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21.2.2：公式法解一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．利用求根公式求的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
A．5， ，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣
2．下列的取值可以说明命题“关于的方程一定有实根”是假命题的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0
5．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
6．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
8．若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
二、填空题
11．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根：__________；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根______________；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根．
12．用配方法解一般形式的一元二次方程，
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，即，
因为，所以，式子的值有以下三种情况：
（1）当，方程有两个不等的实数根_______________；
（2）当，方程有两个不等的实数根_________；
（3）当，方程有无实数根；
13．一般地，式子叫做一元二次方程的根的_____________，通常用希腊字母“_________”表示它，即．
14．当时，方程的实数根可写为：的形式，这个式子叫做哟元二次方程的___________．求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做________________．
15．若关于x的一元二次方程x2＋6x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为___．
16．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．
17．一元二次方程的根的情况是______．
18．方程的二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．该方程判别式的值为_________，由此可以判断它的根的情况为___________．
19．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为___．
20．M（a，b）是一次函数y=x+3图像上一点，则关于x的方程ax2+bx+1=0的根的情况是____
三、解答题
21．公式解一元二次方程
22．不解方程，判别关于x的方程的根的情况．
23．不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
（1）；
（2）．
24．已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
25．解方程：（公式法）
26．按要求解下列方程：
用配方法解：（1）x2﹣4x+1＝0．
用公式法解：（2）．
27．已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一个根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x2＋px＋q＝0有两个不等的实数根；
（3）若方程x2＋px＋q＋1＝0有两个相等的实数根，求方程x2＋px＋q＝0两根．
28．解方程：（1） （2）
29．定义新运算，对干任意实数．都有．例如：．若的值小于．请判断方程：的根的情况．
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21.2.2：公式法解一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．利用求根公式求的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
A．5， ，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是 a、一次项系数是 b、常数项是 c．
【详解】解：由原方程，得
5x2﹣6x+ =0，
根据一元二次方程的定义，知
二次项系数 a=5，一次项系数 b=﹣6，常数项 c=； 故选C．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，学生在作答时往往把一次项系数﹣6 误认为 6，所以，在解答时要注意这一点．
2．下列的取值可以说明命题“关于的方程一定有实根”是假命题的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式进而计算得出答案．
【详解】解：关于x的方程一定有实数根，
，
解得：或，
说明命题“关于的方程
一定有实根”是假命题，
的值可以是：4，
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握一元一次方程根的判别式是解题关键．
3．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案．
【详解】由数轴可知：，；
∴；
∴有两个不相等的实数根
故选：A
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．
4．关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0
【答案】D
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，即可得到k的范围，同时注意二次项的系数不为0．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且-k≠0，
∴36-4×（-k）×3＞0且k≠0，
∴k＞﹣3且k≠0，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
5．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【答案】D
【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
6．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，
∴△=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．
7．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【答案】C
【分析】先求出方程的解，再求出较大的实数根a的范围，最后即可得出答案．
【详解】解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得 ，
∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根，
∴a＝，
∵1＜＜2，
∴2＜＜3，
即1＜a＜．
故选：C
【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8．若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．
【详解】解：由题可知：“△＜0”，
∴,
∴,
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．
9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据方程有两个相等的实数根求出m的值，然后根据根与系数的关系得出x的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2-mx+8=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=m2-4×2×8=0，解得m=±8，
∵x1=x2，x1+x2=，
∴x1=x2=2或x1=x2=-2．
故选：C．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的情况利用根的判别式可求出a的取值范围，同时必须考虑的情况．
【详解】解：关于x的方程
有两个不相等的实数根，
，
即，
解得：，
又是二次项系数，
，
综上：的取值范围为：且，
故选：C．
【点评】本题主要考查根据一元二次方程根的情况运用根的判别式求参，熟知（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程无根，是解题关键．
二、填空题
11．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根：__________；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根______________；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根．
【答案】，
12．用配方法解一般形式的一元二次方程，
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，即，
因为，所以，式子的值有以下三种情况：
（1）当，方程有两个不等的实数根_______________；
（2）当，方程有两个不等的实数根_________；
（3）当，方程有无实数根；
【答案】，
13．一般地，式子叫做一元二次方程的根的_____________，通常用希腊字母“_________”表示它，即．
【答案】判别式
14．当时，方程的实数根可写为：的形式，这个式子叫做哟元二次方程的___________．求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做________________．
【答案】求根公式 公式法
15．若关于x的一元二次方程x2＋6x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为___．
【答案】-9．
【分析】根据一元二次方程由两个相等的实根，则判别式等于0，求参数c即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2＋6x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴△=，
∴．
故答案为-9．
【点评】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握一元二次方程的根与判别式的关系，一元二次方程有两个不等的实根，△>0；一元二次方程有两个不等的实根，△=0；一元二次方程没有实根，△<0．
16．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．
【答案】
【分析】根据公式法可得的值，由此即可得．
【详解】解：设该方程为，
由得：，
则该方程为，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．
17．一元二次方程的根的情况是______．
【答案】有两个相等的实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由一元二次方程可得：，
∴，
∴一元二次方程的根的情况是有两个相等的实数根；
故答案为：有两个相等的实数根．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18．方程的二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．该方程判别式的值为_________，由此可以判断它的根的情况为___________．
【答案】2 -6 3 12 有两个不相等的实数根
【分析】先将方程化为一般形式，再计算出判别式的值，根据结果判断根的情况．
【详解】解：化简可得：，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为3，
该方程判别式的值为，
由此可以判断它的根的情况为：有两个不相等的实数根，
故答案为：2；-6；3；12；有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握定义和根的判别式．
19．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为___．
【答案】c≤
【分析】直接利用根的判别式判断得出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×c≥0，
∴c≤，
故答案为：c≤．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用.
