cm，AC＝11cm，CD＝6cm，当AM＝ 时，△ABM与以M，C，D构成的三角形相似．
6．如图，Rt△ABC内有三个正方形，DF＝9cm，GK＝6cm，则PQ的长是 ．
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AE⊥CD，垂足为E，AD＝2，DB＝1，AC＝，且∠ACB＝60°，则AE＝ ；∠ACE＝ ．
8．如图，G是等腰直角三角形的重心，且AC＝CB，∠ACB＝90°，CG＝GD，∠CGD＝90°，若AC＝6cm，则CD＝ ．
9．△ABC的面积为6cm2，BC＝2cm，则重心G到BC的距离为 ．
10．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，则∠AFB+∠ACB＝ ．
二．解答题
11．如图，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且点A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上．
12如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E是斜边AB延长线上一点，∠ECB＝∠BCD，AC＝4cm，AB＝10cm，则BE＝ ．
13如图，若，求证：∠ABD＝∠ACE．
14如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：＝．
15如图：已知△ABC是边长为6的正三角形纸片，沿EF翻折△AEF，使点A落在BC上点A′处，且BA′：A′C＝1：2，求：BE和CF的长．
16如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．
（1）当点P是边AB的中点时，比例式＝成立吗？为什么？
（2）当点P不是边AB的中点时，＝是否仍然成立？请说明理由．
17在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时cot∠ABC的值；若不存在，试说明理由．
参考答案与试题解析
一．填空题
1．如图，已知∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中相似三角形共有 4 对．
【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，
∴DE∥BC．
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，
∴△ADE∽△ACD．
∴共4对．
故答案是：4．
2．已知，如图，CD是Rt△ACB斜边上的高，若AD＝6，BD＝2，CE＝3，则BC的长度为 4 ；BE的长度为 5 ．
【分析】根据“CD是Rt△ACB斜边上的高”证得△CDB∽△ACB，进而得到BC2＝BD AB，即可求得BC，再利用勾股定理即可得到BE．
【解答】解：∵CD是Rt△ACB斜边上的高，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠DBC＝∠CBA，
∴△CDB∽△ACB，
∴＝，即BC2＝BD AB，
∵AD＝6，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝8，
∴BC＝4，
在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴BE＝5．
故答案为：4，5．
3．如图，若AD AB＝AE AC，∠A＝70°，∠AED＝54°，则∠C＝ 56 度．
【分析】利用相似三角形的判定方法可判断△ADE∽△ACB，则∠ADE＝∠C，然后利用三角形内角和计算出∠ADE，从而得到∠C的度数．
【解答】解：∵AD AB＝AE AC，
∴＝，
而∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣70°﹣54°＝56°．
故答案为56．
4．如图，已知Rt△ACB中，∠C＝90°，四边形MNPQ是正方形，若AN＝4，BP＝6，则PQ＝ 2 ．
【分析】设PQ＝x，证明△AMN∽△QBP，则利用相似比得到＝，即＝，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】解：设PQ＝x，
∵四边形MNPQ是正方形，
∴MN＝PQ＝x，∠MNP＝∠QPN＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
而∠A+∠AMN＝90°，
∴∠AMN＝∠B，
∵∠ANM＝∠BPQ，
∴△AMN∽△QBP，
∴＝，即＝，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴PQ＝2．
故答案为2．
5．已知，如图，AB⊥AC，AC⊥CD，M为线段AC上一动点，AB＝4cm，AC＝11cm，CD＝6cm，当AM＝ cm 时，△ABM与以M，C，D构成的三角形相似．
