高三数学参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C C B A B D A
1．A 由题可得 A B，再利用集合的包含关系即求.
由题知 A (C B) = ，得 A BR ，则m 1，故选：A．
2i 2i(1 3i) 3 + i 3 1
2．C z(1+ 3i) = 2i , z = = = = + i ,
1+ 3i (1+ 3i)(1 3i) 2 2 2
3 1
所以复平面内 z 对应的点的坐标为 , 2 2
，故选：C
2
3．C b在 a方向上的投影是 b cos a,b = 2 5 = 10 ，故 C 正确
2
4．B
a b
因为，4 = 3 = 36, 所以a = log4 36,b = log3 36，
1 2 1 2
则 = log36 4, = log36 9，所以则 + = log36 36 =1，故选：B.
a b a b
5．A 当2 x x 时， f (x2 ) f (x1 ) (x2 x1 ) 01 2 恒成立，所以 f (x)在（2，+ ）为增函数.
又因为 f (x + 2)是偶函数，所以， f ( x + 2) = f (x + 2)
1 7 7
即 a = f ( ) = f ( ) ，所以 f (3) f ( ) f (4)，即b a c . 故选：A
2 2 2
n n 1
6．B 因为a1 + a2 + + an = 2 1①，所以a1 + a2 + + an 1 = 2 1(n 2) ②，
①-②得an = 2
n 1(n 2) 1，当n =1时a1 = 2 1=1，满足上式.
a 2 = 22n 2所以 n 1 ，∴ n = 4
n 1
， ∴数列{a
2
n}是以1为首项，4 为公比的等比数列， an = 2 (n 1)
n
∴a2 + a2 2 2
1 4 1 n . 故选：B.
1 2 + a3 + + an = = (4 1)
1 4 3
7．D 令 g(x) = (ex +1) f (x)，则 g ' (x) = ex f (x) + (ex +1) f ' (x) 0,
e+1 e+1
所以 g (x) x在 R上单调递增，不等式 f (x) 可化为 (e +1) f (x) ，
2(ex +1) 2
1 e+1
而 f (1) = ，则 g(1) =（e+1) f (1) = ，即 g(x) g(1) ，
2 2
所以 x 1，即不等式解集为（1，+ ）． 故选：D．
2 5
8. 设 BCD = ,由图可知 tan = , tan( + ) =
x x
3
tan( + ) tan 3
tan = tan ( + ) = = x =
1+ tan( + ) tan 10 10
1+ x +
x2 x
10
由基本不等式知，当 x = ，即 x = 10 时， tan 最大，从而角 最大； 故选 A
x
二、多项选择题
9 10 11 12
CD BD ACD BCD
9. 选择 CD
对于 A，平面 ， 可能相交，A 错误.
对于 B，平面 ， 可能平行或斜交.B 错误。
对于 C，因为 l 且 l ⊥ ，则必有 ⊥ ，C 正确.
对于 D，因为 // ，则必有 l // .D 正确
10.选择 BD
对于 A,当c = 0时，充分性不成立，故错误。
a b
对于 B，由正弦定理 = 知，sin A sin B推出 a>b,大边对大角故 A B，反之
sin A sin B
亦然成立，B 正确。
对于 C，等比数列不能有 0 项，故 C 错误.
