2021-2022学年度华师版九年级数学上册教案 22.3 实践与探索（2课时）

22.3　实践与探索
第1课时　列一元二次方程解应用题
一、基本目标
1．掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤．
2．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤．
【教学难点】
找出具体问题中的数量关系．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P38～P39的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？设矩形的一边为x cm，根据题意，可列方程为__x(20－x)＝75__.
2．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x.根据题意，列方程得__168(1－x)2＝108__.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】东台市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2015年投资1000万元，预计2017年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率．
【互动探索】(引发学生思考)根据题意可知，题中的等量关系是什么？怎样求出平均每年投资增长的百分率？
【解答】设平均每年投资增长的百分率是x.
由题意，得1000(1＋x)2＝1210，
解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．
故平均每年投资增长的百分率为10%.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为(　A　)
A．112(1－x)2＝63 B．112(1＋x)2＝63
C．112(1－x)＝63 D．112(1＋x)＝63
2．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是__(1－10%)(1＋x)2＝1__.
3．如图所示，在长32 m、宽20 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570 m2，问道路应多宽？
解：设道路为x m宽．
由题意，得(32－2x)(20－x)＝570.
整理，得x2－36x＋35＝0，
解得x1＝1，x2＝35.
经检验，x＝35＞20，不合题意，故舍去．
即道路为1 m宽．
4．某服装店销售一种服装，每件进货价为40元，当以每件80元销售的时候，每天可以售出50件，为了增加利润，减少库存，服装店准备适当降价．据测算，该服装每降价1元，每天可多售出2件．如果要使每天销售该服装获利2052元，每件应降价多少元？
解：设每件服装应降价x元．
依题意，得(80－40－x)(50＋2x)＝2052，
解得x1＝2，x2＝13.
为了减少库存，取x＝13.
故每件应降价13元．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？
【互动探索】确定题中等量关系→建立方程模型→解方程解决问题．
【解答】(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.
根据题意，得5000(1＋x)2＝7200，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
故该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.
(2)2018年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)．
设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500－m)台．
根据题意，得3500m＋2000(1500－m)≤86 400 000×5%，解得m≤880.
故2018年最多可购买电脑880台．
【互动总结】(学生总结，老师点评)求(2)问时，先根据题意求出2018年投入的基础教育经费，在此基础上根据题中的数量关系，列出不等式求解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
1．审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系；
2．设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异；
3．列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程；
4．解：求出所列方程的解；
5．验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
6．答：写出答案．
请完成本课时对应练习！
第2课时　一元二次方程与生活实践及探索性问题
一、基本目标
1．利用一元二次方程的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型，并探究相关问题．
2．在解决实际问题的过程中增强学数学、用数学的意识，获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，提高探究学习的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
根据实际问题建立数学模型．
【教学难点】
探究并解决实际问题．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P40～P41的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则这个商店第一季度的总利润是__50＋50(1＋m)＋50(1＋m)2___万元．
2．如果用长20米的铁丝围成一个面积为24平方米的长方形，那么长方形的长是__6__米，宽是__4__米．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】某市曾爆发登革热疫情，登革热是一种传染性病毒，在病毒传播中，若1人患病，则经过两轮传染就共有144人患病．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)若病毒得不到有效控制，按照这样的传染速度，三轮传染后，患病的人数共有多少人？
【互动探索】(引发学生思考)若1人患病，经过一轮传染后患病的有几人？经过两轮传染后，题中的等量关系如何？三轮传染后，患病的人数共有多少人？
【解答】(1)设每轮传染中平均一人传染了x人．
由题意，得1＋x＋x(x＋1)＝144，解得x＝11或x＝－13(舍去)．
故每轮传染中平均一人传染了11人．
(2)由(1)可得，144＋144×11＝1728(人)．
即三轮传染后，患病的人数共有1728人．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的关键是求出每轮传染中平均每人传染了多少人．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是(　D　)
A．－2,0,2或6,8,10
B．－2,0,2或－10，－8，－6
C．6,8,10或－10，－8，－6
D．－2,0,2或－10，－8，－6或6,8,10
2．如图，在长和宽分别为6,4的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，正方形的边长为____.
【教师点拨】设正方形的边长为x，根据剪去部分的面积等于剩余部分的面积建立方程，求解即可．
3．甲型H1N1流感传染能力很强．若有一人患这种流感，经过两轮传染后共有64人患流感，则每轮传染中平均一人传染了__7__人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经过三轮传播，将共有__512__人患流感．
4．据大数据统计显示，某省2015年公民出境旅游人数约100万人次，2016年与2017年两年公民出境旅游总人数约264万人次．若这两年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
(1)求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率；
(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年该省公民出境旅游人数约多少万人次？
解：(1)设这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率为x.
根据题意，得100(1＋x)＋100(1＋x)2＝264，解得x1＝0.2，x2＝－3.2 (舍去)．
故这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.
(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，则2018该省公民出境旅游人数为100×(1＋20%)3＝172.8(万人次)．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4 cm2
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm
(3)在(1)中△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
【互动探索】P、Q分别从A、B同时出发，经过一段时间后，AP、PB、BQ的长分别是多少？△PBQ的面积计算公式是什么？怎样求PQ的长？△PBQ的面积能否等于7 cm2
【解答】(1)设x s后，△BPQ的面积为4 cm2，此时AP＝x cm，BP＝(5－x) cm，BQ＝2x cm.
由BP×BQ＝4，得(5－x)×2x＝4.
整理，得x2－5x＋4＝0，
解得x＝1或x＝4.
当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去．
故1 s后，△BPQ的面积为4 cm2.
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，则BP2＋BQ2＝52，即(5－x)2＋(2x)2＝52，
解得x＝0(舍去)或x＝2.
故2 s后，PQ的长度等于5 cm.
(3)不能．理由如下：
假设△PBQ的面积能等于7 cm2，则(5－x)×2x＝7.
整理，得x2－5x＋7＝0，
此时b2－4ac＝－3＜0，即该方程没有实数根，所以△BPQ的面积不能等于7 cm2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4 cm2”“PQ的长度等于5 cm”，得出等量关系是解决问题的关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
在日常生活和社会实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，从而体会数学建模的思想方法．
生活中的常见问题
请完成本课时对应练习！