2021-2022学年数学人教A版（2109）必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式 课件（54张）

(共54张PPT)
二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
掌握图像法解一元二次不等式的方法。
培养数形结合、分类讨论思想方法。
教学重点
教学难点
利用二次函数的图像解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法.
利用二次函数的图像解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法.
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m ，则这个矩形的边长为多少米
设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为（12-x）m.由题意，得
(12-x)x>20,
其中x∈{x|0x -12x+20<0,x∈{x|0求得上述不等式的解集，就得到了问题的答案
引例2
问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP公司可供选择,公司A每小时收费1.5元;公司B的收费原则如图所示,即在用户上网的第1个小时内收费1.7元, 第2个小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算),请问该同学应选择哪家公司.
公司B收取的费用为：
)，公司A收取的费用为:1.5x(元)
如果选择A公司，则
(0整理得：x -5x≤0
这是一个关于解一元二次不等式的问题
分析:假设一次上网x小时(0一元二次不等式有两个共同特点：
（1）含有一个未知数x；
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
一元二次不等式的一般形式是：
ax +bx+c>0 和 ax +bx+c<0.
（2）未知数的最高次数为2.
如何解一元二次不等式呢？
对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0;当x为何值时，y<0;当x为何值时，y>0？
当x=3.5时，2x-7=0，
即 y=0；
当x<3.5时，2x-7<0，
即 y<0；
当x>3.5时，2x-7>0，
即 y>0
想一想，当x取何值时，y 的值大于零？（或小于零？）
当x＞m时，y＞0
当x＞n时，y＜0
当x＜n时，y＞0
当x＜m时，y＜0
思考
对二次函数 y=x -x-6，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时，y>0
当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x -x-6=0
思考
对二次函数 y=x -x-6，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时，y>0
当 x<-2 或 x>3 时, y>0 即 x -x-6>0
当 -2＜x＜3时，y＜0
思考
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？
我们可以利用二次函数图象解一元二次不等式.
二次函数y= ax ＋bx＋c（a>0）与x轴的交点情况有哪几种？
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y= ax ＋bx＋c（a>0）与x轴的相关位置，分三种情况：
Δ>0
Δ=0
Δ<0

y= ax ＋bx＋c（a>0）的图像
ax ＋bx+c=0
（a>0）的根
ax ＋bx＋c>0
（a>0）的解集
ax ＋bx＋c<0
（a>0）的解集
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
R
二次函数与一元二次方程，不等式的对应关系
1.求不等式x -5x＋6>0的解集.
解∶对于方程x -5x+6=0，因为Δ>0，所以它有两个实数根.解得
画出二次函数y=x -5x＋6的图象，结合图象得不等式x -5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3}.
2.求不等式9x -6x＋1>0的解集.
解∶对于方程9x -6x+1=0，因为Δ=0，所以它有两个实数根.解得
画出二次函数y=9x -6x＋1的图象，结合图象得不等式9x -6x+1>0的解集为
3.求不等式-x +2x-3>0的解集.
解∶不等式可化为x -2x+3<0，因为Δ=-8<0，所以方程
-x +2x-3=0无实数根.
画出二次函数y=x -2x＋3的图象，结合图象得不等式x -2x+3>0的解集为
因此，原不等式的解集为
知识拓展
简单的分式不等式
此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
例2：解下列不等式
知识拓展
知识拓展
规律总结
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
拓展练习
∴原不等式的解集为
变式训练2：解下列不等式：
拓展练习
∴原不等式的解集为
变式训练2：解下列不等式：
知识拓展
简单高次不等式的解法
知识拓展
[解析]原不等式等价于x(x+2)(x-3)<0.
结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习
∴原不等式的解集为
变式训练3：解不等式：x(x-1) (x+1) (x-2)>0.
1.求下列不等式的解集∶
(1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x -7x≤10;
(3)-x +4x-4<0;(4)x -x+<0;
(5)-2x +x≤-3;(6)x -3x+4>0;
答案（1）{x|x<-2,或x>3}
(3){x|x≠2}
(4)不等式的解集为
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0 大于0 小于0
（1）y=3x -6x+2;（2）y=25-x ;
（3）y=x ＋6x+10;（4）y=-3x ＋12x-12.
