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22.3.1：二次函数与几何问题--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（ ）
A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m
【答案】A
【详解】试题分析：设长为x，则宽为，S=，即S=，
要使做成的窗框的透光面积最大，则x=，于是宽为=1m，
所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m，故选A．
2．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
【答案】D
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．
【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故选D．
3．如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
4．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为，面积为，则y与x的函数图像大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】设矩形的长为am，宽为bm，根据矩形的性质可得a+b=10，根据勾股定理可得a、b、x的关系，从而得出y与x的函数关系式，然后问题可求解．
【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，由题意得：，
∵菜园的对角线长为，
∴，
∴a2+（10-a）2=x2，
整理，得2a2-20a+100=x2，
易得≤x＜10，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴102=x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x=时，y=25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口向下的抛物线；
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=x2-70x+1200 B．y=x2-140x+4800 C．y=4x2-280x+4800 D．y=4800-4x2
【答案】C
【解析】
【分析】利用现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，进而表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．
【详解】由题意可得：y=（80-2x）（60-2x）=4x2-280x+4800．
故选C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长是解题关键．
6．如图所示，点P是边长为1的正方形对角线上一动点（P与点A、C不重合），点E在上，且，设，的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于，若要求的面积，则需要求出，的值，利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出，的值．再利用三角形的面积公式得到与的关系式，此时还要考虑到自变量的取值范围和的取值范围．
【详解】解：过点作于，
，
，
正方形的边长是1，
，
，，
，
，
，
即，
是的二次函数，
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式，熟悉相关性质是解题的关键．
7．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得正六边形的内角和，从而可知阴影部分的面积等于两个半径为x的圆面积，从而得到y与x的函数关系式．
【详解】∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
∴y==2πx2（0＜x≤5）．
当x=5时，y=2π×25=50π．
故选A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
二、填空题
8．当a＞0时，的开口方向________顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最小值y＝________
【答案】向上 （，） x＝ 减小 增大
9．当a＜0时，的开口方向 _______顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最大值y＝________
【答案】向下 （，） x＝ 增大 减小
10．一般抛物线 （a≠0） 的顶点是最低（高） 点，当x＝时，二次函数 有最小（大） 值y＝__________．
【答案】
11．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．当a是多少时，场地的面积S最大，最大面积是多少？
解：
根据题意列方程：_________
整理后得： （0＜a＜30），
当a＝＝________时，S＝＝_________m2
当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，且最大值为225m2
【答案】S＝a（30－a） 15 225
12．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇宽门的长方形花圃．设花圃宽为，面积为，则与的函数表达式为________．
【答案】
【分析】根据已知条件得到花圃的长为（24-2x+t）m，宽为，根据长方形的面积公式即可得到结论.
【详解】解：根据题意可得：花圃的长为（24-2x+t）m，宽为，
则面积为=x（24-2x+t）=；
故答案为.
【点评】本题关键是用含x的代数式表示花圃的长，门的宽度容易漏加，需要注意.