【分析】首先判定△ABM∽△CDM，然后由该相似三角形的对应边相等得到：＝，代入相关数值即可解答．
【解答】解：∵△ABM与以M，C，D构成的三角形相似，且∠AMB＝∠CMB，
∴△ABM∽△CDM或△ABM∽△DCM，
如图，∵AB⊥AC，AC⊥CD，
∴AB∥CD．
∴只有△ABM∽△CDM．
∴＝．
∵AB＝4cm，AC＝11cm，CD＝6cm，
∴＝．
∴AM＝（cm）．
故答案是：cm．
6．如图，Rt△ABC内有三个正方形，DF＝9cm，GK＝6cm，则PQ的长是 4cm ．
【分析】由相似三角形的判定可得△QPK∽△KGF∽△FDA，由相似三角形的性质可得＝，再由正方形的性质可得：PK＝KQ﹣QP，GF＝DF﹣GK，即可求得PQ的长度．
【解答】解：由已知可得PK∥EF∥AC，
∴△QPK∽△KGF∽△FDA，
∴由相似三角形的性质和正方形的性质可得：＝，
又∵PK＝KG﹣QP，GF＝DF﹣GK，DF＝9cm，GK＝6cm
∴＝，即＝，
解得：QP＝4．
则PQ的长是4cm；
故答案为：4cm．
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AE⊥CD，垂足为E，AD＝2，DB＝1，AC＝，且∠ACB＝60°，则AE＝ ；∠ACE＝ 45° ．
【分析】根据“AD＝2，DB＝1，AC＝”得到AC2＝AD AB，进而证得△ACD∽△ABC，利用特殊角的锐角三角函数可得AE，再利用勾股定理求得CE，可得AE＝CE，即可求得∠ACE．
【解答】解：∵AD＝2，DB＝1，
∴AB＝AD+DB＝3，
∵AC＝，
∴AC2＝AD AB，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC＝∠ACB＝60°，
在Rt△ADE中，AD＝2，∠ADC＝60°，
∴AE＝，
在Rt△ACE中，AE＝，AC＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝45°．
故答案为：，45°．
8．如图，G是等腰直角三角形的重心，且AC＝CB，∠ACB＝90°，CG＝GD，∠CGD＝90°，若AC＝6cm，则CD＝ 4cm ．
【分析】延长CG交AB于E，由等腰直角三角形的性质及可得到GD∥EB，则，根据G为重心，可得，从而可求CD的长．
【解答】解：延长CG交AB于E，如图所示，
∵△ABC为等腰直角三角形且CE为中线，
∴CE亦为AB上的高，即∠CEB＝90°，
又∠CGD＝90°，
∴GD∥EB，
∴，
又G为重心，
故，AC＝BC＝6cm，
∴CD＝BC＝4cm．
故答案为：4cm．
9．△ABC的面积为6cm2，BC＝2cm，则重心G到BC的距离为 2cm ．
【分析】根据题意作出图形如右图所示，由三角形面积可得BC边上高AD＝6cm，由重心性质可得AG＝2GE，过点G作GF⊥BC于点F，再证明△GFE∽△ADE，根据比例式即可求出GF，即重心到BC的距离．
【解答】解：△ABC如图所示，AD为△ABC的高，
∵△ABC的面积为6cm2，BC＝2cm，
故AD＝＝6cm．
作BC边上中线AE，
设AE上点G为重心，
由重心的性质可得：AG＝2GE，
过点G作GF⊥BC于点F，
∴GF∥AD，
∴△GFE∽△ADE，
∴，
∴GF＝＝2cm，
故重心G到BC的距离为2cm，
故答案为：2cm．
10．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，则∠AFB+∠ACB＝ 45° ．
【分析】由正方形的性质得出∠AEB＝45°，AB＝BE＝EF＝FC＝a，∠B＝90°，EC＝2a，由勾股定理求出AE＝a，证出 ＝，再由公共角∠AEF＝∠CEA，得出△AEF∽△CEA，得出对应角相等∠AFB＝∠EAC，再由三角形的外角性质即可得出结论
【解答】解：∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，
∴∠AEB＝45°，AB＝BE＝EF＝FC＝a，∠B＝90°，
∴EC＝2a，AE＝＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠AEF＝∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠AFB＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACB＝45°，
∴∠AFB+∠ACB＝45°．
故答案为45°．
二．解答题
11．如图，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且点A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上．
【分析】首先得出∠ABC＝135°，进而利用相似三角形的判定与性质得出可以把这对应边比值看作：2，2：2等，进而得出答案．
【解答】解：由图可知∠ABC＝135°，不妨设单位正方形的边长为1个单位，则AB：BC＝1：，
由此推断，所画三角形必有一角为135°，且夹该角的两边之比为1：，
