2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校九年级（上）学情监测数学试卷（10月份）（五四学制）（Word版含解析）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校九年级第一学期学情监测数学试卷（10月份）（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数中y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x2 B．y＝
C．y＝ax2+bx+c D．y＝（x﹣1）2﹣x2
2．抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（　　）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上
C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
3．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
5．把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为（　　）
A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3
C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣（x+2）2+3
6．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
7．抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣3
8．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+2x+1与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
9．如图，在△BCF中，点A为BF上一点，过点A作BC的平行线交CF于点E，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点D，则下列说法不正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（3，0），二次函数图象的对称轴为直线x＝1，下列结论：①c＜0；②＝﹣1；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＝0．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共30分）
11．已知是二次函数，则m＝　 　．
12．抛物线y＝﹣2（x+5）2﹣3的顶点坐标是　 　．
13．抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为 　 　．
14．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标为 　 　．
15．二次函数y＝﹣2x2+3x的函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 　 　．
16．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为　 　．
17．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y＝x2+5的图象上，则y1、y2、y3按从小到大排列为 　 　．
18．如图所示，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，6），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 　 　．
19．在△ABC中，AB＝5，tan∠ABC＝，AC＝，则BC＝　 　．
20．如图，在△ABC中，BD为中线，若AB＝2，BC＝10，BD＝3，则tan∠ABC＝　 　．
三、解答题（21、22各7分，23、24各8分，25、26、27各10分，共60分）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2sin45°+2cos60°．
22．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠ABC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，连接CD，使CD＝，直接写出线段DE的长．
23．某校积极开展“大课间”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、踢毽子四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求本次被调查的学生人数；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校有1000名学生，请估计全校最喜爱足球的人数比最喜爱篮球的人数少多少人？
24．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE∥AD，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
25．某超市用1200元购进甲乙两种文具，甲种文具进价12元/个，售价为15元/个．乙种文具进价10元/个，售价为12元/个．全部售完后获利270元．
（1）求该超市购进甲乙两种文具各多少个？
（2）若该超市以原价再次购进这两种文具，且购进甲种文具数量不变，乙种文具购进数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价出售，甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕后，要使再次购进的文具获利不少于340元，甲种文具每个最低售价应为多少元？
26．△ABC内接于⊙O，弦CD⊥AB于点E，AF⊥BC于点F交弦CD于点G．
（1）如图1，求证：DE＝EG；
（2）如图2，连接BD、OF，若BD＝FG，求证：FO平分∠AFC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H在线段CG上，连接FH，若∠CFH＝∠ABD，FH＝4，CG＝10，求线段OG的长．
27．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．
（1）求a的值；
（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为s，若4s+3t＝0，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数中y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x2 B．y＝
C．y＝ax2+bx+c D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案．
解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、整理后是一次函数，故此选项不合题意；
故选：A．