对于 D,若 a 0，b = 0时，a // b 成立，但是不存在一个实数 ，使得a = b，故充分性
不成立。存在一个实数 ，使得a = b，则a // b ，必要性成立，故 D 正确。
11.选择 ACD
对于 A ， f (x + ) f (x)，错误
对于 B, f ( + x) = f ( x) ,正确
2 2
6 6
对于 C，令sin x = t， f (t) = t 2t3 , t 1,1 ， f ' (t) =1 6t 2 = 0 时，t1 = , t 2 =
6 6
6 6 6 6 1
所以 f (t)在 1, 和 ,1 递减，在 ( , ) 递增。当 x 0， 时，t 0,6 6 6 6 6 2
1 6
而 ，故当 x 0， 时， f (x) 有增有减，错误。
2 6 6
6 6 6 6 6
对于 D，f (t)在 1, 和 ,1 递减，在 ( , ) 递增，f ( 1) =1 ，错误。
6 6 6 6 9
12 题选 BCD，解析：
x 1 x 10
对于 A，因为h' (x) = e = 0 ，存在 x e =0 使得 ，故h(x) 在 (0, x0 ) 递减，
x x0
x 1 x 1
在区间 (x ,+ )递增，h(x)
x
的最小值为h(x ) = e 0 0
x
0 0 ln +m，当m ln
0 + e 0
2 2 2 2
时，h(x) 不存在零点，A 错误。
对于 B，不等式化为eax ax x ln x = eln x ln x，又因为函数h(x) = e
x x在 (0,+ )上
ln x 1
递增，故同构可得：ax ln x，即a 的最大值，故a 成立，B 正确。
x e
1 1 1
对于 C，可知 A(lnm,m) m
m
， x B(2e 2 ,m) ， AB = 2e 2 lnm，令 (x) = 2e 2 ln x
1
x
' 1 ' 1 1 ' (x) = 2e 2 在 (0,+ )上递增，且 ( ) = 0，当 x (0, ) ， (x) 0，
x 2 2
1 ' 1
当 x ( ,+ )， (x) 0，所以， (x)min = ( ) = 2+ ln 2，C正确
2 2
1
' x ' 1
对于 D，假设存在 y = m满足题意，可知 A(lnm,m) ， m B(2e 2 ,m) ，f (x) = e ，g (x) = x
1
m
' 1
f '(lnm) = elnm = m，g (2e
2 ) =
1 ，因为在 f (x)在 A 处与 g(x) 在 B处的切线平行
m
2e 2
1
1 1
所以有，m = ，即 m 1 2me 2 =1，得m = ，故存在 m 符合题意，D 正确 m
2e 2 2
三、填空题
13、3+ 2 2
14、 y = ex + e（或 ex + y e = 0 ）
1 3 3+ 2 3
15、 + （或 ）
2 3 6
n 1
3 2
2 2,n为奇数
16、（1）46；（2）an = n 2
3 2 2 1,n为偶数
【解析】
1 2 y 2x
13 题分析，由题可知 x + y = (x + y)( + ) = 3+ + 3+ 2 2
x y x y
'
14 题分析， f (x) = e
1 x , f '(0) = e，又 f (0) = e， 所以， f (x) 在 x = 0 处的切线方程
为 y e = e(x 0) ，化简得 y = ex + e
15 题分析， ABC 中， AB = 2 ， AC =1， BC = 3 ，可知其外接圆半径为 1，
2
又因为球半径为 2，可知球心到平面 ABC 的距离为 2 -1 = 3 ，所以球面上的任意一点
P 到平面 ABC 距离的最大值为 2 + 3 ，此时四棱锥 P ABC 的体积最大，
1 3 1 3
VP ABC = (2+ 3) = +
3 2 2 3
16. 分析
an 1 +1,n = 2k
根据数列的规律得到其递推关系为an = ，
2an 1,n = 2k +1
a2k = a2k 1 +1， a2k+1 = 2a2k = 2a2k 1 + 2
得到a2k+1 + 2 = 2(a2k 1 + 2)
k 1 k 1
，所以a2k 1 = 3 2 2，从而a2k = 3 2 1
n 1
3 2
2 2,n为奇数
故，an = n 2
3 2
2 1,n为偶数
四、解答题
17、解： f (x) = sin 2 x + 2sin xcos x + cos2 x + 2cos2 x
= sin 2x + cos 2x + 2
= 2 sin(2x + )+ 2 .................................................3 分
4
当 - + 2k 2x + + 2k ,k Z ,
2 4 2
3
即 - + k x + k ,k Z
8 8
3
f (x)的单调递增区间为 - + k , + k ,k Z. ....................5 分
8 8
当 sin(2x + ) =1时， f (x) = 2+ 2 .......7max 分
4
此时2x + = + 2k , x = + k ,k Z ......9 分
4 2 8
所以 x x x = + k ,k Z 时， f (x) 取最大值2 + 2 ......10 分.
