云南省玉溪市江川区第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

玉溪市江川区第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学学科试卷
考试时间：120分钟 试卷总分 150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；1-10小题为单选题；11-12小题为多选题。
1．在下列选项中，能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
5．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（ ）
A．这辆小型车辆车速的众数的估计值为
B．这辆小型车辆车速的中位数的估计值为
C．这辆小型车辆车速的平均数的估计值为
D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为
6．过点且平行于的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ）
A．10 B．8 C． D．
9．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
12．（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数是偶函数 B．是函数的一个零点
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．函数的定义域是 ．
14．10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是9，10，13，14，15，15，16，17，17，18，那么数据的80%分位数是 .
15．已知直线与直线垂直，则实数= .
16．在四棱锥中，平面平面，且
是边长为2的正三角形，是正方形，则四棱锥外
接球的表面积为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知圆：.
（1）圆的圆心和半径；
（2）已知点，过点作圆的切线，求出切线方程.
18．（12分）已知ΔABC的三个内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，ΔABC的面积为，求，的值.
19. （12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，的三组用户中用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.
20. （12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求直线FC到平面 AEC1的距离；
（2）求平面 AEC1与平面 EFCC1所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）已知点，，以为直径的圆记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
22．（12分）设函数.
（1）若对于一切实数x，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数m的取值范围.
答案
一、选择题
1-5 BAADC 6-10 DCCAB 11、BC 12、BCD
二、填空题
13、 14、 17 15、 0或1 16、
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知圆：.
（1）圆的圆心和半径； （2）已知点，过点作圆的切线，求出切线方程.
【解】（1）由可得，故圆心为，半径为1；
（2）当直线斜率不存在时，方程为，显然与圆相切，当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，根据相切可得圆心到直线的距离等于半径，即，解得，则切线方程为，综上，切线方程为和.
18．（12分）已知ΔABC的三个内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小； （2）若，ΔABC的面积为，求，的值.
【解】（1）依题意：，由正弦定理得，由于，，所以，由于，所以
（2）由余弦定理和三角形的面积公式得：
，即,解得或.
19. （12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，的三组用户中用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.
【解】（1）由得，所以直方图中的值是0.0075. （2）月平均用电量的众数是.因为，
且，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，得，所以月平均用电量的中位数是224.
（3）月平均用电量为的用户有（户），月平均用电量为的用户有（户），月平均用电量在的用户有（户）.抽样方法为分层抽样，在，，中的用户比为，所以在，，中分别抽取3户 2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件，将来自的用户记为，，，
来自的用户记为，，来自的用户记为，在6户中随机抽取2户有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，其中满足条件的有，，，，，，，，，，共11种故参加节目的2户来自不同组的概率.
20. （12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求直线FC到平面 AEC1的距离；
（2）求平面 AEC1与平面 EFCC1所成锐二面角的余弦值.
解：（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，.
∴，，，，.∵.
∴，∴平面，∴点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，∴，∴，取，
则，，∴，又，
∴点到平面的距离为.
（2）设平面的法向量为，则，∴，∴，
取，则，∴，∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）已知点，，以为直径的圆记为圆.
（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
【解】（1）由，，得的中点坐标为，即圆心坐标为，半径，
圆的方程为
（2）由，可得弦心距为当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为2，所以满足题意;当直线的斜率存在时，设直线方程为即.
圆心到直线的距离，解得，直线的方程为
直线的方程为或.
22．（12分）设函数.
（1）若对于一切实数x，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数m的取值范围.
【解】（1），
， 恒成立
综上
(2)
∵ ∴ ∴ ∴，