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21.2.1：配方法解一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．把方程配方，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
2．已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】利用作差法比较即可．
【详解】根据题意，得
＝，
∵
∴
∴，
故选B．
【点评】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．
3．已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分别是（ ）
A．5和3 B．5和 C．﹣和 D．和
【答案】D
【分析】利用配方法得到：x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，利用偶数次幂的非负性作答．
【详解】解：∵x2﹣5x+7＝（x﹣）2+7﹣＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，q有最小值，
∴m和q的值分别是和，
故选：D．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，偶数次幂的非负性．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
【答案】C
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此进行判断即可．
【详解】解：A、由原方程，得x2-2x=99，
等式的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
（x-1）2=100；
故本选项正确，不符合题意；
B、由原方程，得x2+8x=9，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得
；
故本选项正确，不符合题意；
C、由原方程，得
，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方 ，得
；
故本选项错误，符合题意；
D、由原方程，得
3x2-4x=2，
化二次项系数为1，得
等式的两边同时加上一次项系数-的一半的平方，得
；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．一元二次方程x2＋6x﹣5＝0配方后可化为（ ）
A．（x＋3）2＝5 B．（x＋3）2＝14
C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14
【答案】B
【分析】直接利用配方法进行求解．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查了配方法，解题的关键是：掌握配方法的基本操作步骤．
6．用配方法解一元二次方程，配方变形过程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】方程移项，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程x2-4x+1=0，
整理得：x2-4x=-1，
配方得：x2-4x+4=3，即（x-2）2=3．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．若方程可通过配方写成的形式，则可配方成（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知方程x2-8x+m=0可以配方成（x-n）2=6的形式，把x2-8x+m=0配方即可得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定x2+8x+m=5配方后的形式．
【详解】解：∵x2-8x+m=0，
∴x2-8x=-m，
∴x2-8x+16=-m+16，
∴（x-4）2=-m+16，
依题意有n=4，-m+16=6，
∴n=4，m=10，
∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，
∴x2+8x+16=-5+16，
∴（x+4）2=11，
即（x+n）2=11．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝18 B．（x﹣6）2＝45 C．（x﹣3）2＝18 D．（x+6）2＝45
【答案】C
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵x2﹣6x﹣9＝0，
∴x2﹣6x＝9，
∴x2﹣6x+9＝18，
∴（x﹣3）2＝18．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
9．把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（ ）
A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8
【答案】A
【分析】将配方，即可求出m和 c的值．
【详解】，配方得：
，
∴ ，即．
故选A．
【点评】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键．
10．已知，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C． 1 D．
【答案】B
【分析】首先根据，可得：（m＋2）2＋（n 2）2＝0，据此求出m、n的值各是多少，然后把求出的m、n的值代入计算即可．
【详解】∵，
∴m2＋n2＝4n 4m 8，
∴（m2＋4m＋4）＋（n2 4n＋4）＝0，
∴（m＋2）2＋（n 2）2＝0，
∴m＋2＝0，n 2＝0，
解得：m＝ 2，n＝2，
∴
＝
＝0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
二、填空题
11．平方根的意义：如果x2＝a，那么x＝________．
式子叫____________，且＝___________．
【答案】 完全平方式
12．一般地，对于方程，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：___________；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根______________；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根．
【答案】，
13．像上面这样，通过配成完全平方式形式来解一元二次方程的方法，叫做_________，可以看出，配方是为了_________，把一个一元二次方程化成两个___________来解．
【答案】配方法 降次 一元一次方程
14．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根：__________；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根______________；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根．
【答案】，
15．把代数式化为（x－m）2+k的形式，其中m，k为常数，则=______，=_____．
【答案】1 2
【分析】完全平方公式：，结合所给的式子进行转化，即可得出结果．
【详解】解：
则，．
故答案为：1；2．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解答关键是对完全平方公式的掌握与应用．
16．用配方法解一元二次方程时，应该在等式的两边都加上_________．
【答案】9
【分析】配方法解一元二次方程时，等式两边应加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方式．
【详解】解：用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上32，即9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．用适当的数填空： =（x- ）2．
【答案】4；2
【分析】根据完全平方公式：，即可得出结论．
【详解】解：
故答案为：4；2．
【点评】此题考查的是配方，掌握完全平方公式是解题关键．
18．把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝___．
【答案】4
【分析】移项，配方，变形后求出m、k的值，再求出m+k即可．
【详解】解：x2+2x﹣2＝0，
移项，得x2+2x＝2，
配方，得x2+2x+1＝2+1，
即（x+1）2＝3，
所以m＝1，k＝3，
即m+k＝1+3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查配方法、代数式求值，掌握配方法的步骤是解答的关键．
19．对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______．
【答案】36
【分析】根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值．
【详解】解：∵，
∴40≤；
∴
∴（m+6）2+（n-2）2≤0，
∵（m+6）2+（n-2）20，
∴m+6=0，n-2=0，
∴m=-6，n=2，
∴
故答案为：36．
【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
三、解答题
20．解方程
【答案】，.
【详解】分析：用配方法解一元二次方程即可.还可以用公式法或者因式分解法.
详解：方法一：移项，得，
二次项系数化为1，得，
，
，
由此可得，
，.