13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．
【答案】4
【分析】设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PM=，根据三角形面积公式可得面积关于OQ的二次函数，配方后即可求解．
【详解】解：设OP=x，则OQ=8-x，
过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，
∵
∴
∴
∵
∴函数图象开口向下，有最大值，为4，
故当OP=4时，花坛的面积最大．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用面积法求出二次函数关系式是解答此题的关键．
14．如图，已知在边长为6的正方形中，为的中点，点在边上，且，连接，是上的一动点，过点作，，垂足分别为，，则矩形面积的最大值是______．
【答案】24
【分析】以FE为x轴，以FC为y轴，先建立平面直角坐标系，求出A B的解析式为，设P（a，），用含a的式子表示出PM，PN，根据矩形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：以FE为x轴，以FC为y轴，建立平面直角坐标系，
∵边长为6的正方形中，为的中点，，
∴A（-3，0），B（0，-2），C（0，-6），E（-6，0），
设A B的解析式为，则
，解得，
∴（），
设P（a，）（），则PM=6+a，PN=，
∴，
∴当a=0时，矩形面积的最大值是24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了二次函数的应用问题，用待定系数法求一次函数的解析式，矩形的面积，正方形的性质等知识点，能灵活运用知识点是解此题的关键．
15．用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm2．
【答案】36
【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为＝（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设围成矩形的长为xcm，则宽为 ＝（12﹣x） cm，
设围成矩形的面积为Scm2，
由题意得：
S＝x（12﹣x）
＝﹣x2+12x
＝﹣（x﹣6）2+36，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2．
故答案为：36．
【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
16．用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于____时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．
【答案】2
【分析】设出矩形窗户的透光面积为平方米，窗户的高为米，则窗户的宽为米，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值．
【详解】解：设矩形窗户的透光面积为平方米，窗户的高为米，则窗户的宽为米，
由此得出，
整理得，
因为，抛物线开口向下，取得最大值，最大值为6；
故答案为2．
【点评】此题主要考查利用二次函数求实际问题的最大值与最小值．解题关键是根据图形得出透光面积为平方米与窗户的高为米的函数关系式．
三、解答题
17．某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）．
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为100m2，求的值；
（3）当为多少m时，这个种植园的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1），；（2）10；（3）时，这个种植园的面积的最大值，最大面积为112.5m2
【分析】（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=（30-2x）x；
（2）根据“种植园的面积为100m2”列出一元二次方程，解之可得；
（3）根据二次函数的最值问题，即可求得这个种植园的面积最大值．
【详解】解：（1）根据题意得：，
∵，
∴
（2）由题意得：，
解得，，
∵，
∴时，这个种植园的面积为100．
（3）∵，，函数有最大值，
∴当时，这个种植园的面积的最大值，最大面积为．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用问题，解决本题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．
【分析】（1）根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式；根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由（1）中的函数关系可知S和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．
【详解】解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，
整理，得3x+4y＝5.4，
∴y＝﹣0.75x+1.35，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，
由题意，得，
解得1≤x≤1.3，
即x的取值范围是1≤x≤1.3；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，
由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，
配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，
∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，
∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，
∵1≤x≤1.3，
∴当x＝1时，S有最大值，
S最大＝1.2，
答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．
【点评】本题考查的是长方形的面积公式及二次函数的最值问题，求出S与x的关系式是解答本题的关键．
19．如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
【答案】（1）这个工艺盒的体积是5400cm3；（2）当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．
【分析】（1）先根据已知条件求得正方体的底面边长FG＝GN＝x，MN＝GM＝2x，再利用CD＝120cm，求出x，最后求正方体的体积即可；
（2）先利用已知表示出工艺盒的侧面面积，进而利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，
