2021-2022学年度华师版九年级数学上册教案 23.1 成比例线段（2课时）

23.1　成比例线段
1　成比例线段(第1课时)
一、基本目标
1．理解相似图形的概念．
2．了解成比例的基本性质，了解成比例线段的概念．
二、重难点目标
【教学重点】
成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用．
【教学难点】
比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P48～P50的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P48[试一试]的答案依次是__2__，__2__，__＝__.
2．对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如＝(或a：b＝c：d)，那么，这四条线段叫做__成比例线段__，简称__比例线段__.
3．如果＝，那么__ad＝bc__.如果ad＝bc，那么__＝__.这个结论称为__比例的基本性质__.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】下列线段中，能成比例的是(　　)
A．3 cm、6 cm、8 cm、9 cm
B．3 cm、5 cm、6 cm、9 cm
C．3 cm、6 cm、7 cm、9 cm
D．3 cm、6 cm、9 cm、18 cm
【互动探索】(引发学生思考)根据成比例线段的定义，判断四条线段是否成比例的关键是什么？
【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有D符合，3×18＝6×9.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段就是成比例线段．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．已知线段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm.
(1)求线段a与线段b的比；
(2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
解：(1)∵a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm，∴a∶b＝30∶60＝1∶2.　(2)∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴＝.∵c＝12 dm＝120 cm，∴＝，∴d＝240 cm.
2．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2.
(1)求下列各线段的比： 、、；
(2)指出AB、BC、CF、CD、EF、FB这六条线段中的成比例线段(写一组即可)．
解：(1)∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC－BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝.
(2)成比例线段有AB、BF、CF和EF.
3．已知 ＝，求下列算式的值．
(1)；
(2).
解：(1).　(2).
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状．
【互动探索】分析法：要判断△ABC的形状→需要知道△ABC的边长或者角度→利用两个已知等式确定 a、b、c的数量关系→得△ABC的形状．
【解答】设＝＝＝k，可得a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12，解得k＝3.则a＝5，b＝3，c＝4，∴b2＋c2＝a2，即△ABC为直角三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)当出现等比的条件时，可以设等比为一个常数k，从而使问题变得简单．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
成比例线段
请完成本课时对应练习！
2　平行线分线段成比例(第2课时)
一、基本目标
1. 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用．
2．通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
二、重难点目标
【教学重点】
平行线分线段成比例定理的应用．
【教学难点】
平行线分线段成比例定理的推导证明．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P51～P54的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P52[思考]的答案是__＝，＝__.
2．教材P53[思考]的答案是__有类似的成比例线段，如＝，＝等__.
3．平行线分线段成比例：(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成__比例__；(2)推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成__比例__.
4．如图，直线AB∥CD∥EF, 则＝，＝，＝.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1、l2、l3所截，AB＝3，BC＝2，求DE：DF的值．
【互动探索】(引发学生思考)已知线段平行及AB、BC，利用平行线分线段成比例求解．
【解答】∵l1∥l2∥l3，∴AB∶BC＝DE∶EF＝3∶2，∴DE∶DF＝3∶5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【例2】如图，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，如果EG＝4，求AC的长．
【互动探索】求AC的长，需要转化为求AE、GC的长．
【解答】∵DE∥FG∥BC，∴AE∶EG∶GC＝AD∶DF∶FB＝2∶3∶4.∵EG＝4，∴AE＝，GC＝，∴AC＝AE＋EG＋GC＝12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5.求BC、BE的长．
解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝＝，∴BC＝6，BF＝BE，∴BE＋BE＝7.5，∴BE＝5.
2．如图所示，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7 cm，EB＝5 cm，FC＝4 cm，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10 cm，AE＝6 cm，AF＝5 cm，那么FC的长是多少？
解：(1)∵EF∥BC，∴＝.∵AE＝7 cm，EB＝5 cm，FC＝4 cm，∴＝，∴AF＝5.6 cm.
(2)∵EF∥BC，∴＝.∵AB＝10 cm，AE＝6 cm，AF＝5 cm，∴＝，∴AC＝ cm，∴FC＝AC－AF＝－5＝(cm)．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC、AB于E、F，连结BE、CF，分别交DF、DE于点N、M，连结MN.试判断△DMN的形状，并说明理由．
【互动探索】观察法：观察图形，猜测△DMN为等边三角形→已知线段平行→得＝→由平行线分线段成比例推论得MN∥BC→得结论．
【解答】△DMN为等边三角形．理由：∵DE∥AB，且△ABC为等边三角形，∴∠EDC＝∠ABC＝60°，＝，＝，∴＝，∴MN∥BC，∴∠MND＝∠BDN＝60°，∠MND＝∠MDC＝60°，∴△DMN为等边三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；有两个角为60°的三角形是等边三角形．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行线分线段成比例：
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
请完成本课时对应练习！