2021-2022学年度华师版九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法（5课时）教案
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年度华师版九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法（5课时）教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 222.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 08:42:40 | ||
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文档简介
22.2 一元二次方程的解法
1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)
一、基本目标
1．理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤，并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．
2．通过利用已学知识求解一元二次方程，获得成功的体验，体会转化思想的应用．
二、重难点目标
【教学重点】
用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．
【教学难点】
根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P20～P25的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法．
2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．
3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0，那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么__它们的积__就等于0.
4．方程(x－1)2＝1的解为__x1＝2，x2＝0__.
5．用因式分解法解一元二次方程(4x－1)(x＋3)＝0时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是4x－1＝0，则另一个方程是__x＋3＝0__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程：
(1)(x＋1)2＝2； (2)(2x＋1)2＝2x＋1；
(3)－x2＝4x； (4)(x＋5)2＝9.
【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点，确定解方程的方法及一般步骤．
【解答】(1)直接开平方，得x＋1＝±.
故x1＝－1，x2＝－－1.
(2)移项，得(2x＋1)2－(2x＋1)＝0.方程左边分解因式，得(2x＋1)(2x＋1－1)＝0，所以2x＋1＝0或2x＋1－1＝0，得x1＝－，x2＝0.
(3)方程可变形为x2＋4x＝0.方程左边分解因式，得x(x＋4)＝0，所以x＝0或x＋4＝0，得x1＝0，x2＝－4.
(4)方程两边同时乘2，得(x＋5)2＝18.直接开平方，得x＋5＝±3，所以x1＝3－5，x2＝－3－5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x2＝b(b≥0)或(mx＋a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；②直接开平方，得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一元二次方程x2－16＝0的根是( D )
A．x＝2 B．x＝4
C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
2．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋1)﹡3＝0的解为__x1＝2，x2＝－4__.
【教师点拨】根据新定义，由(x＋1)﹡3＝0，得(x＋1)2－32＝0.
3．解下列方程：
(1)4x2＝25；
(2)x(x＋2)＝x＋2.
解：(1)方程可化为x2＝.直接开平方，得x＝±，所以x1＝，x2＝－.
(2)移项，得x(x＋2)－(x＋2)＝0.方程左边分解因式，得(x＋2)(x－1)＝0，所以x＋2＝0或x－1＝0，得x1＝－2或x2＝1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋__2__)(x＋__4__)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．
【解答】∵x2－3x－4＝0，即x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0，∴(x－4)(x＋1)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要把握新定义的内涵，抓住关键词语，合理套用求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
直接开平方法
因式分解法
请完成本课时对应练习！
2 配方法(第2课时)
一、基本目标
1．理解配方法解一元二次方程的含义，并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程，掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．
二、重难点目标
【教学重点】
用配方法解一元二次方程．
【教学难点】
把一元二次方程通过配方转化为(x±h)2＝k(k≥0)的形式．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P25～P27的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1. (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；
(2)x2－x＋____＝2；
(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋ __1__)2.
2．配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__，右边是一个__非负常数__，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用配方法解下列方程：
(1)x2－4x－12＝0；
(2)22x2＋4x－6＝0.
【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【解答】(1)原方程可化为x2－4x＝12.
配方，得x2－4x＋4＝16，即(x－2)2＝16.
直接开平方，得x－2＝±4，
所以x1＝－2，x2＝6.
(2)移项，得22x2＋4x＝6.
两边同除以22，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋2＝＋2，即2＝.
直接开平方，得x＋＝±，
所以x1＝，x2＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数，将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为(x±h)2＝k的形式；(5)求解：若k≥0，则利用直接开平方法求解；若k<0，则原方程无实数根．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．用配方法解下列方程，配方正确的是( D )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
2．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( C )
A．x2－2x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5
3．用配方法解方程2x2－x＝4，配方后方程可化为2＝____.
4．用配方法解下列方程：
(1)x2＋6x＋1＝0； (2)2x2－3x＋＝0.
解：(1)x1＝2－3，x2＝－2－3.
(2)x1＝，x2＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】试用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总是正数，并指出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x2－4x＋5进行配方→确定代数式的最小值．
【解答】x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.
