期中复习 1.2矩形的性质与判定 训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》期中复习训练（附答案）
1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．若∠AOB＝60°，AB＝2，则BC的长是（　　）
A． B．2 C．2 D．4
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（　　）
A．20° B．40° C．80° D．100°
4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
5．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．45° B．30° C．20° D．15°
6．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连接BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝1，则AB的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．2
8．如图，点P是矩形ABCD的边AD上一动点，矩形的两边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
9．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A． B． C． D．不确定
10．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（　　）
A．10 B．12 C．18 D．24
11．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　）
A． B． C． D．
12．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（　　）
A． B．
C． D．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．则BE的长为 　 　．
14．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为　 　．
15．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连接AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE＝　 　．
16．如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形AEFG．若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的大小为　 　度．
17．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝　 　
18．如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．
19．如图， ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合．若△ACD的面积为9，则图中阴影部分两个三角形的面积和为　 　．
20．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为　 　．
21．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为　 　．
22．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，连接OE，则∠BOE＝　 　．
24．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB．以点B为圆心，BC长为半径作弧交AD于点E，连接BE．若AB＝2，则DE＝　 　．
25．如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α＝　 　度．
26．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）
27．如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．
28．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形CEDO是矩形．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若BE＝2，AE＝2，求EF的长．
30．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
32．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连接点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．
33．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
34．如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，动点P以2cm/s的速度从点A开始沿折线AB﹣BC向终点C运动，动点Q以2cm/s的速度从点D开始沿折线DA﹣AB向点终点B运动．如果点P，Q同时出发，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求△CPQ的面积（可用含有t的代数式表示）．
35．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，
AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连接DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连接OE，求OE的长．
36．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若ED＝EC，求证：EA＝EG．
37．如图，已知四边形ABCD是矩形：延长AB至点F，连接CF，使得CF＝AF，过点A作AE⊥FC于点E，求证：AD＝AE．
38．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
39．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．
40．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，BC＝8cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是矩形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC CD＝12，故S阴影＝12．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴CO＝AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴AB＝AO＝CO＝2，
即AC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，
故选：C．
3．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB＝OA＝OC，
∵∠OAD＝40°，
∴∠ODA＝∠OAD＝40°，
∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，
故选：C．
4．解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
5．解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
6．解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴MD长为5．
故选：C．
7．解：在矩形ABCD中，OA＝OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝1，
∴BD＝1+1＝2，
由勾股定理得，AB＝＝＝．
故选：C．
8．解：连接OP，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF＝，
故选：A．
9．解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF＝．
故选：C．
10．解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°，
∴OC＝OD，AC＝＝＝5，
∴四边形CODE是菱形，且OC＝AC＝2.5，
∴四边形CODE的周长是：2.5×4＝10．
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴BM＝AB＝2，
∴CM＝＝＝，
∴DM＝CD﹣CM＝2﹣；
故选：D．
12．解：A、对顶角相等，A一定相等，故A不符合题意；
B、不确定，可能相等，也可能不相等，故B不符合题意；
C、不确定，可能相等，也可能不相等，故C不符合题意；
D、一定不相等，因为∠1＝∠ACD，∠2＞∠ACD，故D符合题意．
故选：D．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
14．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝8，
∴BC＝＝＝，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
15．解：延长AP交CD于F，
∵∠APB＝90°，
∴∠FPB＝90°，
∴∠CPF+∠CPB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，
∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠ABP，
∵CP＝CB＝3，
∴∠CPB＝∠CBP，
∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP，
∵∠EPA＝∠CPF，
∴∠EAP＝∠APE，
∴AE＝PE，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴42+（3﹣AE）2＝（3+AE）2，
解得：AE＝，
故答案为：．
16．解：∵四边形AEFG是矩形，
∴∠AEF＝90°，
∵∠CEF＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝65°
故答案为：65．
17．解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DFE＝∠2
∵∠DFE＝∠1+∠E＝115°
∴∠2＝115°
故答案为：115°