也可以把这一比值看作：2，2：2等，以此为突破口，在图连出和2，2和2等线段，
即得△EDF∽△GDH∽△FMN∽△ABC，
如图所示．即图中的△EDF、△GDH、△FMN均可视为△A1B1C1．
12如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E是斜边AB延长线上一点，∠ECB＝∠BCD，AC＝4cm，AB＝10cm，则BE＝ ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】cm
【分析】过B点作BH⊥BC交CE于H，如图，先利用勾股定理计算出BC＝2，再利用面积法计算出CD＝4，接着计算出BD＝2，然后证明△CBH∽△CDB，利用相似比求出BH＝，最后证明△EBH∽△EAC，于是利用相似比可求出BE的长．
【解答】解：过B点作BH⊥BC交CE于H，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝10，
∴BC＝＝2，
∵CD⊥AB，
∴CD AB＝AC BC，
∴CD＝＝4，
∴BD＝＝＝2，
∵∠BCH＝∠BCD，∠CBH＝∠CDB，
∴△CBH∽△CDB，
∴＝，即＝，解得BH＝，
∵BH⊥BC，
∴BH∥AC，
∴△EBH∽△EAC，
∴＝，即＝，解得EB＝（cm）．
故答案为cm．
13如图，若，求证：∠ABD＝∠ACE．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】证明见解析部分．
【分析】由可得△ABC∽△ADE，推出∠BAC＝∠DAE，推出∠BAD＝∠CAE，推出△ABD∽△ACE，再根据相似三角形的性质即可得出答案．
【解答】证明：∵
∴△ABC∽△ADE （三边分别对应成比例的两个三角形相似），
∴∠BAC＝∠DAE（相似三角形的对应角相等），
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE．
14如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：＝．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先由直角三角形的性质可得：△CBA∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例，可得：AB：AC＝BD：AD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证得：ED＝AC＝EC，可得：∠C＝∠EDC，则易得：∠FAD＝∠FDB，∠F为公共角，证得：△DBF∽△ADF，则得：BD：AD＝DF：AF，则问题得证．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴＝，
∴AB：AC＝BD：AD①，
∴∠C＝∠FAD，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AC＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
又∵∠EDC＝∠FDB，
∴∠FAD＝∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，．
15如图：已知△ABC是边长为6的正三角形纸片，沿EF翻折△AEF，使点A落在BC上点A′处，且BA′：A′C＝1：2，求：BE和CF的长．
【考点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】BE＝，CF＝．
【分析】由折叠的性质可得AE＝A'E，∠A＝∠A'＝60°，AF＝A'F，通过证明△A'BE∽△FCA'，可求BE CF＝8，在Rt△EHA'中，由勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解答】解：过点E作EH⊥BC于H，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝6，
∵BA′：A′C＝1：2，
∴BA'＝2，A'C＝4，
∵沿EF翻折△AEF，
∴AE＝A'E，∠A＝∠A'＝60°，AF＝A'F，
∵∠EA'C＝∠B+∠A'EB＝∠EA'F+∠FA'C，
∴∠BEA'＝∠FA'C，
∴△A'BE∽△FCA'，
∴，
∴BE CF＝2×4＝8，
设BE＝x，则AE＝A'E＝6﹣x，
∵∠B＝60°，∠BHE＝90°，
∴BH＝BE＝，EH＝x，
∴A'H＝2﹣，
∵A'E2＝EH2+A'H2，
∴（6﹣x）2＝（x）2+（2﹣）2，
∴x＝，
∴BE＝，
∵BE CF＝2×4＝8，
∴CF＝．
16如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．
（1）当点P是边AB的中点时，比例式＝成立吗？为什么？
（2）当点P不是边AB的中点时，＝是否仍然成立？请说明理由．