方法二：方程整理得：
分解因式得：(x 1)(2x 1)=0，
解得：，.
【点评】考查解一元二次方程，常见的方法有：直接开方法，配方法，公式法和因式分解法，观察题目选择合适的方法.
21．利用配方法解方程：
【答案】x=+6或x= +6.
【分析】将常数项移到方程的右边，再两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式后开方即可得．
【详解】∵，
∴
x-12x=14，
则x-12x+36=14+36,即(x-6) =50，
∴x-6=或x-6= ，
解得：x=+6或x= +6.
【点评】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算公式.
22．配方法解一元二次方程
【答案】原方程无实数根
【详解】移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，
即，
原方程无实数根
23．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据直接开方法即可求解；
（2）根据配方法即可求解．
【详解】（1）解：
当时；当时
，
所以，该方程的解为： ，
（2）解：
．
．
【点评】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知配方法的运用．
24．阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
①
②
③
④
⑤
⑥
问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：_____________；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【答案】（1）⑤；（2）开方有两个答案而只写了一个；（3）正确解答过程见解析．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可；
（2）根据一元二次方程的解法分析错误原因即可；
（3）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可．
【详解】解：（1）根据一元二次方程的解法可以判断出第⑤步开始出现了错误．
故答案为：⑤．
（2）根据一元二次方程的解法分析⑤的错误原因是：开方有两个答案而只写了一个．
故答案为：开方有两个答案而只写了一个．
（3）正确解答过程如下：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
25．解方程：（1）；（2）．
【答案】(1)，；(2)，；
【分析】（1）直接开方即可求解；
（2）用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：(1)
，
，
，；
(2) ，
，
，
，，
，．
【点评】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用相应的方法解方程．
26．已知，求的值．
【答案】9
【分析】利用配方法将变为，根据非负数的性质得到，最后求出答案．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．
27．若为方程的一个正根，为方程的一个负根，求的值．
【答案】a+b= 5
【分析】先求出的根，由为方程的一个正根，得，再求的根，由为方程的一个负根，得，最后求即可．
【详解】，
，
，
为方程的一个正根，
，
，
，
，
，
为方程的一个负根，
，
．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
28．用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】通过移项配方解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
解得，．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程；掌握好配方法解一元二次方程的步骤是关键．
29．阅读思考：已知m2-6m+11，只要在前两项的基础上加9，就变成完全平方式，具体如下：
原式=m2-6m+9-9+11=（m-3）2+2，因为（m-3）2≥0，所以原式结果一定≥2，这种方法叫配方法（当二次项系数为1时，加一次项系数一半的平方），请解题
（1）求证：无论x取何值，x2+10x+28的值总是正数
（2）请用配方法分解因式y2-3y-18
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）利用配方法将代数式x2+10x+28转化为完全平方与和的形式（x+5）2+3，然后利用非负数的性质进行解答
（2）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方，依此进行求解即可．
【详解】解：（1）x2+10x+28
＝x2+10x+25+3
＝（x+5）2+3
∵（x+5）2≥0
∴（x+5）2+3≥3
∴无论x取何值，x2+10x+28的值总是正数．
（2）
=
=
=
=．
【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
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21.2.1：配方法解一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．把方程配方，得（ ）
A． B．
C． D．
2．已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分别是（ ）
A．5和3 B．5和 C．﹣和 D．和
4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
5．一元二次方程x2＋6x﹣5＝0配方后可化为（ ）
A．（x＋3）2＝5 B．（x＋3）2＝14
C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14
6．用配方法解一元二次方程，配方变形过程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若方程可通过配方写成的形式，则可配方成（ ）
A． B． C． D．
8．用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝18 B．（x﹣6）2＝45 C．（x﹣3）2＝18 D．（x+6）2＝45
9．把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（ ）
A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8
10．已知，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C． 1 D．
二、填空题
11．平方根的意义：如果x2＝a，那么x＝________．
式子叫____________，且＝___________．
12．一般地，对于方程，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：___________；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根______________；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根．
13．像上面这样，通过配成完全平方式形式来解一元二次方程的方法，叫做_________，可以看出，配方是为了_________，把一个一元二次方程化成两个___________来解．
14．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根：__________；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根______________；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根．
15．把代数式化为（x－m）2+k的形式，其中m，k为常数，则=______，=_____．
16．用配方法解一元二次方程时，应该在等式的两边都加上_________．
17．用适当的数填空： =（x- ）2．
18．把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝___．
19．对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______．
三、解答题
20．解方程
21．利用配方法解方程：
22．配方法解一元二次方程
23．解下列方程：
（1）；
（2）．
24．阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
①
②
③
④
⑤
⑥
问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：_____________；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
25．解方程：（1）；（2）．
26．已知，求的值．
27．若为方程的一个正根，为方程的一个负根，求的值．
28．用配方法解方程：．
29．阅读思考：已知m2-6m+11，只要在前两项的基础上加9，就变成完全平方式，具体如下：
原式=m2-6m+9-9+11=（m-3）2+2，因为（m-3）2≥0，所以原式结果一定≥2，这种方法叫配方法（当二次项系数为1时，加一次项系数一半的平方），请解题
（1）求证：无论x取何值，x2+10x+28的值总是正数
（2）请用配方法分解因式y2-3y-18
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