∵(x－2)2≥0，
∴(x－2)2＋1≥1，
∴不论x为何值，代数式x2－4x＋5的值总是正数，且当(x－2)2＝0，即x＝2时，代数式x2－4x＋5有最小值，最小值为1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知代数式是一个关于x的二次三项式且含有一次项，在求它的最值时，通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
配方法
请完成本课时对应练习！
3 公式法(第3课时)
一、基本目标
1．理解求根公式的推导过程，能正确推导出一元二次方程的求根公式．
2．理解b2－4ac≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分，当b2－4ac<0时，方程无解．
3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤，并能正确运用公式法解一元二次方程．
二、重难点目标
【教学重点】
用公式法解一元二次方程．
【教学难点】
求根公式的推导过程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P28～P31的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝__(b2－4ac≥0)__.将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.
2．用公式法解方程2x2－3x－1＝0时，a＝__2__，b＝__－3__，c＝__－1__，则b2－4ac＝__17__，代入求根公式，得x＝____.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用公式法解下列方程：
(1)5x2－4x－1＝0； (2)3x2＋5(2x＋1)＝0.
【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【解答】(1)∵a＝5，b＝－4，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36，
∴x＝＝＝，
∴x1＝1，x2＝－.
(2)将方程化为一般形式，得3x2＋10x＋5＝0.
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴b2－4ac＝102－4×3×5＝100－60＝40，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)确定a、b、c的值；(3)求出b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac的符号．当b2－4ac≥0时，把a、b及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1、x2；当b2－4ac<0时，无意义，此时方程无解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．以x＝为根的一元二次方程可能是( D )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
2．方程3x2－5x＋1＝0的解，正确的是( B )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
3．用公式法解下列方程：
(1)3x2－6x－1＝0；
(2)(x－1)(x＋3)＝12；
(3)x2－x＋3＝0.
解：(1)x1＝，x2＝.
(2)x1＝－5，x2＝3.
(3)方程没有实数解．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】我们规定一种运算：＝ad－bc，例如：＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定，当x取何值时，＝0
【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．
【解答】由＝0，得2x2－1×(0.5－x)＝0.
整理，得4x2＋2x－1＝0，则a＝4，b＝2，c＝－1，∴b2－4ac＝22－4×4×(－1)＝20，
∴x＝＝，∴当x＝或时，＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题，解这类题的关键是根据新定义得到方程，再解方程即可．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
公式法
请完成本课时对应练习！
4 一元二次方程根的判别式(第4课时)
一、基本目标
1．了解根的判别式，掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况．
2．经历思考、探究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的过程，学会合作交流，并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．
二、重难点目标
【教学重点】
由根的判别式符号判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况．
【教学难点】
推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的符号与其根的关系．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“__Δ__”来表示．
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时，方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程__没有__实数根．
3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】不解方程，判定下列方程的根的情况：
(1)16x2＋8x＝－3； (2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)2x2－9x＋8＝0； (4)x2－7x－18＝0.
【互动探索】(引发学生思考)不解方程，要判断方程的根的情况，结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系，各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？
【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0，则a＝16，b＝8，c＝3.
∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0，
∴方程没有实数根．
(2)a＝9，b＝6，c＝1.
∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
(3)a＝2，b＝－9，c＝8.
∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(4)a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【互动总结】(学生总结，老师点评)不解一元二次方程，由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
2．若关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0有实数根，则m的取值范围是( B )
A．m≥ B．m≥－
C．m≤ D．m≤－
【教师点拨】若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，则b2－4ac≥0.
3．已知方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实数根，则p与q的关系是__p2＝4q__.
4．不解方程，试判断下列方程的根的情况：
(1)2＋5x＝3x2；
(2)x2－(1＋2)x＋＋4＝0.
解：(1)方程有两个不相等的实数根．
(2)方程没有实数根．
5．已知关于x的方程kx2－6x＋9＝0，问k为何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：(1)当k＜1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
(2)当k＝1时，方程有两个相等的实数根．
(3)当k＞1时，方程没有实数根．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a、b、c的数量关系→确定三角形的形状．
【解答】△ABC是直角三角形．理由如下：
∵关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据根的情况得到判别式的符号，再推出系数之间的关系，进而解决问题．
【例3】如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
【互动探索】方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根→确定m的取值范围→分类讨论确定方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
【解答】∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，
∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)＜0，
∴m＞4.
对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，
当m＝5时，方程有一个实数根；
当m≠5时，Δ1＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝12m＋4.