【考点】等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先连接PC，易证得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得＝1，继而可得比例式＝成立；
（2）首先连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，易证得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得＝成立．
【解答】解：（1）点P是边AB的中点时，比例式＝成立．
理由：如图（1），连接PC，
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，
∵AC＝BC，AP＝BP，
∴CP⊥AB，＝1，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝1，
∴＝；
（2）当点P不是边AB的中点时，＝仍然成立．
理由：如图（2），连接PC，则MN⊥PC，
过点P作PE⊥AC于点E，
∵∠ACB＝90°，∠A是公共角，
∴△AEP∽△ACB，
∴，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，∠APE＝∠B＝45°，
∴AE＝EP，
∵∠MCN＝90°，CP⊥MN，
∴∠ECP＝∠MNC，
∴△MCN∽△PEC，
∴，
∴，
∴＝．
17在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时cot∠ABC的值；若不存在，试说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于∠ABQ＜90°，若△ABQ是直角三角形，需要考虑两种情况：
①∠BAQ＝90°，此时△BAQ∽△ABO，根据相似三角形所得比例线段，可求出BQ的长，即可得到Q点坐标；
②∠BQA＝90°，此时四边形BOAQ是矩形，BQ＝OA，由此可求出Q点坐标．
（2）假设P点翻折到AB上时，落点为E，那么∠QAP＝∠QAE，QE＝QP；由于BQ∥OP，那么∠QAP＝∠BQA＝∠BAQ，即BQ＝BA＝5，此时P、Q运动了2.5s，所以AP＝AE＝，即E是AB的中点；分别过E、Q作BQ、OP的垂线，设垂足为F、H，易求EF＝PH＝，即可证得△QPH≌△QEF，得∠EQF＝∠PQH，由此发现∠EQP＝90°，而∠PQA＝∠EQA，由此可求得∠AQP的度数．
（3）假设存在这样的平行四边形，可分作两种情况考虑：
①点C在线段PQ上，可延长AC、BQ交于点F，由于DQ∥AC，因此DQ是△BCF的中位线，则FC＝2DQ＝2AC，过F作FH⊥x轴于H，由于∠BAC＝90°，可证得△AOB∽△FHA，通过得到的比例线段，即可求出AF的长，进而可得到AC的长；在Rt△BAC中，已知了AC、BA的长，即可求出∠ABC的正切值；
②点C在PQ的延长线上，设AD、AC与BQ的交点分别为G、F，按照①的思路可证得AD＝CQ＝2AG，那么在相似三角形△CFQ和△AFG中，FC＝2AF，即AC＝3AF，AF的长在①中已求得，由此可得到AC的长，进而可求出∠ABC的余切值．
【解答】解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB＝5．
ⅰ）当∠BAQ＝90°时，△AOB∽△BAQ，
∴BQ：AB＝AB：AO．解得 BQ＝；
ⅱ）当∠BQA＝90°时，BQ＝OA＝4，
∴Q （，3）或Q（4，3）．（4分）
（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ＝∠PAQ，∠EQA＝∠PQA，AE＝AP，QE＝QP；
又∵BQ∥OP，
∴∠PAQ＝∠BQA，
∴∠EAQ＝∠BQA，
即AB＝QB＝5．
∴AP＝BQ＝，
∴AE＝AP＝＝AB，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点F，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则 EF＝，PH＝，∴EF＝PH．
又∵EQ＝PQ，∠EFQ＝∠PHQ＝90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF＝∠PQH，从而∠PQE＝90°．
∴∠AQP＝∠AQE＝45°．（8分）
（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴AB：FA＝AO：FH，即5：FA＝4：3，
∴FA＝．
∵DQ∥AC，DQ＝AC，且D为BC中点，
∴FC＝2DQ＝2AC．
∴AC＝．
在Rt△BAC中，tan∠ABC＝；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ＝AD且D为BC中点，
∴AD＝CQ＝2DG．
∴CQ＝2AG
∵BQ∥OP，AD∥PC，
∴AG＝PQ，
∴CQ＝2PQ．
∴FC＝2AF．
∴AC＝．
在Rt△BAC中，tan∠ABC＝．
即cot∠ABC＝＝（12分）