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22.1.3：二次函数的图像和性质（3）--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．抛物线y＝－3（x＋2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
【答案】A
2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．最低点是
C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
【详解】解：中，-1＜0，
∴开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点，
可以由向右平移2个单位得到，
当时，y随x的增大而增大，
∴说法正确的是D，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．
3．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出二次函数抛物线y=a（x+1）2（a＞0）的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：∵二次函数y=a（x+1）2中a＞0，
∴开口向上，对称轴为x=-1，
∵-3＜-2＜-1，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．顶点为（-2,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由开口方向、形状与函数的图象相同，即可得到k的值，然后根据顶点坐标，即可得到正确的解析式.
【详解】解：由开口方向、形状与函数的图象相同，
∴，
∵顶点为（-2,0），
∴抛物线的表达式为.
故选择：C.
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握性质特征.
5．下列二次函数中，对称轴为直线x = 1的是（ ）
A．y=-x2+1 B．y= (x–1) 2 C．y= (x+1) 2 D．y =-x2-1
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【详解】解：A、y=-x2+1的对称轴为x=0，所以选项A错误；
B、y= (x–1) 2的对称轴为x=1，所以选项B正确；
C、y= (x+1) 2的对称轴为x=﹣1，所以选项C错误；
D、y =-x2-1对称轴为x=0，所以选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=﹣求出对称轴．
6．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴函数顶点坐标M为（h，0），
设点M到直线l的距离为a，
则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，
即A（h﹣，0），B（h+，0），
∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，
解得：a＝，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
．
7．抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是( )
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限
【答案】A
【解析】
抛物线y=-3(x+1)2开口向下，顶点坐标为（-1，0），所以不经过第一、二象限.
故选A.
8．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】由抛物线的顶点式可直接看出对称轴是x=h.
【详解】解：∵抛物线的顶点式是
∴对称轴是x=1.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的性质. 掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，定点坐标为.
9．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．最高点是（2，0）
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、该二次函数开口向下，故本项说法错误；
B、二次函数开口向下，在处取得最大值，所以本项正确；
C、该二次函数的对称轴是，故本项说法错误；
D、当时y随x的增大而减小，故本项说法错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图像的性质；熟知二次函数图像的性质与表达式之间的关系式解题的关键．
10．已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=2（x-1）2满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质,利用数形结合思想来解决问题会事半功倍．
11．已知A(，y1），B(1，y2），C(4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出y1、y2、y3的大小关系．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，在对称轴左侧，y随x的增大而增大
∴C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），
∵﹣＜0＜1＜2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查比较函数值的大小．解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越大．
12．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】观察二次函数的图像，从而可得答案．
【详解】解；如图，由图像可得：当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误；
当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；
当时，y值随x值的增大而减少，故C错误；
当时，y值随x值的增大而减小，故D正确；
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，掌握利用二次函数的图像探究二次函数的图像是解题的关键．
13．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点坐标相同
D．当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大
【答案】A
【分析】根据的图像与性质即可求解．
【详解】的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小；
的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而增大．
故选A．
【点评】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质．
14．在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点m，n）和（m+3，n）代入得到，解一元二次方程得出m的值，从而得出n的值．
【详解】解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到：
整理得：
解得：
把点代入可得：
解得：
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是抛物线上点的坐标特征，根据点在抛物线上代入求出m的值是解此题的关键．
二、填空题
15．抛物线的图象相当于把抛物线的图象______（k＞0）或______（k＜0）平移______个单位．
【答案】向上 向下 |k|
16．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x＝0时，y有最____值为k，当x＜0时，y随x的增大而___；当x＞0时，y随x的增大而______．
当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x＝0时，y有最____值为k，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____．
【答案】向上 y轴 （0，k） 小 减小 增大 向下 y轴 （0，k） 大 增大 减小
17．通过_____法画出和的图象
通过图象可知：
的开口方向_______ ，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
【答案】描点 向下 x＝－1 （－1，0） 向上 x＝1 （1，0）
18．抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向____平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向____平移|h|个单位就得到抛物线
【答案】右 左
19．抛物线的图象相当于把抛物线的图象____（h＞0）或____（h＜0）平移_____个单位．
【答案】向右 向左 |h|
20．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而______．
当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．
【答案】向上 x＝h （h，0） 小 减小 增大 向下 x＝h （h，0） 大 增大 减小
21．抛物线可以看作由向________平移________个单位得到．
【答案】左 2
【分析】利用函数平移的规律“上加下减，左加右减”，对比两个函数解析式，即可得解.
【详解】因为抛物线向左平移2个单位，得到抛物线为，
所以答案为：左；2
【点评】本题考查函数平移，熟练掌握函数平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键.