20．M（a，b）是一次函数y=x+3图像上一点，则关于x的方程ax2+bx+1=0的根的情况是____
【答案】有实数根
【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=a+3，再讨论：当a=0时，b=3，方程ax2+bx+1=0化为3x+1=0，方程有解；当a≠0，计算判别式得到△=（a+1）2+8＞0，根据判别式的意义判断此时方程有两个不相等的实数解，从而得到关于x的方程ax2+bx+1=0有实数解．
【详解】解：∵M（a，b）是一次函数y=x+3图象上一点，
∴b=a+3，
当a=0时，b=3，方程ax2+bx+1=0化为3x+1=0，解得x=；
当a≠0，△=b2-4ac=（a+3）2-4a=a2+2a+9=（a+1）2+8＞0，此时方程有两个不相等的实数解；
所以关于x的方程ax2+bx+1=0有实数跟．
故答案为：有实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题
21．公式解一元二次方程
【答案】
22．不解方程，判别关于x的方程的根的情况．
【答案】方程有两个实数根．
【详解】：，
，
，
，即，
方程有两个实数根．
23．不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
（1）；
（2）．
【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根
【分析】（1）根据根的判别式即可判断；
（2）根据根的判别式即可判断；
【详解】解：（1）由题得：
∴原方程没有实数根；
（2）由题得：
∴原方程有两个不相等的实数根．
【点评】此题主要考查一元二次方程方程根的情况判断，解题的关键是熟知根的判别式的性质特点．
24．已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把代入方程得，然后求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：（1）把代入方程得，
∴，即，
解得：；
（2）∵该方程无实数根，
∴，
解得：．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．
25．解方程：（公式法）
【答案】
【分析】先确定a、b、c的值，求出，再代入公式计算即可．
【详解】解：∵a=3，b=-6，c=2，
∴，
∴
∴原方程的解为．
【点评】此题考查公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．
26．按要求解下列方程：
用配方法解：（1）x2﹣4x+1＝0．
用公式法解：（2）．
【答案】(1) x1＝2+，x2＝2﹣；(2) x1＝，x2＝．
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：（1），
∵x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
则x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2），
∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，
∴△＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝3＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法解一元二次方程．
27．已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一个根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x2＋px＋q＝0有两个不等的实数根；
（3）若方程x2＋px＋q＋1＝0有两个相等的实数根，求方程x2＋px＋q＝0两根．
【答案】（1）q＝－2p－5；（2）见解析；（3）x1＝1，x2＝3
【分析】（1）根据方程的解满足方程，把代入已知方程，可求得q关于p的关系式；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，可得到判别式大于零，根据不等式求解即可；
（3）根据方程有两个相等的实数根，可得判别式等于零，根据解方程组，可得p，q的值，根据因式分解法，可得方程的解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一根为2，
∴4＋2p＋q＋1＝0，
∴q＝－2p－5．
（2）∵x2＋px＋q＝0，
∴Δ＝p2－4q＝p2－4（－2p－5）＝（p＋4）2＋4＞0，
∴方程x2＋px＋q＝0有两个不等的实数根，
（3）∵x2＋px＋q＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝p2－4（q＋1）＝0，
由（1）可知q＝－2p－5，联立方程组得，
解得，
把代入x2＋px＋q＝0，
得x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，准确分析计算是解题的关键．
28．解方程：（1） （2）
【答案】（1）x1=1，x2=-5；（2）x1=，x2=3
【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴或，
解得：x1=1，x2=-5；
（2），
∵a=2，b=-5，c=-3，
∴△=25-4×2×（-3）=49＞0，
∴x=，
解得：x1=，x2=3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
29．定义新运算，对干任意实数．都有．例如：．若的值小于．请判断方程：的根的情况．
【答案】方程有两个不相等的实数根．
【分析】由2☆a的值小于0知4a+a=5a＜0，得a＜0．然后利用根的判别式进行判断，可得答案．
【详解】解：的值小于，
，
解得：
在方程中，
，
方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b24ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
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