8
18、（1） an+1 = 2an +1， an+1 +1= 2(an +1)
由等比数列的定义可知， an +1 是公比为 2 的等比数列 （3 分）
n
因为首项a1 +1= 2，公比为 2，所以 an +1= 2
n
所以an = 2 1 （6 分）
（2）令10 2n 1 2021，因为n N+ ，所以n可取 4，5，6，7，8，9，10 （9）
所以，各项的和 S = a4 + a5 + + a9 + a10
=（24 -1）+（25 -1）+ +（210 -1）
=2025 （12 分）
ax 1
19、（1） f (x)
'
定义域为（0，+ ）， f (x) = ，a 0 ......1 分
x2
' 1 ' 1
由 f (x) 0,得x , f (x) 0,得0 x ......2 分
a a
1 1
所以函数 f (x) 的单调递增区间为（ ,+ ），单调递减区间为（0，）......3 分
a a
1 1 1
当 x = 时， f (x) 取得极小值 f (x) = f ( ) = a ln + a = a a ln a，无极大值......5 分
a a a
1 1
(2)由函数 f (x) 的单调递增区间为（ ,+ ），单调递减区间为（0，）知，分类讨论得：
a a
1
1 当0 1,即a 1时，函数 f (x) 在 1，e 上为增函数，故函数 f (x) 的最小值为
a
2
f (1) =1，显然1 ，故不满足条件；......7 分
e
1 1 1 1 2 当1 e，即 a 1时，函数 f (x) 在 1， 上为减函数，在 ,e 上为增函数，a e a a
1 1
故函数 f (x) 的最小值为 f ( ) = a ln + a = a a ln a，
a a
1 1
令 g(a) = a a ln a,a ' ,1 ，其导函数 g (a) = ln a 0，可知 g(a) 在 ,1 单调递增
e
e
2 2 1
因为 f (x)min = ，有a a ln a = ，可得a = 符合题意 10
e e e
分
1 13 当 e，即0 a 时，函数 f (x) 在 1，e 上为减函数，故函数 f (x) 的最小值为
a e
1 1 1 2 1
f (e) = a ln e+ = a + ，由a + = ，得a = 不满足条件
e e e e e
1
综上所述：存在这样的a = 符合题意.......12 分.
e
an+1
20、（1） bn+1 bn =1,bn = log q = = 33 an+1，可知 （2 分）
an
又因为a1 + a2 = 4，得a1 =1
a = 3n 1故， ，bn n = n （4）
(2 8n)3n 1 3n 1 3n+1
（2）当n为奇数时，Cn = = （6 分）
n(n+ 2) n n+ 2
前 2n项中所有的奇数项的和为：
30 32 32 34 32n 2 32n 32n 9n
S奇 = - + - + + =1 =1 （7 分）
1 3 3 5 2n 1 2n +1 2n +1 2n +1
n 1
当 n为偶数时，Cn = n 3
记 S偶 = 2 3+ 4 3
2 + 6 33 + + 2n 32n 1
3S = 2 32偶 + 4 3
3 + + 2(n 1) 32n 1 + 2n 32n
两式相减，化简得
24n 3 3
S偶 = 9
n + （11 分）
32 32
n 24n 3 1 35
故，前2n项和 S2n = S奇 + S偶 = 9 ( )+ （12 分）
32 2n+1 32
1 3 10 10
21、(1) tan = , cos = ,sin = ......1 分
3 10 10
AB2 + AC 2 BC2
在三角形 ABC 中，cos =
2 AB AC
即解出BC 2 = 90 ，BC = 3 10 海里......3 分
3 10
v = = 9 10
1 海里/小时....... 4 分
3
AB2 + BC2 AC 2 2 5 5
（2）易知cosB = = , sin B = ......5 分
2 AB BC 5 5
10
sin AFC = sin(45 B) = ...............6 分
10
AF AB
在三角形 ABF 中， = ,求得 AF = 30海里......7 分
sin B sin AFC
EF = AF AE =10 海里......8 分
EG 10
过 E 作 EG 垂直于 BF 交于 G，sin EFG = = ,EG= 10 5 ......10 分
EF 10
小岛受台风影响。
2 25-10 6 1
小岛受台风影响时间记作 t 小时,t= = .......11 分
9 10 9 4
所以小岛受台风影响时间超过 15 分钟。......12 分。
22、（1）当 x ,0 ， f (x) 0，无零点......1 分
2
1
当 x ( , ) ， f ' (x) = cos x x sin x，因为当 x ( , )， tan x
2 2 x
所以 f ' (x) = cos x x sin x 0，则 f (x) 在 x ( , )上为减函数
2
3 3
f ( ) = 0, f ( ) = 0， f (x) 在此区间有一个零点.