∵m＞4，
∴Δ1＝12m＋4＞0，
∴此时方程有两个不相等的实数根．
综上，当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有两个不相等的实数根．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，不要忽略对方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0是否为一元二次方程进行讨论，此方程可能是一元一次方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)
一、基本目标
1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．
【教学难点】
一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P33～P35的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则有x1＋x2＝__－__，x1x2＝____.
特殊形式：若x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝__－p__，x1x2＝__q__.
2．已知x1、x2是一元二次方程x2－6x－15＝0的两根，则x1＋x2＝__6__，x1x2＝__－15__.
3．已知实数x1、x2满足x1＋x2＝11，x1x2＝30，则以x1、x2为根的一元二次方程是__x2－11x＋30＝0__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，不解方程，求下列代数式的值．
(1)(x1－x2)2； (2)＋.
【互动探索】(引发学生思考)方程x2＋6x＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？
【解答】∵x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3.
(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－6)2－4×3＝24.
(2) ＋ ＝＝＝＝10.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)解此类题时，先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再把所求代数式变形，最后利用整体代入法计算即可．
(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：
①x ＋ x＝(x1 ＋ x2)2－2x1x2；
②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
③＋＝；
④＋＝；
⑤(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2；
⑥|x1－x2|＝＝.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是( C )
A．两个实根和为6
B．两个实根之积为10
C．没有实数根
D．有两个相等的实数根
2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是( C )
A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0
C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝0
3．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2，则k＝__－7__，另一个根为__－__.
4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．
(1)a＋b＝__－2__，ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；
(2)求代数式a2＋3a＋b的值．
解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.
5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：
(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，求b和c的值；
(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2，不解方程，求＋的值．
解：(1)b＝－1，c＝－6. (2)＋＝3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.
(1)若x1＝2，求x2的值；
(2)若k＝4，且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，试求Rt△ABC的面积．
【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关，即x1x2的乘积关系→根与系数的关系，确定x1x2的值．
【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根，且x1＝2，
∴x1＋x2＝－(－6)，即2＋x2＝6，∴x2＝4.
(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根，k＝4，
∴x1·x2＝k＝4.
又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，
∴SRt△ABC＝x1·x2＝×4＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求(2)问时，弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一元二次方程的根与系数的关系：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
特殊地，x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q .
请完成本课时对应练习！
1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)
一、基本目标
1．理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤，并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．
2．通过利用已学知识求解一元二次方程，获得成功的体验，体会转化思想的应用．
二、重难点目标
【教学重点】
用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．
【教学难点】
根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P20～P25的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法．
2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．
3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0，那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么__它们的积__就等于0.
4．方程(x－1)2＝1的解为__x1＝2，x2＝0__.
5．用因式分解法解一元二次方程(4x－1)(x＋3)＝0时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是4x－1＝0，则另一个方程是__x＋3＝0__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程：
(1)(x＋1)2＝2； (2)(2x＋1)2＝2x＋1；
(3)－x2＝4x； (4)(x＋5)2＝9.
【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点，确定解方程的方法及一般步骤．
【解答】(1)直接开平方，得x＋1＝±.
故x1＝－1，x2＝－－1.
(2)移项，得(2x＋1)2－(2x＋1)＝0.方程左边分解因式，得(2x＋1)(2x＋1－1)＝0，所以2x＋1＝0或2x＋1－1＝0，得x1＝－，x2＝0.
(3)方程可变形为x2＋4x＝0.方程左边分解因式，得x(x＋4)＝0，所以x＝0或x＋4＝0，得x1＝0，x2＝－4.
(4)方程两边同时乘2，得(x＋5)2＝18.直接开平方，得x＋5＝±3，所以x1＝3－5，x2＝－3－5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x2＝b(b≥0)或(mx＋a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；②直接开平方，得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一元二次方程x2－16＝0的根是( D )
A．x＝2 B．x＝4
C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
2．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋1)﹡3＝0的解为__x1＝2，x2＝－4__.
【教师点拨】根据新定义，由(x＋1)﹡3＝0，得(x＋1)2－32＝0.
3．解下列方程：
(1)4x2＝25；
(2)x(x＋2)＝x＋2.
解：(1)方程可化为x2＝.直接开平方，得x＝±，所以x1＝，x2＝－.
