2021-2022学年数学人教A版（2109）必修第一册1.5全称量词与存在量词 课件（共48张）

(共48张PPT)
全称量词与存在量词
理解含有全称量词与存在量词的命题的概念；

掌握全称命题与特称命题的真假的判断方法；
能够用符号表示全称命题、特称命题，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学目标
教学重点
教学难点
含有一个量词的命题的形式与真假判断；
含有一个量词的命题的否定形式．
全称命题与特称命题的真假判断与应用；
全称量词与特称量词的否定与应用．
知识引入
在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：
所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；

对任意实数x，都有 ；

存在有理数x，使 ;

有些美国国会议员是狗娘养的.等.
对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识.
x> 3 ;
2x+1是整数;
对所有的x R，x >3;
对任意一个x Z，2x+1是整数．
下列语句是命题吗 (1)与(3)之间,(2)与(4)之间有什么关系
常见的全称量词有:“对所有的”, “对任意一个”, “对一切”, “对每一个”, “任给”, “所有的”等.
短语“对所有的”, “对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.
通常，将含有变量x的语句用p（x）、q（x）、r（x）表示，变量x的取值范围用M表示。
符号
全称命题 “对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为
读作 “对任意x属于M,有p(x)成立”.
下列命题是全称命题吗？其真假如何？
所有的素数是奇数；
对每一个无理数x，x2也是无理数；
所有的正方形都是矩形.

假
假
真
真
如何判定一个全称命题的真假？
都有p(x)成立；
对集合M中每一个元素x，
在集合M中存在一个元素
1.判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数？都是奇数；
（2）
解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题
（2） ，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1.所以，全称量词命题“ ，|x|+1≥1”是真命题.
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个 ∈R,使2 +1=3;
(4)至少有一个 ∈Z， 能被2和3整除．
容易判断，（1）（2）不是命题.语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判断真假的陈述句，因此（3）（4）是命题。
常见的存在量词有：“存在一个”,“至少有一个”,“有些”,
“有一个”,“有的”,“对某个”等.
短语 “存在一个”,“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.

下列命题是特称量词命题吗？其真假如何？

有的平行四边形是菱形；
有一个实数 ,使 ;
有一个素数不是奇数；
存在两个相交平面垂直于同一条直线；
有些整数只有两个正因数；
有些实数的平方小于0.
假
假
真
真
假
真
如何判定一个特称量词命题的真假？
1.判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x，使 +2x+3=0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形。.
解：（1）由于△= -4×3=-8<0，因此一元二次方程 +2x+3=0无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使 +2x+3=0”是假命题.
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。
小结
全称量词是表示“全体”的量词，用符号“ ”表示；存在量词是表示“部分”的量词，用符号“ ”表示，具体用词没有统一规定.
若对任意x∈M，都有p(x)成立，则全称命题“ x∈M，p(x)”为真，否则为假；
1.判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题
2.判断下列存在量词命题的真假：
（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题
介绍全称量词和特称量词；
判断全称命题和特称命题的真假．
全称量词与存在量词
命题的否定
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
注意：
一个命题和它的否定
不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（1）存在一个矩形不是平行四边形；
（2）存在一个素数不是奇数；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
否定：
写出下列命题的否定
从命题形式上看,这三个全称量词命题的否定都变成了特称命题.

全称命题的否定是特称命题.
全称命题p:
它的否定P：
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
通常，用符号“-p（x）”表示“p（x）不成立”。
思考:用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
1.写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）对任意 的个位数字不等于3.
解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
（3）该命题的否定： 的个位数字等于3.
探究
写出下列命题的否定：
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（2）有些平行四边形是菱形；
否定：
（1）所有实数的绝对值都不是正数；
（2）每一个平行四边形都不是菱形；
从命题形式上看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:
特殊命题p:
它的否定-P：
特称命题的否定是全称量词命题.
1.写出下列存在量词命题的否定：
（1） ，x+2≤0；
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数.
解：（1）该命题的否定： ，x+2>0.
（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形。
（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
对全称命题的否定以及特点的理解
(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.
知识点拨
(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定命题.
对特称命题的否定以及特点的理解
(1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与 p互为否定,所以特称命题的否定就是全称命题.
(2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命题时要结合命题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言进行描述,这样才能准确判断命题的真假.
知识点拨
拓展提升
全称命题的否定形式与判断真假的方法
(1)求全称命题的否定命题,先将全称量词调整为存在量词,再对性质p(x)否定为p(x).
(2)若全称命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称命题为假命题,其否定命题就是真命题.
拓展练习
1.全称命题“所有能被6整除的数都能被2整除”的否定是　　　　　　　　　　,这是　　　　命题(填真、假).
2.写出下列全称命题p的否定 p,并判断p的真假:
(2)p:所有矩形都有外接圆.
1.全称命题“所有能被6整除的数都能被2整除”的否定是“存在一个能被6整除的数不能被2整除”,这是假命题.
答案:存在一个能被6整除的数不能被2整除 假

(2) p:有的矩形没有外接圆.假命题.

