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22.3.3：二次函数与抛物线型问题--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得．
【详解】在h＝30t 5t2中，令h＝0可得30t 5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0．
2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．
【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=-．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，
解得：x=±．
∵-（-）=2，
∴水面宽度为2m．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键．
3．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【详解】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．
∴正确的有①②③④，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
4．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】D
【分析】根据数关系式，t＝﹣时，礼炮在升空到最高点，求解即可．
【详解】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣ ＝- ＝6（s），
故答案为：D．
【点评】本主查二次数的性质，练享握二次函数的性质是解的关键．
5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
【答案】C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，
当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误
当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．在晋中市中考体育训练期间，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y= 0时，求x的值即可．
【详解】解:当y=0时， y=-x2+x+ =0，
解得：x1= -2(舍去)，x2= 10，
由此可知该生此次实心球训练的成绩为10 米；
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
7．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】B
【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值，即可得出结论．
【详解】解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴则在四个选项所列的时间中，炮弹所在高度最高的是第10秒．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是解题的关键．
二、填空题
8．二次函数实际问题学了___________和___________
【答案】几何问题 销售利润
9．如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m， 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为______，
由抛物线过点_________，得到a＝___________，
所以这条抛物线的解析式为______，
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y＝_____，
将y＝_____代入二次函数得，x＝__________ ，
∴水面下降1m时，水面的宽度为_________m
∴水面的宽度增加了_______m
【答案】 （2，－2） －3 －3
10．解决抛物线型实际问题的一般步骤：
（1）根据题意建立适当的________；
（2）把已知条件转化为______；
（3）合理设出函数解析式；
（4）利用______法求出函数解析式；
（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
【答案】直角坐标系 点的坐标 待定系数
11．足球被从地面上踢起，它距地面的高度h（m）可用公式h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，则球在______s后落地．
【答案】4
12．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．
【答案】2
【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.
【详解】解:∵函数解析式为: y＝－x2＋x＋，
∴y最值===2.
故答案为:2.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键.
13．如图,小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线.铅球落在A点处，那么小明掷铅球的成绩是_____米.
【答案】7
【分析】当y=0时代入解析式y=-（x+1）（x-7）．求出x的值即可．
【详解】由题意，得
当y=0时，0=-（x+1）（x-7），
解得：x1=-1（舍去），x2=7．
故答案为7．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数与实际问题的运用，解答时运用二次函数的解析式解实际问题是关键．
14．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，当水面宽AB＝1.6米时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．涵洞所在抛物线的解析式是_____________．
【答案】
15．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．
【答案】7m
【分析】当y＝0时代入解析式，求出x的值就可以求出结论．
【详解】解：由题意，得
当y＝0时，，
化简，得：，
解得：（舍去），
故答案为：7m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法，解题关键是结合题意，取函数或者自变量的特殊值列方程求解．
16．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________．
【答案】
【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得：，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
17．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
【答案】
【分析】根据题意可知E、F两点是关于y轴对称的，且纵坐标都为8，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出EF的长度．
【详解】由题，E、F两点是关于y轴对称，纵坐标都为8，代入解析式，
∴，解得：，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．
18．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为，拱桥的最高点B到水面OA的距离为．则抛物线的解析式为________．
【答案】
【分析】根据题意得到顶点B的坐标为(6，6)，设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，求出a即可得到函数解析式．
【详解】根据题意可知：顶点B的坐标为(6，6)，
∴设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，
36a+6=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．
19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_____米；
【答案】2
【分析】将一般式写成顶点式，求出顶点坐标即可得出结果．
【详解】解：，
顶点坐标是，
∴最大高度是2米．
故答案是：2．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数图象顶点坐标的方法．
20．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为___米．
【答案】14
【分析】设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可得到解析式，求出时的值即可得．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为；
当时，，
解得：（舍，，
所以足球第一次落地点距守门员14米，
故答案是：14．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题的能力．
三、解答题
21．某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？
【答案】（1）（0＜x＜3）；（2）不会被淋湿，理由见解析
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（3，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的函数值，由此即可得出结论．
【详解】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（a≠0），
将（3，0）代入，得：4a+3=0，
解得：，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为（0＜x＜3）．
（2）当时，有，
∵
∴不会被淋湿．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键．
22．公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的表达式为且过顶点（长度单位：m）．
（1）直接写出c的值；
（2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H，G分别在抛物线上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求点G的坐标．
【答案】（1）的值为5；（2）．
【分析】（1）把顶点坐标代入解析式即可确定c的值；
（2）用点G的坐标分别表示EF，FG的长，后根据矩形EFGH的周长，构造一元二次方程求解即可.