2．抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（　　）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上
C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
【分析】根据抛物线的点坐标求解．
解：∵抛物线y＝2x2﹣3的顶点为（0，﹣3），
∴顶点在y轴负半轴，
故选：D．
3．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．
解：当a＞0时，
y＝ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y＝ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A错误，选项B正确，
当a＜0时，
y＝ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y＝ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C、D错误，
故选：B．
4．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
【分析】反比例函数的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1；
故选：B．
5．把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为（　　）
A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3
C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣（x+2）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为：y＝﹣（x+1+1）2+3，即y＝﹣（x+2）2+3．
故选：D．
6．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】由垂径定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理可得答案．
解：∵BD⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
则∠BDC＝∠BOC＝25°，
故选：B．
7．抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣3
【分析】由图象可知抛物线与x轴的交点（﹣3，0），（1，0）；再根据图象的开口方向，求出y＞0时，x的取值范围．
解：因为抛物线与x轴的交点（﹣3，0），（1，0），
因为a＝﹣1＜0，图象开口向下，
所以，当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
8．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+2x+1与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】二次函数y＝（m﹣1）x2+2x+1与x轴有两个不相同的交点，所以令y＝0，即（m﹣1）x2+2x+1＝0，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，因为有两个交点，故Δ＞0，再解不等式即可．
解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+2x+1与x轴有两个不相同的交点，
∴令y＝0，则（m﹣1）x2+2x+1＝0，
∴△＝4﹣4（m﹣1）＞0，
解得，m＜2．
故选：A．
9．如图，在△BCF中，点A为BF上一点，过点A作BC的平行线交CF于点E，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点D，则下列说法不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，故A选项正确；根据相似三角形的性质得到＝，故B选项正确；根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，推出＝，故C选项正确；根据相似三角形的性质推出＝≠，故D选项错误．
解：∵CD∥AF，
∴＝，故A选项正确；
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△BFC，
∵CD∥AF，
∴△AFE∽△DCE，
∴△BFC∽△DCE，
∴＝，故B选项正确；
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵△AFE∽△BFC，
∴＝，
∴＝，故C选项正确；
∵△BFC∽△DCE，
∴＝≠，故D选项错误，
故选：D．
10．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（3，0），二次函数图象的对称轴为直线x＝1，下列结论：①c＜0；②＝﹣1；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＝0．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，可判断①；抛物线对称轴为x＝﹣＝1，可判断②；根据抛物线与x轴的交点个数可判断b2﹣4ac＞0，可判断③；由于抛物线与x轴交于点A（3，0），得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，可判断④．
解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝1，
∴＝﹣1，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以③正确；
∵抛物线与x轴交于点A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．已知是二次函数，则m＝　2　．
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．
解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
12．抛物线y＝﹣2（x+5）2﹣3的顶点坐标是　（﹣5，﹣3）　．
【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
【解答】∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k为（h，k），
∴抛物线y＝﹣2（x+5）2﹣3的顶点坐标是（﹣5，﹣3）
故答案为（﹣5，﹣3）．
13．抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为 　5　．
【分析】利用二次函数的对称轴公式和性质解题即可．
解：抛物线y＝﹣x2+4x+1，a＝﹣1＜0，开口向下，
∴最大值就是顶点纵坐标，
对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴y＝﹣4+8+1＝5．
故答案为5．
14．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标为 　（0，﹣9）　．
【分析】令x＝0，求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标．
