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21.1：一元二次方程--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．下列方程中，无论a为何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（2x－1）（x2＋3）＝2x ＋－a
B．ax ＋2x＋4＝0
C．ax ＋x ＝ x －1
D．（a＋1）x ＝0（）
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4x2，﹣5x
5．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．－3
6．已知一元二次方程x2+x+3＝0有一个根为3，则的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
7．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
8．关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+y＝2 B．x2﹣+1＝0 C．x2﹣5x＝3 D．x﹣3y+1＝0
10．下列一元二次方程是一般形式的是（ ）
A．x（x﹣5）＝0 B．5x2﹣1＝4x C．2x2﹣x+1＝0 D．4x2＝81
11．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
12．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．不确定
13．若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．且 D．
二、填空题
14．含有未知数的等式叫做________
只含有一个未知数，并且未知数的次数（即指数）是1，这样的方程叫____________．
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做____________．
15．下面三个方程：x ＋2x－4＝0，x －75x＋350＝0，x －x＝56，它们有什么共同点？
特点：
（1）都是_________方程；
（2）只含有______个未知数；
（3）未知数的最高次数是______．
16．观察下面两个方程，说出这两个方程的相同与不同之处：
（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200
相同之处：两边都是整式，都只含有____个未知数．
不同之处：方程（1）未知数的最高次数是_____次，方程（2）未知数的最高次数是____次．
17．只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做______________．一元二次方程经过整理都可化成一般形式__________．其中ax 叫作________，a是_______；bx叫作_______，b是_______；c叫作______．
18．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______．
19．方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是______；
20．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，它的一个根是，则这个方程为__________．
21．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．
22．写出一个一元二次方程,使其两个根中有一个根为,此方程为_____________．
23．若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是_____．（写出一个即可）
24．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值m为 ___．
三、解答题
25．判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
26．将方程（3x－2）（x＋1）＝x（2x－1）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项．
27．已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？
（2）当为何值时是一元二次方程？
28．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项．
29．已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值．
30．先化简，后计算：，其中是一元二次方程的实数根．
31．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad－bc，上述记法叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．
32．先化简，再求值：，其中x是一元二次方程的解．
33．已知关于的一元二次方程．
求的取值范围；
已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项．
34．阅读理（解析）解：
定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程的“对称方程”是______．
（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
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21.1：一元二次方程--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．下列方程中，无论a为何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（2x－1）（x2＋3）＝2x ＋－a
B．ax ＋2x＋4＝0
C．ax ＋x ＝ x －1
D．（a＋1）x ＝0（）
【答案】D
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当a=0时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．若，则下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据非负数的性质求得b=1，a=0；然后将其代入选项中的方程，由一元二次方程的定义进行判断．
【详解】解：∵（b-1）2+a2=0，∴b-1=0，a=0，即b=1，a=0．
A、将b=1，a=0代入该方程，知5x-1=0，属于一元一次方程；故本选项不符合；
B、将b=1，a=0代入该方程，知3x-5=0，属于一元一次方程；故本选项不符合；
C、将b=1，a=0代入该方程，知-x2-7=0，属于一元二次方程；故本选项符合；
D、将b=1，a=0代入该方程，知-1=0，故本选项不符合；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4x2，﹣5x
【答案】B
【分析】将方程中移项整理即可得到该一元二次方程的二次项系数和一次项系数．
【详解】解：将方程移项整理得：4x2﹣5x+81＝0，
则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为()，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式．
5．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．－3
【答案】D
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．
6．已知一元二次方程x2+x+3＝0有一个根为3，则的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】A
【分析】将x=3代入题目中的方程，即可求得k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+3=0有一个根为3，
∴32+k×3+3=0，
解得，k=-4，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得含义．
7．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【答案】D
【分析】先把a代入方程得到3a2-a=1，然后方程两边都乘以-2得-6a2+2a=-2，从而求出答案．
【详解】解：由题意得：3a2-a-1=0，
∴3a2-a=1，
∴-6a2+2a=-2，
∴2021﹣6a2＋2a =2021-2=2019．
故选：D．
【点评】本题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a2+2a的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
8．关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】由于x=-1时有a+b=2020，于是可判断此方程必有一根为-1．
【详解】解：当x=-1时，a+b-2020=0，则a+b=2020，
所以若a+b=2020，则此方程必有一根为-1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+y＝2 B．x2﹣+1＝0 C．x2﹣5x＝3 D．x﹣3y+1＝0
【答案】C
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．然后进行判断即可．
10．下列一元二次方程是一般形式的是（ ）
A．x（x﹣5）＝0 B．5x2﹣1＝4x C．2x2﹣x+1＝0 D．4x2＝81
【答案】C
【分析】根据一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）进行判断即可得到答案.
【详解】解：∵一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），
∴只有C选项符合题意
故选C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键.