由勾股定理可得：MG＝GN＝x，MN＝2x
∵正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120
∴x+2x+x＝120,解得：x＝30，
∴正方体的底面边长a＝30，
∴V＝a3＝＝5400（cm3）；
答：这个工艺盒的体积是5400cm3；
（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a＝x，h＝＝（60﹣x），
∴S＝4ah＝4x （60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，
∵0＜x＜60，
∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，将实际问题转化成函数问题是解答本题的关键．
20．脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定修建一个矩形猪舍．如图所示，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
（2）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍的面积为；（2）所围矩形猪舍的长为，宽为时，面积最大，最大面积是．
【分析】（1）设，则，根据题意列式即可；
（2）设，所围矩形猪圈的面积为，列出二次函数计算即可；
【详解】解：（1）设，则．
根据题意可得：，
解得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍的面积为．
（2）设，所围矩形猪圈的面积为．
，
．
当，时，．
答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，面积最大，最大面积是．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
21．如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
【答案】（1）y＝2x2﹣42x+160；（2）竖甬道的宽度为1米．
【分析】（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，即可写出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）把 代入函数关系式，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，
依题意得：y＝（16﹣x）（10﹣2x）＝2x2﹣42x+160．
（2）依题意得：2x2﹣42x+160＝120，
整理得：x2﹣21x+20＝0，
解得：x1＝1，x2＝20．
当x＝1时，10﹣2x＝10﹣2×1＝8＞0，符合题意；
当x＝20时，10﹣2x＝10﹣2×20＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：竖甬道的宽度为1米．
【点评】本题主要考查了列函数关系式和解一元二次方程，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
（1）若花园的面积为，求的值；
（2）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【答案】（1）11或17；（2）192平方米
【分析】（1）根据题意得出长×宽=187，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28-x）m，
∴x（28-x）=187，
解得：x1=11，x2=17，
答：x的值为11m或17m；
（2）∵AB=xm，
∴BC=28-x，
∴S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，
∵28-x≥16，x≥6
∴6≤x≤12，
∴当x=12时，S取到最大值为：S=-（12-14）2+196=192，
答：花园面积S的最大值为192平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；
（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）①；②饲养场的宽为11米；（2）饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
【分析】（1）①根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度．
②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可．
（2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值．
【详解】解：（1）①∵饲养场BDEF是一个“日”形，
∴四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形．
∴DE=BF，DB=GH=EF．
∵EF=x，
∴DB=GH=EF=x．
又∵AB=3，
∴．
∴．
∴．
故答案为：（）．
②∵要求所围成的饲养场的面积为66平方米，
∴．
∴．
解得，，
∵点在线段上，且BC=9，
∴，即．
解得．
∴x=11，即饲养场的宽为11米．
答：饲养场的宽为11米．
（2）设饲养场的面积为，的长为米．
①当点在线段上时，
根据（1）可得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，且当时，随的增大而减小．
∵当点在线段上时，需满足，
∴时，有最大值，最大值为（平方米）．
此时，满足点F在线段BC上．
②当点在线段的延长线上时，设DE为y米，
由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，，
∵BC=9，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴．
∴．
∵，
∴当时，有最大值，最大值为（平方米）．
此时，满足点F在线段BC的延长线上．
∵，
∴饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义．
24．小明的爸爸想在自家院子里用长为12米的篱笆围成一个矩形小花园，爸爸问小明，矩形的相邻两边长分别设计为多少米时小花园面积最大（不考虑接缝）？小明利用学习的《函数及其图象》知识探究如下，请将他的探究过程补充完整．
（1）（建立函数模型）由矩形的周长为12，设它的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为______，其中自变量的取值范围是______；
（2）（画出函数图象）
①与的几组对应值列表如下：
… 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 …
… 2.75 5 6.75 8 8.75 9 8.75 8 5 2.75 …
其中______；
②根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中已描出了以部分对应值为坐标的点，请你画出该函数的大致图象；