解：令抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5中x＝0，
即y＝﹣4﹣5＝﹣9，
则抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标是（0，﹣9），
故答案为（0，﹣9）．
15．二次函数y＝﹣2x2+3x的函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 　x＜　．
【分析】已知抛物线为一般式，用﹣可求对称轴，利用对称轴及开口方向判断图象的增减性．
解：y＝﹣2x2+3x，
∴a＜0，开口向下，
对称轴为直线x＝﹣＝，
当y随x的增大而增大时，
x＜．
故答案为x＜．
16．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为　18　．
【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．
解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l＝，
得到：12π＝，
解得 r＝18．
故答案为：18．
17．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y＝x2+5的图象上，则y1、y2、y3按从小到大排列为 　y1＞y2＞y3　．
【分析】抛物线y＝x2+5的对称轴为y轴，即直线x＝0，图象开口向上，当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1、y2、y3的大小关系．
解：∵当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，
而抛物线y＝x2+5的对称轴为直线x＝0，开口向上，
∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3．
18．如图所示，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，6），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 　﹣1＜x＜4　．
【分析】结合函数图象得出x的取值范围．
解：由图象得：当﹣1＜x＜4时，y1＜y2，
故答案为：﹣1＜x＜4．
19．在△ABC中，AB＝5，tan∠ABC＝，AC＝，则BC＝　　．
【分析】作AD⊥BC于点D，根据直角三角函数的定义分别求出BD与DC的长即可解答．
解：如图，作AD⊥BC于点D，
∵tan∠ABC＝，
∴BD＝2AD，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（2AD）2+AD2＝52，
解得AD＝，
∴BD＝，
又∵AD2+DC2＝AC2，
∴，
解得DC＝，
∴BC＝BD+DC＝．
故答案为：．
20．如图，在△ABC中，BD为中线，若AB＝2，BC＝10，BD＝3，则tan∠ABC＝　3　．
【分析】延长BD到E，使DE＝BD，连接CE，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，利用SAS证明△ADB与△CDE全等，进而利用全等三角形的性质和直角三角形的性质解答即可．
解：延长BD到E，使DE＝BD，连接CE，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∵BD为中线，
∴AD＝CD，
在△ADB与△CDE中，
，
∴△ADB≌△CDE（SAS），
∴AB＝EC＝2，∠ABD＝∠BEC，
在△FBE中，BE＝2BD＝6，
设CF＝x，
∵BE2﹣BF2＝EF2，CE2﹣CF2＝EF2，
∴＝，
∴x＝2，
∴CF＝2，
∴EF＝＝＝6，
∵∠ECF＝∠BEC+∠CBE＝∠ABD+∠CBE＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝tan∠ECF＝＝3．
故答案为3．
三、解答题（21、22各7分，23、24各8分，25、26、27各10分，共60分）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2sin45°+2cos60°．
【分析】直接将原式通分进而分解因式后再化简，把已知代入得出答案．
解：原式＝×
＝，
∵x＝2sin45°+2cos60°＝2×+2×＝+1，
∴原式＝＝．
22．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠ABC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，连接CD，使CD＝，直接写出线段DE的长．
【分析】（1）作∠ABC＝90°，BC＝3，连接AC即可．
（2）取格点D，连接DE，DF，CD即可．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△DEF即为所求．
23．某校积极开展“大课间”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、踢毽子四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求本次被调查的学生人数；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校有1000名学生，请估计全校最喜爱足球的人数比最喜爱篮球的人数少多少人？
【分析】（1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；
（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢足球的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少．
解：（1）∵10÷25%＝40，
答：本次被调查的学生人数为40人；
（2）40﹣15﹣2﹣10＝13，
如图所示，
（3），
答：估计全校最喜爱足球的人数比最喜爱篮球的人数大约少50人．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE∥AD，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
【分析】（1）只要证明△AOD≌△COE，推出OD＝OE，又OA＝OC，可得四边形ADCE是平行四边形；
（2）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，结合（1）可得平行四边形ADCE是矩形，进而可得所有的直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵CE∥AD，
∴∠ODA＝∠OEC，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ADB和△ADC是直角三角形，
由（1）知：四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形，
∴△ADE、△ACE、△CDE是直角三角形，
∴△ADB、△ADC、△ADE、△ACE、△CDE是直角三角形．
25．某超市用1200元购进甲乙两种文具，甲种文具进价12元/个，售价为15元/个．乙种文具进价10元/个，售价为12元/个．全部售完后获利270元．
（1）求该超市购进甲乙两种文具各多少个？
