2021-2022学年数学人教A版（2109）必修第一册2.2基本不等式 课件（共53张）

(共53张PPT)
基本不等式
教学目标
了解基本不等式的证明过程；
会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．
教学重点
教学难点
基本不等式及其应用．
基本不等式及其应用．
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．
探究1
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
知识探究
探究１：
1、正方形ABCD的
　　面积S=＿＿＿＿＿
２、四个直角三角形的
　　面积和S’ =＿＿＿
３、S与S’有什么　　　
　　样的不等关系？
＿＿＿＿
2ab
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立．
证明：（作差法）
思考：你能给出不等式 的证明吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围：
文字叙述为:
两数的平方和不小于它们积的2倍.
替换后得到：
即：
即：
a＞0，b＞0
(1)换元法
证明:
即：
(2)作差法
(3)分析法
要证 ①
显然,④是成立的.当且仅当a=b时, ④中的等号成立.
只要证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证 ④
如图，以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b，过点C作弦DD'⊥AB，
可以用几何方法证明：
由垂径定理和相交弦定理得，
当C与圆心重合时，等号成立.
1.已知x>0，求x+一的最小值.
解：因为x>0，所以

2.比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.
解：∵（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）
=-7
∵（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）＜0
∴（a+3）（a-5）＜（a+2）（a-4）
变形
定符号
确定大小
作差
3.比较 的大小.
解：
变形
定符号
确定大小
作差
（当x-0时取“=”）
对于”②”或“≤”的问题，既要防止“=”的遗漏，又要说明何时取到“=”
变形
定符号
确定大小
作差
证明：
∵a、b、m都是正数，且a>b
∴m>0,m+a>0,a>0,a-b>0
1.已知a，b，c都是正数，
求证（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc.
证明：
证明：
1.已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ；
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .
证明：因为x，y都是正数，所以
（1）当积xy等于定值P时，
所以
当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，和x+y有最小值 .
（2）当和x+y等于定值S时，
所以
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.

利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
证明：
证明：（1）x，y都是正数，且
仅当x=y时，等号成立。因为x≠y，
所以
证明：（2）x，y都是正数，且
当且仅当x=y时，等号成立。因为x≠y，
所以
当且仅当1=x=1-x
即x=0时等号成立
最大值为！
由已知，设直角三角形的两条直角边长度分别为a，b，则ab=100，
则
当且仅a当 即a=10时，等号成立。
所以当两条直角边相等并且为10时，直角边和最小，最小为20.
介绍均值不等式的推导及简单应用；
分析几种均值之间的关系；
n个数之间的均值不等式．
均值不等式
1.（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.
（1）由已知得xy=100.
由
可得
所以
当且仅当x=y=10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.
（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy .
由
可得 xy≤81
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 .
2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别
为xm，ym，水池的总造价为z元.根据题意，
有
=240000+720（x+y）.
由容积为 ，可得
3xy=4800，
因此 xy=1600.
所以
当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，
最低总造价是297600元.
反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。
总结
1.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
解答
设矩形的一边长为xcm，则另一边长为
∴矩形的面积为y=x（10-x）

∴当x=5时，y取得最大值25.
所以，把铁丝折成边长为5cm的正方形时，此时的面积最大。
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解答
设矩形的宽为xm，面积为S ，根据题意得：
S=x（30-2x）=-2 +30x=，

设底面的长与宽分别为acm，bcm.
a>0，b>0，因为体积等于32m，高2m，
所以底面积为16 ，即ab=16.
所以用纸面积是S=20b+2bc+2ac
=32+4（a+b）
=32+32=64.
当且仅当a=b=4时取等号.
答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.
4.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
解答
设矩形的长和宽分别为x和y，圆柱的侧面积为z，
依题意，得2x+2y=36，z=2πxy
即x+y=18，
可得
当x=y，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为162元.
【精彩点拨】变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征。
【解】
【解】
【解】
总结
应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.
凑项利用均值求最值
2.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，这两个正数取什么值时，它们的积最大？
3.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
解答
证明：因为x>0，所以2-3a-4=2-（3x+4）<2，xx
-2/3a.4=2-4/3
x时取等号，此时
x取得最大值2-4v3.
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客：你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？
在理解基本不等式时，要从形式和内含两方面去理解，特别要关注条件是否满足.
运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a+b≥2 成立的条件是a-0，b>0，等号成立的条件是a=b； ≥2ab成立的条件是a，b R，等号成立的条件是a=b.
总结
所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明.
利用基本不等式证明不等式的注意点
（1）多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
（3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
总结