（3）（观察图象解决问题）
①写出该函数的一条性质：______；
②当______时，矩形小花园的面积最大．
【答案】（1），；（2）①6.75；②见解析；（3）①当时，随的增大而增大；②3
【分析】（1）根据题意和矩形的面积表示方法即可求得．
（2）①当x=4.5时，代入表达式即可求得．②用平滑的曲线把每个点连起来即可．
（3）①由图像可知当x＜3时的增减性．②由图像可知面积最大时x的取值．
【详解】解：（1），．
（2）①6.75．
②函数图象如图所示：
（3）①当时，随的增大而增大；
②3．
【点评】此题考查了二次函数应用题表达式的求法，二次函数图像和性质的关系．解题的关键是熟练掌握二次函数表达式的求法，二次函数图像和性质的关系．
25．南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的小型农场的面积为9平方米，求的长；
（2）的长为多少米时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）①；②3米；（2）当米时，最大为平方米
【分析】（1）①根据题意用篱笆总长度为11米，减去DF、GH、CE的长度，即可求得EF的长度；
②小型农场形状为矩形，面积，解出x的值即可；
（2）设小型农场的面积为S，求出关于EF的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解（1）①
②
，解得，
∵点在线段上，，
舍去，．
（2）当点在线段上时，即，时
，∴当时，最大为9．
当点在线段的延长线上时，
即时，
当时，最大为．
∴综上所述，当时，最大为．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
26．某公司承接项市政工程，制作一面景观墙，其形状是边长为9米的正方形，设计图案如下所示（四周阴影部分是四个全等的直角三角形，铺设绿植．中间是边长为整数的正方形，采用新能源涂料），两种材料单价如下表．设长为x米．
材料 绿植 新能源涂料
价格（元平方米） 100 200
（1）用含x的代数式表示使用新能源涂料的面积．
（2）该公司准备11040元用于采购上述两种材料，请你判断资金是否足够，并说明理由．
（3）为了推广环保施工，政府对新能源涂料提供每平方米m元的补贴，使得该公司投入11040元足以顺利完成材料采购，则m至少为_______元．（直接写出答案）
【答案】（1）；（2）不够，理由见解析；（3）40
【分析】（1）利用x表示各边长，利用勾股定理得到，即可得出结果；
（2）求出总费用为，利用二次函数的性质求出EF最小值为7时，总费用最小，从而得到，代入二次函数表达式求出总费用的最小值，再比较即可；
（3）根据（2）中结果得到不等式，解之即可．
【详解】解：（1）∵四个阴影部分直角三角形全等，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴正方形EFGH面积，
故使用新能源涂料的面积为．
（2）铺设绿植面积为：，
∴铺设绿植费用为：，
新能源涂料费用为：，
∴总费用为：，
关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，函数值随增大而增大，当时，函数值随增大而减小，
当时，，
又，为整数，
∴EF最小值为7，即EF取最小值时，总费用最小，
∴，
即，
∴，
∴总费用最少为，
故资金11040不够．
（3）由（2）可知时使用资金最少，为13000元，
∴，
∴，
故至少为40．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，列出函数表达式，注意题中正方形边长为整数．
27．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB的长为x米，矩形绿化带的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）平方米
【分析】（1）由栅栏总长为36米，的长为米，可得米，根据矩形的面积公式可得与之间的函数关系式；由墙长10米并直接写出的取值范围；
（2）将与之间的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围，可得答案．
【详解】解：（1）栅栏总长为36米，的长为米，
米，
，
由题意可得：，解得：，
；
（2）
，
，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
又，
当时，有最大值，其最大值为．
围成矩形绿化带面积的最大值为平方米．
【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．某小区要用篱笆围成一个四边形花坛．花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中，且设AB边的长为x米，四边形ABCD面积为S平方米．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x是多少时，四边形ABCD面积S最大？最大面积是多少？
参考公式：当时，二次函数有最大（小）值
【答案】（1）S=-2x2+18x；（2）当x=4.5米时，四边形ABCD面积S最大，其值为40.5平方米．
【分析】（1）设AB边的长为x米，则BC=2x，CD=18-3x，则S=（x+18-3x）×2x=-2x2+18x，即可求解；
（2）S=-2x2+18x，因为-2＜0，故S有最大值，即可求解．
【详解】解：（1）∵AB边的长为x米，则BC=2x，CD=18-3x，
则S=（x+18-3x）×2x=-2x2+18x，
（2）∵S=-2x2+18x，-2＜0，
故S有最大值，当x=米时，S的最大值为： 平方米．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大面积的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
29．如图，某小区有块长为(2a+b)米，宽为(2a－b)米的长方形地块，角上有4个边长为(a一b)米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，绿化的总面积为S，其中a>b．
（1）用含有a和b的式子表示S：____________．(结果用最简形式表示)
（2）若a+b=20且=1，求S的值．
（3）若a+b=20，则当a，b为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
【答案】（1）平方米；（2）475平方米；（3）当时，，S有最大值，最大值是平方米．
【分析】（1）根据题意得出绿化的总面积是（2a+b）（2a-b）-4（a-b）2，再进行化简即可；
（2）根据条件求出a，b的值，代入求值即可；
（3）把变形为，代入进行配方求解即可．
【详解】解：（1）绿化的总面积是S=（2a+b）（2a-b）-4（a-b）2
=4a2-b2-4a2+8ab-4b2
=（）平方米；
故答案为：平方米；
（2）∵
∴．
解方程组，解得
则S=－5×52＋8×15×5=475．
（3）∵，
∴
∴