11．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意列出方程即可求出a的值．
【详解】解：由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为2，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式，理解基本定义是解题关键．
12．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．不确定
【答案】A
【分析】直接把x=0代入方程，再结合，进而得出答案．
【详解】∵关于的方程有一个根为0
∴把x=0代入
得
解得
∵二次项系数
∴
故选：A
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
13．若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．
【详解】解：∵(m-1)x2+x+=0是关于x的一元二次方程，
∴m-1≠0，
解得m≠1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
二、填空题
14．含有未知数的等式叫做________
只含有一个未知数，并且未知数的次数（即指数）是1，这样的方程叫____________．
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做____________．
【答案】方程 一元一次方程 方程的解
15．下面三个方程：x ＋2x－4＝0，x －75x＋350＝0，x －x＝56，它们有什么共同点？
特点：
（1）都是_________方程；
（2）只含有______个未知数；
（3）未知数的最高次数是______．
【答案】整式 一 2
16．观察下面两个方程，说出这两个方程的相同与不同之处：
（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200
相同之处：两边都是整式，都只含有____个未知数．
不同之处：方程（1）未知数的最高次数是_____次，方程（2）未知数的最高次数是____次．
【答案】1 1 2
17．只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做______________．一元二次方程经过整理都可化成一般形式__________．其中ax 叫作________，a是_______；bx叫作_______，b是_______；c叫作______．
【答案】一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0（a≠0） 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项
18．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______．
【答案】解 根
19．方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是______；
【答案】2， - -1
【详解】方程2x2 -1=x 化成一般形式是2x2-x-1=0，所以二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-1．
20．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，它的一个根是，则这个方程为__________．
【答案】x2+5x-14=0
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可设：x2+mx-14=0，
将x=-7代入x2+mx-14=0，
∴49-7m-14=0，
∴m=5，
故答案为：x2+5x-14=0．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
21．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．
【答案】或
【分析】设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：
即或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．写出一个一元二次方程,使其两个根中有一个根为,此方程为_____________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意所写的方程只要把代入成立即可,有一个根是2的一元二次方程有无数个,只要含有因式的一元二次方程肯定有一个根是2．
【详解】形如 的一元二次方程都有一个根是2,可以写出一个一元二次方程: ．
故答案为:（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根的定义,理解并掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
23．若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是_____．（写出一个即可）
【答案】2
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案.
【详解】∵(n-1) x2+2x-4=0是关于x的一元二次方程，
∴n-1≠0，
解得:n≠1.
故答案为:2.（写出一个即可）
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键.
24．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值m为 ___．
【答案】10
【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出m2-m=5，进而将方程两边同时除以m进而得出答案．
【详解】解：∵m是方程x2-x-5=0的一个实数根，
∴m2-m=5，
m-1-=0，
故m-=1，
则（m2-m）（m-+1）
=5×2
=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
三、解答题
25．判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是
26．将方程（3x－2）（x＋1）＝x（2x－1）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项．
【答案】一般形式为： x ＋2x－2＝0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2
27．已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？
（2）当为何值时是一元二次方程？
【答案】（1）-2或1 （2）2
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可得答案．
（2）根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：（1）由题意，得当时，，
当且时，；
∴当或时，是一元一次方程．
（2）由题意，得，且，解得，
∴当时，是一元二次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
28．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项．
【答案】二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．
【分析】解法一：先把分母去掉，即方程两边都乘2，再合并得方程的一般式，再根据一元二次方程的定义指出． 解法二：可以直接去括号，化成一般式．（一般一元二次方程都要化成整数系数，可以降低计算量）．
【详解】解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5，
所以x2﹣x﹣4＝0．
二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．
解法二：整理得：+3x＝+，
﹣﹣2＝0，
二次项，一次项系数为﹣，常数项为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，进行整理合并．
29．已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值．
【答案】1或-5
【分析】根据题意，该方程的根可能是或，分类讨论，把x的值代入原方程求出m的值．
【详解】解：∵方程有一个根的平方等于9，
∴这个根可能是或，
当，则，解得，
当，则，解得，
综上：m的值是1或-5．
【点评】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．
30．先化简，后计算：，其中是一元二次方程的实数根．
【答案】；-1
【分析】一般思路：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可，本题也可以利用整体代入进行求解．
【详解】解：原式=，
∵是一元二次方程的实数根，
∴，
∴，
∴原式
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
31．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad－bc，上述记法叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．
【答案】是，
【分析】根据题意直接可列出方程，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：根据题意，得：
，
整理，得，
它是一元二次方程，一般形式为．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
32．先化简，再求值：，其中x是一元二次方程的解．
【答案】；2
【分析】利用分式的减法法则和除法法则进行化简，再把代入求值，即可求解．
【详解】解；原式
，
由得，，
把代入得：原式=．
【点评】本题主要考查分式的化简求值以及一元二次方程的变形，熟练掌握分式的通分和约分以及整体代入思想方法是解题的关键．
33．已知关于的一元二次方程．
求的取值范围；
已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】 ；二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，求出即可；
（2）把x=-2代入方程，即可求出k，再把k的值代入即可．
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴，
即；
把代入方程得：，
解得：，
代入方程得：，
即，
故二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式与定义.
34．阅读理（解析）解：
定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程的“对称方程”是______．
（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
【答案】（1）；（2）的值是1
【分析】（1）根据对称方程的系数满足，，，求解即可；
（2）互为对称方程，则系数满足，，，据此解答．
【详解】解：（1）由题意知，，，，
∴ ，，，
∴方程的“对称方程”是：，
故填：；
（2）由移项可得：，
与为对称方程，
，解得，
，解得，
∴．
【点评】本题考查一元二次方程的新定义，熟悉方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，并能读懂题中的新定义是关键．
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