【详解】（1）由抛物线的表达式为，
∵点在抛物线上，
∴的值为5；
（2）设，
∴矩形的周长，
∴，
把m=5代入==3.75；
∴的坐标为（5，3.75）.
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的周长，用坐标表示线段的长，利用数形结合思想，把矩形的周长转化为点的坐标为未知数的一元二次方程是解题的关键.
23．如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25．
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？
【答案】（1）喷出的水流离地面的最大高度为2.25m；（2）水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池．
【分析】（1）直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度；
（2）利用x=0求出y的值即可；
（3）利用y=0求出x的值，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=-（x-1）2+2.25,
∴喷出的水流离地面的最大高度为：2.25m;
（2）当x=0，则y=-（0-1）2+2.25=1.25（m）,
答:喷嘴离地面的高度为1.25m;
（3）由题意可得:y=0时，0=-（x-1）2+2.25,
解得:x1=-0.5（舍去），,x2=2.5，
答:水池半径至少为2.5m时,才能使喷出的水流不落在水池外．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用,根据题意得出x=0以及y=0的意义是解题关键．
24．已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）10.2米；（3）
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；
（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．
【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是：，
把代入得，
解得，
则抛物线是；
（2）球门高为2.44米，即，
则有，
解得：，，
从题干图2中，发现球门在右边，
，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当时，
有，
解得：，，
取正值，，
后退的距离需小于米
故．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
25．在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面，与篮圈中心的水平距离为，球出手后水平距离为时达到最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）此时球能否准确投中？
（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
【答案】（1）；（2）能投中；（3）能拦截成功，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；
（3）将x=1代入进而得出答案．
【详解】（1）
如图，球出手点、最高点（顶点）坐标分别为：，
设二次函数解析式为，将点代入可得：，
解得：，抛物线解析式为：；
（2）将点横坐标代入抛物线解析式得：
即点在抛物线上，此球一定能投中；
（3）能拦截成功．理由：将代入得
，他能拦截成功．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
26．一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何值时L最大，最大值为多少？
【答案】（1）y=-x2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L有最大值，最大值为14
【分析】（1）根据题意和函数图象，可以设出抛物线的解析式，然后根据抛物线过点F和点M即可求得该抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度，便可判断该车辆能安全通过．
（3）射出H的坐标，用n表示出L，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）由题意得M（0，4），F（4，0）
可设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将F（4，0）代入y=ax2+4中，得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4；
（2）当x=3，y=，
+2-=3.253.2，∴能安全通过；
（3）由GH=n，可设H（），
∴GH+GA+BH=n+（）×2+2×2=，
∴L=，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当n=-=4时，L有最大值，最大值为14．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义．
27．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道最高点距离地面，以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【答案】（1）抛物线关系式为；（2）这辆货运卡车能通过该隧道，计算见解析
【分析】（1）根据题意求出顶点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据题意，把x=1.2代入解析式，得到y=5.64．由于5.64＞4.5，于是得到货运卡车能通过．
【详解】（1）由题意可知抛物线顶点，，
设抛物线关系式为，
将代入，得16a+6=2．
解得．
∴抛物线关系式为．
（2）货运卡车从隧道正中间走，由抛物线的对称性，得2.4÷2=1.2，
因此，当时，．
所以，这辆货运卡车能通过该隧道．
【点评】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
28．如图，修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根喷水管AB，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的微物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高点D，高度为3m，水柱落地处C离池中心B相距3m．
（1）请以BC所在直线为x轴（射线BC的方向为正方向），AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）直接写出AB的长为 ．
【答案】（1）图见解析，；（2）
【分析】（1）根据要求建立坐标系，由题意可以设抛物线解析式为：y=a（x﹣1）2+3，把C（3，0）代入可以得到a的值，从而得到答案；
（2）由（1）得到的解析式可以求得A点坐标，从而得到AB的值．
【详解】解：（1）如图，以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系如下：
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+3，
代入（3，0）求得：a=﹣，
将a值代入得到抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；
（2）在抛物线解析式中令x=0，则y= =2.25．
故水管AB的长为2.25m．
故答案为：2.25m．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及用待定系数法求二次函数解析式是解题关键 ．
29．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【答案】（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是；（2）在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是
【分析】（1）在中，令，得关于的一元二次方程，求得方程的解，再用较大的值减去较小的值即可得出答案．
（2）将写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴令，得，
解得，，
∵，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是．
（2）
，
∴当时，取得最大值，最大值为20.