当时，，S有最大值，最大值是．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和列代数式，解二元一次方程组以及配方的应用等知识，能灵活运用相关知识是解此题的关键．
30．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10m）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为24m，设AB的长为xm，矩形绿化带的面积为ym2．
（1）求y关于自变量x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD面积y的最大值；
（3）若要求矩形绿化带ABCD的面积不少于45m2，请直接写出AB长的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣3x2+24x（≤x＜8）；（2） ；（3）m≤AB≤5m．
【分析】（1）由栅栏总长为24m，AB的长为xm，可得BC＝（24﹣3x）m，按照矩形的面积公式可得y关于x的函数关系式，由墙长10m及0＜24﹣3x≤10，可得x的取值范围；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）先求出矩形绿化带ABCD的面积等于45m2时的x值，并根据自变量的取值范围作出取舍，然后根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）∵栅栏总长为24m，AB的长为xm，
∴BC＝（24﹣3x）m，
∴y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
由题意可得：0＜24﹣3x≤10，
解得：≤x＜8，
∴y关于自变量x的函数关系式为y＝﹣3x2+24x（≤x＜8）；
（2）y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，对称轴为x＝4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝时，y有最大值，y最大值＝．
∴围成矩形绿化带ABCD面积y的最大值为；
（3）当矩形绿化带ABCD的面积等于45m2时，有：
45＝﹣3x2+24x，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵≤x＜8，
∴x＝3舍去，
∴x＝5，即当x＝5时，矩形绿化带ABCD的面积等于45m2．
∵y＝﹣3x2+24x的对称轴为x＝4，图象为开口向下的抛物线，
∴矩形绿化带ABCD的面积不少于45m2时，m≤AB≤5m．
【点评】本题考查了二次函数在面积问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
31．如图，为美化环境，某校计划在一块长为60m，宽40m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为xm，花圃的面积为S，
（1）求S与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求此时通道的宽．
【答案】（1）；（2）5米
【分析】（1）先用含x的式子先表示出花圃的长和宽后，再利用其矩形面积公式即可列出函数关系式；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
【详解】解（1）S=(40-2x)(60-2x)=4x2-200x+2400
∵40-2x＞0；60-2x＞0；x＞0
∴ 0 ﹤x﹤20
（2）由题意得：40×60-S=40×60
40×60-（4x2-200x+2400）=900
解得 x1=5 x2=45
∵0 ﹤x﹤20，∴x2=45 （舍去）
答：通道宽为5m
【点评】本题考查了列二次函数以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
32．某校一面墙（长度大于32m）前有一块空地，校方准备用长32m的栅栏（）围成一个一面靠墙的长方形花围，再将长方形分割成六块（如图所示），已知，，，设．
（1）用含的代数式表示：__________m；___________m．
（2）当长方形的面积等于时，求的长．
（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花围的宽的值．
【答案】（1）；；（2）7m或9m；（3）种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花围的宽是8m．
【分析】（1）根据栅栏的总长度为32m，可求出长BC的长，再利用矩形的性质表达出PQ的长；
（2）在第（1）问的基础上，可表达出长方形EPQG的面积的表达式，列出方程，求出线段AB的长；
（3）根据题意，先表达出甲区域和乙区域的面积，再代入单价，表达出总费用，结合二次函数的性质分析求解．
【详解】解：（1）由题意可得，AB+BC+CD=32，且CD=AB=x，
∴BC=32-2x，
∵MB=BF=CH=CN=1，
∴PQ=FH=BC-BF-HC=30-2x，
故答案为：（32-2x），（30-2x）．
（2）由（1）得，EP=AM=AB-MB=x-1，
∵长方形EPQG的面积等于96m2，
∴EP PQ=（30-2x）（x-1）=96，
解得，x1=7，x2=9，
∴AB的长为7m或9m．
（3）由题意可得，甲区域的面积为：x-1+30-2x+x-1=28，
乙区域的面积为：（30-2x）（x-1）+2=-2x2+32x-28；
设总费用为y元，
则y=100×28+50（-2x2+32x-28）=-100x2+1600x+1400=-100（x-8）2+7800，
∵-100＜0，
∴当x=8时，总费用最高为7800元
即种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花围的宽是8m．
【点评】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的性质等内容．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
33．某小区准备把一块长80m，宽60m（AB=60，BC=80）的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（EF=GH=MN=PQ），设AP=xm（）．
（1）图中AE的长为 （用含x的代数式表示）；
（2）绿化区的面积和活动区的面积能否相同，为什么？
（3）当出口宽多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）出口宽50m时，活动区的面积最大，最大面积是4650m2
【分析】（1）设AE=，根据全等三角形的性质及线段的和与差分别表示出PQ、EF，再利用边相等即可表示出y的值，从而得出答案；
（2）先根据面积公式表示出绿化区的面积，再将2400代入，得出一个一元二次方程求解，无解即可判断面积不相等回答问题即可；
（3）先表示出活动区的面积，再利用配方法结合x的范围即可求得最大面积．
【详解】（1）设AE=，
四块绿化区为全等的直角三角形，
，
AB=CD=60，BC=AD=80，
，，
EF=GH=MN=PQ，
，