（2）若该超市以原价再次购进这两种文具，且购进甲种文具数量不变，乙种文具购进数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价出售，甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕后，要使再次购进的文具获利不少于340元，甲种文具每个最低售价应为多少元？
【分析】（1）设该超市购进甲种文具x个，乙种文具y个，根据总价＝单价×数量结合总利润＝每个文具的利润×销售数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种文具每个售价为m元，根据总利润＝每个文具的利润×销售数量结合总获利不少于340元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
解：（1）设该超市购进甲种文具x个，乙种文具y个，
根据题意得：，
解得：．
答：该超市购进甲种文具50个，乙种文具60个．
（2）设甲种文具每个售价为m元，
根据题意得：50（m﹣12）+2×60×（12﹣10）≥340，
解得：m≥14．
答：甲种文具每个最低售价应为14元．
26．△ABC内接于⊙O，弦CD⊥AB于点E，AF⊥BC于点F交弦CD于点G．
（1）如图1，求证：DE＝EG；
（2）如图2，连接BD、OF，若BD＝FG，求证：FO平分∠AFC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H在线段CG上，连接FH，若∠CFH＝∠ABD，FH＝4，CG＝10，求线段OG的长．
【分析】（1）连接AD，根据同角的余角相等可证∠B＝∠AGE，又∠B＝∠D，可得∠D＝∠AGE，故AD＝AG，再根据等腰三角形三线合一可得结论；
（2）连接BG，由（1）知，直线AB垂直平分DG，得∠GBF＝45°，则BF＝FG，再通过AAS证明△AFB≌△CFG，得AF＝CF，再证明△AFO≌△CFO（SSS），得∠AFO＝∠CFO即可；
（3）过F作FL⊥CG于点L，由（2）知AF＝CF，则∠ACF＝45°，可证∠FHG＝45°，设GL＝x，则CL＝10﹣x，则，解得：x＝2或8，故CF＝2GF，在Rt△LFG中，GF2+（2GF）2＝102，可得BF＝FG＝2，则BC＝6，过O作OM⊥BC于点M，ON⊥AF于点N，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵CE⊥AB，AF⊥BC，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，
∴∠EAG+∠AGE＝90°，∠EAG+∠B＝90°，
∴∠B＝∠AGE，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴∠D＝∠AGE，
∴AD＝AG，
∵AE⊥DG，
∴DE＝EG，
（2）证明：连接BG，
由（1）知，直线AB垂直平分DG，
∴BD＝BG，
∵BD＝FG，
∴BG＝FG，
∴sin，
∴∠GBF＝45°，
∴BF＝FG，
∵∠CGF＝∠AGE＝∠ABF，∠AFB＝∠CFG＝90°，
∴△AFB≌△CFG（AAS），
∴AF＝CF，
∵OF＝OF，AO＝CO，
∴△AFO≌△CFO（SSS），
∴∠AFO＝∠CFO，
∴OF平分∠AFC；
（3）解：过F作FL⊥CG于点L，
∵，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠CFH＝∠ABD，
∴∠CFH＝∠ACD，
∴∠FHG＝∠CFH+∠HCF＝∠ACD+∠HCF＝∠ACF，
∵∠AFC＝90°，AF＝CF，
∴∠ACF＝45°，
∴∠FHG＝45°，
∴LH＝FL＝FH sin∠FHG＝4，
∵∠FGL+∠GFL＝90°，∠CFL+∠GFL＝90°，
∴∠FGL＝∠CFL，
∴tan∠FGL＝tan∠CFL，
∴，
设GL＝x，则CL＝10﹣x，
∴，
解得：x＝2或8，
∵CF＝AF＞FG，
∴tan∠FGL＞1，
∴x＞2，
∴tan∠FGL＝2，
∴CF＝2GF，
在Rt△LFG中，
GF2+（2GF）2＝102，
∴GF＝2或﹣2（舍去），CF＝4，
∴BF＝FG＝2，
∴BC＝6，
过O作OM⊥BC于点M，ON⊥AF于点N，
∴BN＝NC＝3，
∴EM＝，
∴OF平分∠AFC，
∴OM＝ON，
∴四边形OMFN是正方形，
∴OM＝MF＝FN＝ON＝，
∴NG＝FG﹣NF＝，
∴OG＝．
27．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．
（1）求a的值；
（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为s，若4s+3t＝0，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．
【分析】（1）利用抛物线的解析式得出点C的坐标，进而得出OC的长度，利用OB＝2OC，得出点B坐标，利用待定系数法列出方程即可求得a值；
（2）作PQ⊥AB于Q，DK⊥CE于K，设P（t，﹣），由△BOE∽△BQP表示出OE，进而表示出△CDE的面积，根据4s+3t＝0求得；
（3）作DJ∥AB，交y轴于J，过F点作FL⊥DJ，交AB于H，推理得Rt△AOE≌△FHB，进一步推出∠G＝90°，从而得∠APB＝45°，由“定弦对定角”，以AB为斜边在x轴下方作等腰直角△ABI，以I为圆心，AI为半径作⊙I，交抛物线于P，设点P（x，﹣），根据PI＝AI求得．
解：（1）由ax2﹣2ax﹣3a＝0得，
a（x﹣3） （x+1）＝0，
∵a≠0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝2OC，
∴OC＝﹣3a＝，
∴a＝﹣；
（2）如图1，
作PQ⊥AB于Q，DK⊥CE于K，
∵P（t，﹣），
∴PQ＝（t+1） （t﹣3），BQ＝3﹣t，
∵OE∥PQ，
∴△BOE∽△BQP，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝﹣﹣，
∴CE＝OC+OE＝﹣t，
∴S＝CE DK＝﹣，
∵4s+3t＝0，
∴﹣3t DK+3t＝3，
∴DK＝1，
当x＝1时，y＝﹣（1+1）×（1﹣3）＝2，
∴D（1，2）；
（3）如图3，
设E（0，m），
∴JE＝2﹣m，
作DJ∥AB，交y轴于J，过F点作FL⊥DJ，交AB于H，
∴∠DJE＝∠L＝90°，
∴∠DEJ+∠EDJ＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDL+∠EDJ＝90°，
∴∠DEJ＝∠FDL，
又DE＝DF，
∴△DJE≌△FLD（AAS），
∴LF＝DJ＝1，DL＝JE＝2﹣m，
∴JL＝JD+DL＝3﹣m，
∵OB＝3，OJ＝2，
∴BH＝﹣m，FH＝1，
∴BH＝OE，FH＝OA，
∴Rt△AOE≌△FHB（SAS），
∴∠FBH＝∠AEO，
∵∠AEO+∠EAO＝90°，
∴∠FHB+∠EAO＝90°，
∵∠GBA＝∠FHB，
∴∠GBA+∠EAO＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣（∠GBA+∠EAO）＝90°，
∵∠AGB＝2∠APB，
∴∠APB＝45°，
以AB为斜边在x轴下方作等腰直角△ABI，以I为圆心，AI为半径作⊙I，
交抛物线于P，
则∠APB＝∠AIB＝45°，I（1，﹣2），
设点P（x，﹣），
由PI＝AI得，
（x﹣1）2+（﹣+x++2）2＝（2）2，
（x﹣1）2+[（x﹣1）2﹣8]2＝8，
设（x﹣1）2＝t（t≥0），
∴＝8，
∴t＝8，
∴（x﹣1）2＝8，
∴x1＝1﹣2，x2＝1+2（舍去），
当x＝1﹣2时，y＝﹣2，
∴P（1﹣2，﹣2）．