2021-2022学年度华师版九年级数学上册24.4 解直角三角形教案（3课时）

24.4　解直角三角形
第1课时　解直角三角形
一、基本目标
理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
二、重难点目标
【教学重点】
直角三角形的解法．
【教学难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P111～P113的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．任何一个三角形都有__六__个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出__未知__元素的过程，叫做解直角三角形．
2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
(1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝__90°__；
(2)三边满足__勾股定理__，即a2＋b2＝c2；
(3)边与角关系sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝.
3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，那么BC＝__8__，tan B＝____.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝20，∠B＝35°，解这个三角形．(精确到0.1，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
【互动探索】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素，要求解直角三角形，一般从直角三角形的性质出发，结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题．
【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝55°.
∵BC＝20，∠B＝35°，∴tan 35°＝≈0.7，
解得AC≈14.
cos 35°＝＝≈0.82，
解得AB≈24.4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，解直角三角形有以下基本类型：
基本类型 选择的关系式
已知两边 斜边和一直角边(c、a) b＝；由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A
两直角边(a、b) c＝；由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A
已知边和角 斜边和一锐角(c、∠A) ∠B＝90°－∠A；由sin A＝，求a＝c·sin A；由cos A＝，求b＝c·cos A
一直角边和一锐角(a、∠A) ∠B＝90°－∠A；由tan A＝，求b＝；由sin A＝，求c＝
【例2】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB，河流两岸AC、BD互相平行，河流对岸有两棵树A和C，且A、C之间的距离是60米，他们在D处测得∠BDC＝36°，前行140米后测得∠BPA＝45°，请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米，参考数据：tan 36°≈0.73，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81)
【互动探索】(引发学生思考)已知一边与一角，求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线，构造直角三角形．
【解答】作CH⊥BD，则BH＝AC＝60米，设AB为x米，则CH为x米．
在Rt△ABP中，tan 45°＝1，
∴BP＝x米，
∴HD＝BP＋PD－BH＝x＋140－60＝(x＋80)(米)．
在Rt△CHD中，
∵tan∠CDH＝，∴x＋80＝，
∴x＝(x＋80)tan 36°，∴x≈216.3.
即河流的宽度约为216.3米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题目一般是据题目已知特点选用适当锐角三角函数去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC等于(　B　)
A．45 B．5
C. D．
2．如图，AD⊥CD，∠ABD＝60°，AB＝4 m，∠ACB＝45°，则AC＝__2__m__.
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形．
解：∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∵cos B＝，∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5.∵sin B＝，∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在锐角△ABC中，BC＝a，AC＝b.探究 与之间的关系．
【互动探索】观察几何图形→作垂线，构造直角三角形→表示出sin A、sin B→转化形式得出结论．
【解答】如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H.
∴∠CHB＝∠CHA＝90°.
在Rt△BCH中，sin A＝＝，
∴CH＝b·sin A.
同理可得CH＝a·sin B.
∴b·sin A＝a·sin B.
即＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)添加辅助线，构造两个直角三角形是解题的关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
解直角三角形
请完成本课时对应练习！
第2课时　仰角与俯角
一、基本目标
1．理解仰角、俯角的含义，能准确运用这些概念来解决一些实际问题．
2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
理解仰角和俯角的概念．
【教学难点】
能解与直角三角形有关的实际问题．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P113～P114的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做__俯角__.
2. 如图，下列角中为俯角的是(　C　)
A．∠1 B．∠2
C．∠3 D．∠4
3. 如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为__atan_α__米．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)
【互动探索】(引发学生思考)确定俯角α与∠ADE、 俯角β与∠ACB的关系→解直角三角形．
【解答】根据题意，得∠ACB＝β＝43°24′，∠ADE＝α＝35°12′，DE＝BC＝32.6 m.
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m)．
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m)．
∴DC＝BE＝AB－AE＝30.83－23.00≈7.8(m)．
即两个建筑物的高分别约为30.8 m、7.8 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将题目中的两个俯角分别转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，转化为解直角三角形问题是解题的关键．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为(　D　)
A．6sin 75°米 B．米
C.米 D．6tan 75°米
2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进10 m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，那么建筑物AB的高度是__5__m.
3. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC.
解：由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，∴tan α＝＝＝，∴BD＝米．在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，∴tan β＝＝＝，∴CD＝100米．∴BC＝BD＋CD＝＋100＝(米)，即这栋楼的高度BC是米．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲乙两人分别在相距6米的C、D两处测得B点和A点的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)
【互动探索】分析法：要求AB，先求出AE与BE→解Rt△ADE、Rt△BCE.
【解答】在Rt△ADE中，∠ADE＝65°，DE＝15米，
则tan∠ADE＝，
即tan 65°＝≈2.1，
解得 AE≈31.5米．
在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝21米，
则tan∠BCE＝，即tan 42°＝≈0.9，
解得 BE≈18.9米．
则AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．
即旗杆AB的长大约是13米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE、△CBE，利用AB＝AE－BE可求出答案．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
仰角与俯角
请完成本课时对应练习！
第3课时　坡度与坡角
一、基本目标
1．理解坡度与坡角的概念．
2．会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题．
【教学难点】
理解坡度的概念和有关术语．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P115～P116的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．坡度通常写成1∶__m__的形式．
2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为__1∶__.
3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质，解直角三角形；
(3)得到数学答案；
(4)得到实际问题的答案．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．
【互动探索】(引发学生思考)读懂题意→作垂线，构造直角三角形→解直角三角形，得出结论．
【解答】过点C作CD⊥AD于点F，则
CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.
∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，
∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．
∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．
由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得
α≈32°，β≈22°.
即铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别为32°和22°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝，如果此大坝斜坡的坡角为α，那么α的正切值__0.75__.
2．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为__6__米.
3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与出发地的垂直距离为6 m，则这个坡面的坡度为__3∶4__.
4. 如图是一座人行天桥，天桥的高12米，坡面的坡比为＝1∶1，为了方便行人推车过天桥，市政府决定降低坡度，使新的斜坡的坡角为30°，问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？
解：广告牌M要拆除．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】 如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．
【互动探索】实际问题，转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→利用三角形性质得出结论．
【解答】如图，延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F.
则∠CED＝60°.
∵AB的坡比为1∶，
∴∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝90°.
∵AB＝3米，
∴AE＝ABtan∠ABE＝3×＝米，BE＝2AE＝2米．
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形．
∵AC＝6米，
∴DE＝CE＝AC＋AE＝(6＋)米，
则BD＝DE－BE＝6＋－2＝(6－)(米)，
即浮漂D与河堤下端B之间的距离为(6－)米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题既考查了解直角三角形，也考查了等边三角形的性质，根据题目的已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
坡度与坡角
请完成本课时对应练习！