，
即图中AE的长为；
（2），
依题意，即，
解得或40，都不符合题意，
即绿化区的面积和活动区的面积不能相同．
（3）
=
∵，且，
∴当时活动区的面积最大，最大面积是4650m2．
此时，出口宽
即：出口宽50m时，活动区的面积最大，最大面积是4650m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键．
34．新冠疫情期间，某校用总长为的建筑材料建三间矩形测温棚，分别为等候区，电子测温区，复测区，测温棚的一面靠现有墙（墙长为），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三个区域平行于墙的一边合计用建筑材料，总占地面积为．
（1）用表示垂直于墙的一条边的长；
（2）求关于的函数解析式和自变量的取值范围；
（3）当为何值时，三个区域的占地总面积最大？最大面积为多少？
【答案】（1） （2） （3），
【分析】（1）根据建筑材料长是15列方程即可；
（2）用AB乘以x 即可；
（3）求二次函数顶点坐标即可．
【详解】解：（1），
∴；
（2）．
根据题意可得，，
解得：；
（3）
．
．
∴当时，三个区域的占地总面积最大，最大面积是．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是列出二次函数解析式，关键二次函数性质解决问题．
35．某公司对自家办公大楼一块米的正方形墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修；中心区是正方形，用材料乙装修）．
两种材料的成本如下表：
材料 甲 乙
价格（元/） 550 500
设矩形的较短边的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）计算中心区的边的长（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于2米时，预备材料的购买资金35000元够用吗？请说明理由．
【答案】（1）8-4x；（2）y=-800x2+3200x+32000；（3）够用，理由见解析
【分析】（1）根据图形边长即可表示出MN的长；
（2）根据正方形和长方形的面积乘以每平方米的单价即可写出函数解析式；
（3）根据题意确定x的取值范围，根据函数的增减性即可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，得AD=AB=8，AE=EF=x，
四周阴影部分是八个全等的矩形，
∴MN=8-4x．
答：中心区的边MN的长为8-4x．
（2）根据题意，得
y=550×8x（8-2x）+500（8-4x）2
=-800x2+3200x+32000．
答：y关于x的函数解析式y=-800x2+3200x+32000．
（3）∵MN不小于2，
∴8-4x≥2，∴0＜x≤，
y=-800x2+3200x+32000
=-800（x-2）2+35200
∵-800＜0，图象开口向下．
当y=35000时，即-800（x-2）2+35200=35000，
解得x1=，x2=，
当≤x≤时，y的最大值超过35000，符合0＜x≤的要求．
答：预备材料的购买资金35000元够用．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
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22.3.1：二次函数与几何问题--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（ ）
A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m
2．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
3．如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为，面积为，则y与x的函数图像大致是（ ）
A． B． C． D．
5．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=x2-70x+1200 B．y=x2-140x+4800 C．y=4x2-280x+4800 D．y=4800-4x2
6．如图所示，点P是边长为1的正方形对角线上一动点（P与点A、C不重合），点E在上，且，设，的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．当a＞0时，的开口方向________顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最小值y＝________
9．当a＜0时，的开口方向 _______顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最大值y＝________
10．一般抛物线 （a≠0） 的顶点是最低（高） 点，当x＝时，二次函数 有最小（大） 值y＝__________．
11．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．当a是多少时，场地的面积S最大，最大面积是多少？
解：
根据题意列方程：_________
整理后得： （0＜a＜30），
当a＝＝________时，S＝＝_________m2
当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，且最大值为225m2
12．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇宽门的长方形花圃．设花圃宽为，面积为，则与的函数表达式为________．
13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．
14．如图，已知在边长为6的正方形中，为的中点，点在边上，且，连接，是上的一动点，过点作，，垂足分别为，，则矩形面积的最大值是______．
15．用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm2．
16．用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于____时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．
三、解答题
17．某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）．
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为100m2，求的值；
（3）当为多少m时，这个种植园的面积最大，并求出最大值．
18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
19．如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
20．脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定修建一个矩形猪舍．如图所示，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