(2)移项，得x(x＋2)－(x＋2)＝0.方程左边分解因式，得(x＋2)(x－1)＝0，所以x＋2＝0或x－1＝0，得x1＝－2或x2＝1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋__2__)(x＋__4__)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．
【解答】∵x2－3x－4＝0，即x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0，∴(x－4)(x＋1)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要把握新定义的内涵，抓住关键词语，合理套用求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
直接开平方法
因式分解法
请完成本课时对应练习！
2 配方法(第2课时)
一、基本目标
1．理解配方法解一元二次方程的含义，并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程，掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．
二、重难点目标
【教学重点】
用配方法解一元二次方程．
【教学难点】
把一元二次方程通过配方转化为(x±h)2＝k(k≥0)的形式．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P25～P27的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1. (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；
(2)x2－x＋____＝2；
(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋ __1__)2.
2．配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__，右边是一个__非负常数__，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用配方法解下列方程：
(1)x2－4x－12＝0；
(2)22x2＋4x－6＝0.
【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【解答】(1)原方程可化为x2－4x＝12.
配方，得x2－4x＋4＝16，即(x－2)2＝16.
直接开平方，得x－2＝±4，
所以x1＝－2，x2＝6.
(2)移项，得22x2＋4x＝6.
两边同除以22，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋2＝＋2，即2＝.
直接开平方，得x＋＝±，
所以x1＝，x2＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数，将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为(x±h)2＝k的形式；(5)求解：若k≥0，则利用直接开平方法求解；若k<0，则原方程无实数根．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．用配方法解下列方程，配方正确的是( D )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
2．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( C )
A．x2－2x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5
3．用配方法解方程2x2－x＝4，配方后方程可化为2＝____.
4．用配方法解下列方程：
(1)x2＋6x＋1＝0； (2)2x2－3x＋＝0.
解：(1)x1＝2－3，x2＝－2－3.
(2)x1＝，x2＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】试用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总是正数，并指出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x2－4x＋5进行配方→确定代数式的最小值．
【解答】x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.
∵(x－2)2≥0，
∴(x－2)2＋1≥1，
∴不论x为何值，代数式x2－4x＋5的值总是正数，且当(x－2)2＝0，即x＝2时，代数式x2－4x＋5有最小值，最小值为1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知代数式是一个关于x的二次三项式且含有一次项，在求它的最值时，通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
配方法
请完成本课时对应练习！
3 公式法(第3课时)
一、基本目标
1．理解求根公式的推导过程，能正确推导出一元二次方程的求根公式．
2．理解b2－4ac≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分，当b2－4ac<0时，方程无解．
3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤，并能正确运用公式法解一元二次方程．
二、重难点目标
【教学重点】
用公式法解一元二次方程．
【教学难点】
求根公式的推导过程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P28～P31的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝__(b2－4ac≥0)__.将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.
2．用公式法解方程2x2－3x－1＝0时，a＝__2__，b＝__－3__，c＝__－1__，则b2－4ac＝__17__，代入求根公式，得x＝____.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用公式法解下列方程：
(1)5x2－4x－1＝0； (2)3x2＋5(2x＋1)＝0.
【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【解答】(1)∵a＝5，b＝－4，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36，
∴x＝＝＝，
∴x1＝1，x2＝－.
(2)将方程化为一般形式，得3x2＋10x＋5＝0.
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴b2－4ac＝102－4×3×5＝100－60＝40，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)确定a、b、c的值；(3)求出b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac的符号．当b2－4ac≥0时，把a、b及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1、x2；当b2－4ac<0时，无意义，此时方程无解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．以x＝为根的一元二次方程可能是( D )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
2．方程3x2－5x＋1＝0的解，正确的是( B )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
3．用公式法解下列方程：
(1)3x2－6x－1＝0；
(2)(x－1)(x＋3)＝12；
(3)x2－x＋3＝0.
解：(1)x1＝，x2＝.
(2)x1＝－5，x2＝3.
(3)方程没有实数解．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】我们规定一种运算：＝ad－bc，例如：＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定，当x取何值时，＝0
【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．
【解答】由＝0，得2x2－1×(0.5－x)＝0.