(3)令x ＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x ＋6x＋10 图象的开口方向上，
故无论x须何值，函数值均大于0;
(2) 令25-x =0，则z=±5，又由y=25-x 图象的开口方向朝下，故z=±5 时，函数的值等于0，当-5
(4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于0.
解一元二次不等式的方法及注意事项；
分式不等式转化成一元二次不等式求解；
高次不等式的穿根法求解．
解一元二次不等式
对于可化为形如ax +bx+c>0(a≠0)的不等式，如果式子中含有参数，则称此不等式为 的一元二次不等式.
解含参数的一元二次不等式时，需根据参数的取值范围进行分类讨论，引起分类讨论的原因有以下几种:
含参数
1.二次项系数的
正负
2.方程ax +bx+c=0中Δ与 的关系.
3.方程ax +bx+c=0两根的 在解决以上问题时，最优的处理次序是:先看二次项系数的 其次考虑 最后分析两根
大小
正负
Δ
大小
0
含参数的一元二次不等式的解法
1.解关于x的不等式：x -(2m+1)x+m +m<0.
拓展练习
变式训练1：当a>0时，解关于x的不等式ax -(a+1)x+1<0.
解:不等式a -(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0，
当a=1时，不等式无解:
拓展练习
拓展练习
练：解关于x的不等式：x(x－a－1)≥－a.
(1)当a＞1时，原不等式的解集为：{x|x≤1,或x≥a}；
(2)当a＝1时，原不等式的解集为：R；
(3)当a＜1时，原不等式的解集为：{x|x≤a,或x≥1}．
解：原不等式化为(x－1)(x－a)≥0，
相应方程的两根为1，a，故应比较1与a的大小．
拓展练习
练：解关于x的不等式x －ax－2a ＜0.
(1)若a＞0，则－a＜x＜2a，
此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
(2)若a＜0，则2a＜x＜－a，
此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}；
解：方程x －ax－2a ＝0的判别式
Δ＝a ＋8a ＝9a ≥0，
得方程两根
(3)若a＝0，则原不等式即为x ＜0，
此时解集为 .
综上所述，原不等式的解集为
当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；
当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}；
当a＝0时，x∈ .
拓展练习
详细介绍了含参不等式的分类讨论及注意事项．
解含参一元二次不等式
1.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系: y=-2x +220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得到 -2x +220x>6000
移项整理,得 x -110x+3000<0.
因为Δ=100>0,所以方程 x -110x+3000=0有两个实数根
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得到 -2x + 220x > 6000
移项整理,得 x - 110x + 3000 < 0.
因为Δ=100>0,所以方程 x -110x+3000=0有两个实数根
因为x只能取整数,所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.
由函数y=x -110x+3000的图象,得不等式的解为50
2.某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米)和汽车车速x(千米/小时)有如下关系，
解：设这辆车刹车前的车速至少为xkm/h，根据题意，我们得到
移项整理,得
在一次交通事故测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆车刹车前的车速至少是多少？(精确到0.01km/h)
在这个实际问题中，x>0,所以这辆车刹车的车速至少为79.94km/h。
由方程x +9x-7110=0的图像，可得不等式的解集为{x|x<-88.94,或x>79.94 }
2. 如图，在长为8 m,宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米
答案：宽度应大于等于1m且小于3m
3.某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格
答案：应定在每个十五到二十之间
4.求下列不等式的解集:
(1) 13- 4x >0;(2) (x- 3)(x- 7)<0;
(3) x -3x-10>0;(4)-3x +5x-4> 0,
答案:
(1)
(2) {x|3
(3) {x|x>5,或x<-2};
(4)
5.x是什么实数，下列各式有什么意义
答案：(1)任意实数时，题目一中式子有意义；
（2）当x=3时，下列各式才有意义。
6.已知M={x|4x -4x-15>0}, N={x|x -5x-6>0},求
7.已知集合A={x|x -16<0}, B={x|x -4x+3>0},
8.一名同学以初速度V。=12 m/s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）
答案：2.08s
9.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长(精确到0. 1 h)
答案：经过约13.7h后收到热带风暴的影响，影响时间是15h。
解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完备的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．
总结
分类标准如何确定：看后面的结果不惟一的原因是什么，一般来讲，先讨论二次项的系数，再对判别式进行讨论，最后对根的大小进行讨论．
总结