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，得S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC CD＝6，故S阴影＝6．
故答案为6．
19．解：在 ABCD中，∵△ACD的面积为9，
∴△ABC的面积为9，
∴S△ABC＝AC AE＝9，
∴AC AE＝9×2＝18，
∴矩形AEFC的面积为18，
阴影部分两个三角形的面积和＝18﹣9＝9．
故答案为：9
20．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×4×3＝×5 CD，
解得CD＝2.4，
∴线段EF长的最小值为2.4．
故答案为：2.4
21．解：连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，即OA＝OB＝OC＝OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF＝CF，OF＝EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE＝OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD＝2，DE＝2，
∴OE＝2，即OF＝EF＝，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF＝＝1，即DC＝2，
则S菱形ODEC＝OE DC＝×2×2＝2．
故答案是：2．
22．解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，
∴S△AEM＝S△AMD，S△BNC＝S△FNC，S四边形EBNM＝S四边形DMNF，
∴图中阴影部分的面积＝×AB×BC＝×2×2＝2．
故答案为：2．
23．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA
∴△BAO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°，
OB＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．
故答案为75°．
24．解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，AB＝2，
∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，
∴BE＝BC＝4，
∴AE＝＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣2．
故答案为：4﹣2．
25．解：延长DC交直线m于E．
∵l∥m，∴∠CEB＝65°．
在Rt△BCE中，∠BCE＝90°，∠CEB＝65°，
∴∠α＝90°﹣∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
26．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，
∴△ABD的面积＝△CDB的面积，△MBK的面积＝△QKB的面积，△PKD的面积＝△NDK的面积，
∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积＝△CDB的面积﹣△QKB的面积＝△NDK的面积，
∴S1＝S2．
故答案为S1＝S2．
27．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
28．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形CEDO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形CEDO是矩形．
29．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝2，BE＝2，
∴AB＝4，
∴EC＝＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
30．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE＝，DE＝AE＝
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE＝
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB＝BF＝
∴CD＝
31．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
32．证明：连接EF，
∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，
∴AF＝BD，∠CBD＝30°，
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，
∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝∠AFB＝90°，
在△ABF和△EFB中，
，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴AB＝EF，
∵∠AFB＝∠EBF＝90°，
∴AF∥BE，
又∵AF＝BE，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵AB＝EF，
∴四边形AEBF是矩形，
33．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝4，CF＝3，
∴EF＝＝5，
∴OC＝EF＝；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
34．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝12，
由题意得：AP＝2t，DQ＝2t，
∴AQ＝AD﹣DQ＝6﹣2t，
∵△QAP为等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，
即2t＝6﹣2t，
解得：t＝，
即当t为s时，△QAP为等腰直角三角形；
（2）分三种情况：
①当0≤t≤3时，如图1所示：
由题意得：AP＝2t，DQ＝2t，
∴AQ＝AD﹣DQ＝6﹣2t，BP＝12﹣2t，
∴△CPQ的面积＝矩形ABCD的面积﹣△APQ的面积﹣△BCP的面积﹣△CDQ的面积＝12×6﹣×2t×（6﹣2t）﹣×（12﹣2t）×6﹣×12×2t＝2t2﹣12t+36；
②当3≤t≤6时，如图2所示：
由题意得：AP＝2t，AQ＝2t﹣6，
∴PQ＝AP﹣AQ＝6，
∴△CPQ的面积＝PQ×BC＝×6×6＝18；
③当6＜t≤9时，如图3所示：
由题意得：BP＝2t﹣12，AQ＝2t﹣6，
∴CP＝6﹣BP＝18﹣2t，BQ＝12﹣AQ＝18﹣2t，
∴△CPQ的面积＝CP×BQ＝×（18﹣2t）2＝2t2﹣36t+162．
35．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∵CE＝3，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED为矩形；
（2）解：∵BO＝DO，BC＝CE，
∴OC＝DE＝AC＝1，
∵∠ACE＝90°，
∴OE＝＝＝．
36．（1）证明：∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
（2）证明：由（1）可得，∠AFC＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠D，∠CGF＝90°﹣∠ECD．
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD．
∴∠DAF＝∠CGF．
∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠EAG＝∠EGA．
∴EA＝EG．
37．证明：连接AC，如图所示：
∵CF＝AF，
∴∠FCA＝∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠FCA＝∠DCA，
∵AE⊥FC，
∴∠CEA＝90°，
∴∠CDA＝∠CEA＝90°，
在△ADC和△CAE 中，，
∴△ADC≌△CAE （AAS），
∴AD＝AE；
38．（1）选①，
证明：连接DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，
∵∠DON＝90°，
∴BN＝DN，
∵∠BCD＝90°，
∴DN2＝CD2+CN2，
∴BN2＝CD2+CN2；
（2）证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB，AD∥BC，
∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO，
在△BON和△DOP中
∵，
∴△BON≌△DOP（AAS），
∴ON＝OP，BN＝PD，
∵∠MON＝90°，
∴PM＝MN，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴PM2＝PD2+DM2，MN2＝CM2+CN2，
∴PD2+DM2＝CM2+CN2，
∴BN2+DM2＝CM2+CN2．
39．解：（1）
当t＝3时，点P的路程为2×3＝6cm，
∵AB＝4cm，BC＝6cm
∴点P在BC上，
∴（cm2）．
（2）（Ⅰ）若点P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP＝5，AB＝4
∴BP＝2t﹣4＝3，
∴；
（Ⅱ）若点P在DC上，
则在Rt△ADP中，AP是斜边，
∵AD＝6，
∴AP＞6，
∴AP≠5；
（Ⅲ）若点P在AD上，
AP＝5，
则点P的路程为20﹣5＝15，
∴，
综上，当秒或时，AP＝5cm．
（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，
∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t，
∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2
由题意，有AD2+CP2＝AP2
∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2
∴t＝＜5，
即t＝．
40．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，ED，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
∵∠CGF＝∠DGE，
∴△FCG≌△EDG，
∴FG＝EG，
∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形．
（2）解：当CE⊥AD时，∠CED＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
在RT△CED中，∵CD＝AB＝5，∠DCE＝∠B＝60°，
∴ED＝CD＝，
∵AD＝BC＝8，
∴AE＝AD﹣ED＝8﹣＝5.5．
故答案为5.5．