2 2 2
故 f (x) 在 (- ，0)有一个零点......4 分
2sin x xcos x
（2）由 g(x) f (x) 得：分离的a
x
2sin x xcos x 2xcos x 2sin x + x2 sin x
令 h(x) = ， x (0, )，h' (x) = ......5 分
x x2
令m(x) = 2xcos x 2sin x + x2 sin x，则m' (x) = x2 cos x
2
在区间（0，），m' (x) = x cos x 0 ,所以m(x)在（0，）递增.m(x) m(0) =1
2 2
h' (x) 0,h(x) 在（0，）递增......6 分
2
在区间 ， ,m' (x) = x
2 cos x 0 ,所以m(x)在 ， 递减.
2 2
2
又因为m( ) = 2 0,m( ) = 2 ，故在区间 ， 上存在一个 x0 使得m(x0 ) = 0
2 4 2
2
即m(x0 ) = 2x0 cos x0 2sin x0 + x0 sin x = 0，......80 分
sin x
同时除以 x 得：2cos x0 + x0 sin x = 2
0
0 0 .......9 分
x0
所以m(x)在区间 ，x0 大于零，在区间（x0 , ）上小于零.
2
故 h(x) 在区间 ，x0 递增，在区间（x0 , ）上递减.
2
所以h(x) 在（0，x0）递增，在区间（x0 , ）上递减.
2sin x
h(x) 0max = h(x0 ) = cos x0 = cos x0 + x0 sin x0 ， x0 ( , ) ......10 分 x0 2
对于函数 (x) = cos x + x sin x， x ( , ) ， ' (x) = xcos x 0
2
所以 (x) = cos x + x sin x在 x ( , ) 递减， (x) ( ) = ......11 分
2 2 2
故 h(x)max ，所以a 成立.......12 分
2 2几密★启用前
湖湘教育三新探索协作体2021年11月期中联考试卷
高三数学
级
姓
准考证号
本试卷共4页,22题,全卷满分:150分,考试用时:120分钟
注意事项
答题前,先将
姓名、准考
题卷
并将准考
题卡上的指定位置
2.选择题的作答:每小题选出答業
2B铅笔把答题卡上札
案
写在试题卷、草稿纸和答题
答题区域均无効
3.非选择题
用签字笔直接答在答题卡上对
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答題区域均无
本试题卷
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求
知集合A
取值范围为
2.若复数z满足z(+√3i)
在复平面内z对应的点的坐标是
3)
),则b在a方向上的投影是
知f(x+2)是偶函数
x2时,[f(x2)-f(x)](
0恒成立,设
b=f(3),c=f(4),则a,b,c的大小关系为
6.已知数列{
知f(x)是定义在R上的函数,f(x)是f(x)的导函数,满足:ef(x)+(e+1)f(x)
不等式f(x)
解集
数学试题卷第1页共4页
江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林,是稀有的书法石刻宝库,保留至
方摩崖
刻
唐中兴颂》,因
文绝”,颜真
字绝”,摩崖石刻的“石绝”,誉称“摩崖三绝”该碑高3米,宽
32米,碑身
有一身高为180cm的游客
观赏它(该
客头顶T到眼睛C的距离为10cm),设该游客离墙聞
米,视角为.为使观
视角θ最大,x应为
多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分
知直线
β,则下列说法中正确的
则必有
B
必
有
0.下列说法中正确的是
是
bc2”的充分不必要条件
在
的充要条
数列”是
的充要条件
存在
数λ,使
必要不充分
知函数f(x
的最小正周期为
f(x)的图像关于直线
对称
D.f(x)的最大值为
下列说法正确的是
对于V
实数a的最小值为
若f(x),g(x)图
线y=m分别交于A,B两点
的最小值为2
与f(x),g(x)的图像分别交
两点,使得f(x)在A处的切线与
处的切线
数学试题卷第2页共4页
填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.第16题第一空2分,第二空3分
最小值为
4.曲线f(x)=e
(0)处的切线方程为
知A,B,C是半径为2的球O的球面上的三个点
球面上的动点,则三棱
ABC体积的最大值
知数列{an}为
第9项为
数列{an}的通
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
7.(10分
)的单调递增区
2)求f(x)的最大值及相
集
分
数列{an}满
是等比数列,并求{an}的通项公
)求数
落入区间(10.2021)的所有项的和
(12分)
(1)求函数f(x)的极值
否
数a,使得函数f(x)在区
的最小值为
存在,求
若不存在,请说明理
(12分)
知{an}为等比数
数列{bn}满
(1)求{an}和{bn}的通项
奇数
(2)对任意的正整数n,设
{cn}的前2n项的和
ab,n为偶数
数学试题卷第3页共4页