22．抛物线y＝3（x＋2）2的顶点坐标为________ ．
【答案】（－2，0）
23．抛物线y＝3（x＋2）2 当________，y随x增大而增大；当________，y随x增大而减小．
【答案】x＞2 x＜2
24．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
【答案】．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．
【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，
设函数的解析式为；
该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
当x1时，y随x的增大而减小；
所以取
满足上述所有性质的二次函数可以是：，
故答案为：，（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
25．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，
∴此函数开口向上，
∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x＝m≥1．
故答案为：m≥1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
26．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数图象上的两点，若，则y1_____y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
【分析】先通过的取值确定开口方向，再利用对称轴确定其增减性，即可得解．
【详解】解：∵二次函数的解析式为
∴
∴抛物线开口向上
∵图象的对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大
∵
∴．
故答案是：
【点评】本题考查了二次函数图象性质，能利用图象性质确定抛物线的开口情况、增减性是解题的关键．
27．已知二次函数，如果，那么随的增大而__________．
【答案】增大
【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．
【详解】∵y=2（x+2）2，
∴抛物线开口向上，且对称轴为x=-2，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当x＞-2时，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
28．写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式_______．
【答案】
【分析】开口向上，顶点在x轴上的函数是（a>0）的形式，举一例即可．
【详解】解：开口向上，即，
顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，
例如．（答案不唯一）
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式，顶点坐标是(，)，此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系．
29．已知函数在自变量的范围内，相应的函数最小值为0，则的取值范围是________．
【答案】1≤m≤3
【分析】画出函数的图象，根据函数的图象即可求得．
【详解】解：画出函数y= 的图象如图：
在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是1≤m≤3，
故答案为1≤m≤3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，画出函数的图象，根据图象求得m的取值是解题的关键．
30．函数，当y=0时，x=_________；当时，y随x的增大而_________（填写“增大”或“减小”）．
【答案】－1 增大
【分析】把y=0代入二次函数的解析式计算即可；根据二次函数的性质解答.
【详解】解：对函数，当y=0时，，解得：；
∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线的开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大.
故答案为：－1，增大.
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度不大，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是关键.
31．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
【答案】①
【分析】根据二次函数图像的特点得出答案
【详解】①因为y=3（x﹣1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.
【点评】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.
三、解答题
32．已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
【答案】当x＜2时，y随x的增大而增大．
【详解】试题分析：根据当x=2时函数有最大值，可得h=2，再把点（1，﹣3）代入函数解析式求得a值，即可求得函数解析式，根据函数的性质直接写出函数y随x的增大而增大时x的取值范围即可．
试题解析：
根据题意得y=a（x﹣2）2，
把（1，﹣3）代入得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2，
因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
33．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
【答案】
【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0），
于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到
（m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=PC=（m-2），
∵PB=n=，
∴（m-2）=，
解得m=，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=，BP=，
∴S△ABC=．
【点评】本题考查二次函数的性质.
34．对于二次函数．
它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；
（2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．
【详解】将的图象向左平移个单位可以得到的图象，
∵，
∴抛物线开口向下，
它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是；
∵，抛物线开口向下，
∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
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22.1.3：二次函数的图像和性质（3）--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．抛物线y＝－3（x＋2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．最低点是
C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大
3．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．顶点为（-2,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列二次函数中，对称轴为直线x = 1的是（ ）
A．y=-x2+1 B．y= (x–1) 2 C．y= (x+1) 2 D．y =-x2-1
6．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是( )
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限
8．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
9．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．最高点是（2，0）
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．当x＞0时，y随x的增大而减小
10．已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知A(，y1），B(1，y2），C(4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
12．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小
13．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点坐标相同
D．当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大
14．在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．抛物线的图象相当于把抛物线的图象______（k＞0）或______（k＜0）平移______个单位．
16．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x＝0时，y有最____值为k，当x＜0时，y随x的增大而___；当x＞0时，y随x的增大而______．
当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x＝0时，y有最____值为k，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____．
17．通过_____法画出和的图象
通过图象可知：
的开口方向_______ ，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
18．抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向____平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向____平移|h|个单位就得到抛物线
19．抛物线的图象相当于把抛物线的图象____（h＞0）或____（h＜0）平移_____个单位．
20．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而______．
当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．
21．抛物线可以看作由向________平移________个单位得到．
22．抛物线y＝3（x＋2）2的顶点坐标为________ ．
23．抛物线y＝3（x＋2）2 当________，y随x增大而增大；当________，y随x增大而减小．
24．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
25．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
26．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数图象上的两点，若，则y1_____y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
27．已知二次函数，如果，那么随的增大而__________．
28．写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式_______．
29．已知函数在自变量的范围内，相应的函数最小值为0，则的取值范围是________．
30．函数，当y=0时，x=_________；当时，y随x的增大而_________（填写“增大”或“减小”）．
31．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
三、解答题
32．已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
33．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
34．对于二次函数．
它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
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