（2）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积最大，最大面积是多少？
21．如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
（1）若花园的面积为，求的值；
（2）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；
（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？
24．小明的爸爸想在自家院子里用长为12米的篱笆围成一个矩形小花园，爸爸问小明，矩形的相邻两边长分别设计为多少米时小花园面积最大（不考虑接缝）？小明利用学习的《函数及其图象》知识探究如下，请将他的探究过程补充完整．
（1）（建立函数模型）由矩形的周长为12，设它的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为______，其中自变量的取值范围是______；
（2）（画出函数图象）
①与的几组对应值列表如下：
… 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 …
… 2.75 5 6.75 8 8.75 9 8.75 8 5 2.75 …
其中______；
②根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中已描出了以部分对应值为坐标的点，请你画出该函数的大致图象；
（3）（观察图象解决问题）
①写出该函数的一条性质：______；
②当______时，矩形小花园的面积最大．
25．南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的小型农场的面积为9平方米，求的长；
（2）的长为多少米时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
26．某公司承接项市政工程，制作一面景观墙，其形状是边长为9米的正方形，设计图案如下所示（四周阴影部分是四个全等的直角三角形，铺设绿植．中间是边长为整数的正方形，采用新能源涂料），两种材料单价如下表．设长为x米．
材料 绿植 新能源涂料
价格（元平方米） 100 200
（1）用含x的代数式表示使用新能源涂料的面积．
（2）该公司准备11040元用于采购上述两种材料，请你判断资金是否足够，并说明理由．
（3）为了推广环保施工，政府对新能源涂料提供每平方米m元的补贴，使得该公司投入11040元足以顺利完成材料采购，则m至少为_______元．（直接写出答案）
27．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB的长为x米，矩形绿化带的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD面积S的最大值．
28．某小区要用篱笆围成一个四边形花坛．花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中，且设AB边的长为x米，四边形ABCD面积为S平方米．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x是多少时，四边形ABCD面积S最大？最大面积是多少？
参考公式：当时，二次函数有最大（小）值
29．如图，某小区有块长为(2a+b)米，宽为(2a－b)米的长方形地块，角上有4个边长为(a一b)米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，绿化的总面积为S，其中a>b．
（1）用含有a和b的式子表示S：____________．(结果用最简形式表示)
（2）若a+b=20且=1，求S的值．
（3）若a+b=20，则当a，b为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
30．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10m）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为24m，设AB的长为xm，矩形绿化带的面积为ym2．
（1）求y关于自变量x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD面积y的最大值；
（3）若要求矩形绿化带ABCD的面积不少于45m2，请直接写出AB长的取值范围．
31．如图，为美化环境，某校计划在一块长为60m，宽40m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为xm，花圃的面积为S，
（1）求S与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求此时通道的宽．
32．某校一面墙（长度大于32m）前有一块空地，校方准备用长32m的栅栏（）围成一个一面靠墙的长方形花围，再将长方形分割成六块（如图所示），已知，，，设．
（1）用含的代数式表示：__________m；___________m．
（2）当长方形的面积等于时，求的长．
（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花围的宽的值．
33．某小区准备把一块长80m，宽60m（AB=60，BC=80）的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（EF=GH=MN=PQ），设AP=xm（）．
（1）图中AE的长为 （用含x的代数式表示）；
（2）绿化区的面积和活动区的面积能否相同，为什么？
（3）当出口宽多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
34．新冠疫情期间，某校用总长为的建筑材料建三间矩形测温棚，分别为等候区，电子测温区，复测区，测温棚的一面靠现有墙（墙长为），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三个区域平行于墙的一边合计用建筑材料，总占地面积为．
（1）用表示垂直于墙的一条边的长；
（2）求关于的函数解析式和自变量的取值范围；
（3）当为何值时，三个区域的占地总面积最大？最大面积为多少？
35．某公司对自家办公大楼一块米的正方形墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修；中心区是正方形，用材料乙装修）．
两种材料的成本如下表：
材料 甲 乙
价格（元/） 550 500
设矩形的较短边的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）计算中心区的边的长（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于2米时，预备材料的购买资金35000元够用吗？请说明理由．
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