∴在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是．
【点评】本题考查二次函数的实际应用．掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键．
30．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ，可求这条抛物线的解析式为 ．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．当取y＝ 时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为 ，解决了这个问题．
【答案】方法一：（12，0），（6，8），；方法二：，﹣2；6
【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
【详解】解：方法一：∵AB=12，
B（12，0），
∵当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米，
∴抛物线的对称轴为 ，
∴抛物线的顶点坐标为（6，8），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，
把B点的坐标代入得，a＝﹣ ，
∴ ，
即二次函数的解析式为 ；
方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，
把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣ ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣ x2；
y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，
即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米，
故答案为：方法一：（12，0），（6，8），；方法二：，﹣2；6．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．
31．如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
【答案】（1）；（2）该货车能够通行的最大高度为．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求出x=2.2时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙即可求解．
【详解】（1）由图②可知， B（4，0），抛物线顶点坐标（0,4） ，
设抛物线的解析式为：，
依题意得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2），
当x＝2.2时，，
当时，．
答：该货车能够通行的最大高度为．
【点评】本题考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，二次函数最值问题．
32．如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；
（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1），16米；（2）米
【分析】（1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；当时代入（1）的解析式，求出的值即可得第一次落地点和守门员（点的距离；
（2）设第二次抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析为，求出解析式，就可以求出的值，进而得出结论．
【详解】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得
，
解得：，
．
当时，，
解得：（舍去）或，
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点和守门员（点的距离为16米；
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意，得
，
解得或（舍去），
．
当时，
．
解得：或．
他应从第一次落地点再向前跑的距离为：
米．
答：他应再向前跑米．
【点评】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键
33．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）5米
【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，
将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，
解得：a＝﹣1，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，
∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，
解得：x1＝1，x2＝5，
∵起跳点A坐标为（2，3），
∴x1＝1，不符合题意，
∴x＝5，
∴运动员落水点与点C的距离为5米．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
34．如图，斜坡长10米，按图中的直角坐标系可用表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛线可用表示．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
【答案】（1）y=-x2+x+5，（2，9）；（2）能.
【分析】（1）根据直线和抛物线的交点坐标即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）令x=0，得y=5，所以B（0，5），
令y=0，得x=5，所以A（5，0），
将A（0，5）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c得，
c=5，-25+5b+5=0，解得b=，
所以抛物线的表达式为y=-x2+x+5．
y=-（x-2）2+9，所以顶点坐标为（2，9）．
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+5．
顶点坐标为（2，9）；
（2）∵AB=10，OB=5，
∴∠OAB=30°，
∵AC=2，
∴所以C点纵坐标为1，
∴C点的横坐标为4，
所以当x=4时，y=5，
所以1+3.5=4.5＜5，
所以水柱能越过这棵树．
即在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能越过这棵树．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一次函数与二次函数交点，解决本题的关键是综合运用二次函数与一次函数的知识．
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22.3.3：二次函数与抛物线型问题--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）．
A． B． C． D．
3．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
4．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
6．在晋中市中考体育训练期间，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
二、填空题
8．二次函数实际问题学了___________和___________
9．如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m， 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为______，
由抛物线过点_________，得到a＝___________，
所以这条抛物线的解析式为______，
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y＝_____，
将y＝_____代入二次函数得，x＝__________ ，
∴水面下降1m时，水面的宽度为_________m
∴水面的宽度增加了_______m
10．解决抛物线型实际问题的一般步骤：
（1）根据题意建立适当的________；
（2）把已知条件转化为______；
（3）合理设出函数解析式；
（4）利用______法求出函数解析式；
（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
11．足球被从地面上踢起，它距地面的高度h（m）可用公式h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，则球在______s后落地．
12．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．
13．如图,小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线.铅球落在A点处，那么小明掷铅球的成绩是_____米.
14．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，当水面宽AB＝1.6米时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．涵洞所在抛物线的解析式是_____________．
15．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．
16．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________．
17．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
18．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为，拱桥的最高点B到水面OA的距离为．则抛物线的解析式为________．
19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_____米；
20．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为___米．
三、解答题
21．某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？
22．公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的表达式为且过顶点（长度单位：m）．
（1）直接写出c的值；
（2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H，G分别在抛物线上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求点G的坐标．
23．如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25．
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？
24．已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
25．在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面，与篮圈中心的水平距离为，球出手后水平距离为时达到最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）此时球能否准确投中？
（3）此时，对方队员乙在甲面前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
26．一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何值时L最大，最大值为多少？
27．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道最高点距离地面，以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
28．如图，修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根喷水管AB，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的微物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高点D，高度为3m，水柱落地处C离池中心B相距3m．
（1）请以BC所在直线为x轴（射线BC的方向为正方向），AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）直接写出AB的长为 ．
29．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
30．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ，可求这条抛物线的解析式为 ．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．当取y＝ 时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为 ，解决了这个问题．
31．如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
32．如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；
（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
33．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离．
34．如图，斜坡长10米，按图中的直角坐标系可用表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛线可用表示．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
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