拓展练习
【解析】
拓展提升
特称命题的否定形式与判断真假的方法
求特称命题的否定命题,先将存在量词调整为全称量词,再对性质p(x)否定为 p(x).
由于命题与命题的否定一真一假,所以如果判断一个命题的真假困难时,那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.
拓展练习
特称命题“有些奇数是合数”的否定是　　　　,这是　　　　命题(填真、假).
写出下列特称命题p的否定 p,并判断 p的真假:

拓展练习
1.特称命题“有些奇数是合数”的否定是“任何一
个奇数都不是合数”,这是假命题.
答案:任何一个奇数都不是合数　假
此不等式组无解,所以不存在

(2) p:对任意实数m,x2+x+m=0的两根不都是正数.
假设x2+x+m=0的两根x1,x2都是正数,则必须
【解析】
1.写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）任意两个等边三角形都相似；
解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题。
所以这是一个真命题.
解题探究
1.特称命题是假命题,其否定的真假如何
2.若p(x)为假命题,一般应如何转化
探究提示:
1.特称命题是假命题,其否定是真命题.
2.当含有一个量词的命题是假命题时,一般利用它与其否定命题的真假相反,即利用其否定为真命题转化解决.
1.写出下列命题的否定：

（1）该命题的否定：
（2）该命题的否定：存在一个奇款的平方不是奇数；
（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形。
（2）任意奇数的平方还是奇数；
（3）每个平行四边形都是中心对称图形.
2.写出下列命题的否定：
（1）有些三角形是直角三角形；
（2）有些梯形是等腰梯形；
（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数。
解答
所有三角形都不是直角三角形。
每个梯形都不是等腰梯形。所有实数的绝对值都是正数。
3.判断下列全称量词命题的真假：
（1）每一个末位是0的整数都是5的倍数；
（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（3）对任意负数x， 的平方是正数；
（4）梯形的对角线相等.
（1）根据整数的性质末位是0的整数都是5的倍数成立，故为真命题。
（2）根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故为真命题。
（3）对任意负数x<0，不等式两边同时乘以负数x有x >0，故为真命题（4）举反例如直角梯形对角线显然不相等，故为假命题
4.判断下列存在量词命题的真假：
（1）有些实数是无限不循环小数；
（2）存在一个三角形不是等腰三角形；
（3）有些菱形是正方形；
（1）实数包括有理数与无理数其中无理数包括无限不循环小数如π，e等，故为真命题，
（2）等腰三角形有两条长度相等的边但并不是每个三角形都有两条长度相等的边故为真命题
（3）四边长度相等的四边形为菱形，此时若相邻边互相垂直则为正方形，故为真命题
5.写出下列命题的否定：
（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直.
（2）"所有可以被5整除的整数末位数字都是0”为全称命题故否定为：“存在一个可以被5整除的整数末位数字不是0”
（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直“为特称命题故否定为：“任意一个四边形，它的对角线都不互相垂直"
【答案】
（1）假命题命题的否定：平面直角坐标系下，存在一条直线不与x油相交；
（2）真命题命题的否定：存在一个二次函数的图象不是轴对称图形；
（3）假命题命题的否定：任意一个三角形，它的内角和不小于180；
（4）真命题命题的否定任意一个四边形它的四个顶点都在同一个圆上
6.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交；
（2）每个二次函数的图象都是轴对称图形；
（3）存在一个三角形，它的内角和小于180°；
（4）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
（1）任意一个平行四边形它的对角线互相平分；它的否定存在一个平行四边形它的对角线不互相平分；
（2）任意三个连续整数的乘积是6的倍数它的否定存在三个连续整数的乘积不是6的倍数：
（3）存在一个三角形不是中心对称图形它的否定所有的三角形都是中心对称图形
（4）存在一个一元二次方程没有实数根它的否定任意一元二次方程都有实数根
7.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定：
（1）平行四边形的对角线互相平分；
（2）三个连续整数的乘积是6的倍数；
（3）三角形不都是中心对称图形；
（4）一元二次方程不总有实数根.
8.在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假.
在数学中，有很多“若p，则g”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：
①若x>1，则2x+1>5；（假命题）
②若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等.（真命题）这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题.
（1）有人认为，①的否定是“若x>1，则2x+1≤5”，②的否定是“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等”。你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的否定
（2）请你列举几个“若p，则q”形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定，并判断真假。
解：（1）不对①的否定存在x>1，2x+1≤5；②的否定存在一个四边形为等腰梯形，它的对角线不相等。
（2）命题1：矩形的对角线相等，是真命题：它的否定是存在一个矩形，它的对角线不相等，是假命题。
命题2：实数的平方是正数是假命题它的否定：存在一个实数它的平方不是正数是真命题。
总结
一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
总结
常用词语的否定如下表：
总结

都是 不都是(即至少 存在 不存在
有一个不是)
量词 否定 量词 否定
必有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个
任意的 某一个 大于 不大于