整理，得4x2＋2x－1＝0，则a＝4，b＝2，c＝－1，∴b2－4ac＝22－4×4×(－1)＝20，
∴x＝＝，∴当x＝或时，＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题，解这类题的关键是根据新定义得到方程，再解方程即可．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
公式法
请完成本课时对应练习！
4 一元二次方程根的判别式(第4课时)
一、基本目标
1．了解根的判别式，掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况．
2．经历思考、探究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的过程，学会合作交流，并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．
二、重难点目标
【教学重点】
由根的判别式符号判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况．
【教学难点】
推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的符号与其根的关系．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“__Δ__”来表示．
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时，方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程__没有__实数根．
3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】不解方程，判定下列方程的根的情况：
(1)16x2＋8x＝－3； (2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)2x2－9x＋8＝0； (4)x2－7x－18＝0.
【互动探索】(引发学生思考)不解方程，要判断方程的根的情况，结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系，各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？
【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0，则a＝16，b＝8，c＝3.
∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0，
∴方程没有实数根．
(2)a＝9，b＝6，c＝1.
∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
(3)a＝2，b＝－9，c＝8.
∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(4)a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【互动总结】(学生总结，老师点评)不解一元二次方程，由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
2．若关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0有实数根，则m的取值范围是( B )
A．m≥ B．m≥－
C．m≤ D．m≤－
【教师点拨】若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，则b2－4ac≥0.
3．已知方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实数根，则p与q的关系是__p2＝4q__.
4．不解方程，试判断下列方程的根的情况：
(1)2＋5x＝3x2；
(2)x2－(1＋2)x＋＋4＝0.
解：(1)方程有两个不相等的实数根．
(2)方程没有实数根．
5．已知关于x的方程kx2－6x＋9＝0，问k为何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：(1)当k＜1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
(2)当k＝1时，方程有两个相等的实数根．
(3)当k＞1时，方程没有实数根．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a、b、c的数量关系→确定三角形的形状．
【解答】△ABC是直角三角形．理由如下：
∵关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据根的情况得到判别式的符号，再推出系数之间的关系，进而解决问题．
【例3】如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
【互动探索】方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根→确定m的取值范围→分类讨论确定方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
【解答】∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，
∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)＜0，
∴m＞4.
对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，
当m＝5时，方程有一个实数根；
当m≠5时，Δ1＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝12m＋4.
∵m＞4，
∴Δ1＝12m＋4＞0，
∴此时方程有两个不相等的实数根．
综上，当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有两个不相等的实数根．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，不要忽略对方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0是否为一元二次方程进行讨论，此方程可能是一元一次方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)
一、基本目标
1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．
【教学难点】
一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P33～P35的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则有x1＋x2＝__－__，x1x2＝____.
特殊形式：若x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝__－p__，x1x2＝__q__.
2．已知x1、x2是一元二次方程x2－6x－15＝0的两根，则x1＋x2＝__6__，x1x2＝__－15__.
3．已知实数x1、x2满足x1＋x2＝11，x1x2＝30，则以x1、x2为根的一元二次方程是__x2－11x＋30＝0__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，不解方程，求下列代数式的值．
(1)(x1－x2)2； (2)＋.
【互动探索】(引发学生思考)方程x2＋6x＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？
【解答】∵x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3.
(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－6)2－4×3＝24.
(2) ＋ ＝＝＝＝10.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)解此类题时，先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再把所求代数式变形，最后利用整体代入法计算即可．
(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：
①x ＋ x＝(x1 ＋ x2)2－2x1x2；
②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
③＋＝；
④＋＝；
⑤(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2；
⑥|x1－x2|＝＝.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是( C )
A．两个实根和为6
B．两个实根之积为10
C．没有实数根
D．有两个相等的实数根
2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是( C )
A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0
C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝0
3．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2，则k＝__－7__，另一个根为__－__.
4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．
(1)a＋b＝__－2__，ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；
(2)求代数式a2＋3a＋b的值．
解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.
5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：
(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，求b和c的值；
(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2，不解方程，求＋的值．
解：(1)b＝－1，c＝－6. (2)＋＝3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.
(1)若x1＝2，求x2的值；
(2)若k＝4，且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，试求Rt△ABC的面积．
【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关，即x1x2的乘积关系→根与系数的关系，确定x1x2的值．
【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根，且x1＝2，
∴x1＋x2＝－(－6)，即2＋x2＝6，∴x2＝4.
(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根，k＝4，
∴x1·x2＝k＝4.
又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，
∴SRt△ABC＝x1·x2＝×4＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求(2)问时，弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一元二次方程的根与系数的关系：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
特殊地，x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q .
请完成本课时对应练习！