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21.2.3：因式分解法解一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．若x，y都是负数，且，则的值是（ ）
A． B． C．5 D．
3．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
5．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
6．用下列哪种方法解方程3（x﹣2）2＝2x﹣4比较简便（ ）
A．直接开平方 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
7．下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是( )
A．（x-1）（x-2）=3 B．x2 +4x=23
C．x2+2x-1=0 D．（x-3）2=x2-9
8．小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）
A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=0
9．方程(x﹣1)(x+2)＝x﹣1的解是( )
A．x＝﹣2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3
10．下列解方程的过程，正确的是（ ）
A．．两边同除以，得
B．．直接开平方法，得
C．．∵，， ∴，
D．，整理得， ∴，
11．解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（ ）
A． B． C． D．
12．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为( )
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
13．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
二、填空题
14．我们之前学过了几种解一元二次方程的方法？
__________________；
_______________；
_____________
15．把一个多项式分解成几个_______________的形式叫做分解因式．
16．分解因式的方法：
（1）提公因式法：am＋bm＋cm＝_____________；
（2）公式法：＝_________ ，＝___________．
17．对于一元二次方程，因为方程的右边为0，左边可以因式分解，得_______________，这个方程左边是两个___________的乘积，右边是0.那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.所以x＝0或10－5x＝0，所以方程的两根是____________．
18．使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，而使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做________________．
19．因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）方程右边化为______________；
（2）将方程左边化为两个____________的相乘；
（3）分别使各个一次因式________，得到两个一元一次方程；
（4）解所得的________________________；
（5）写出方程的解．
20．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是____________．
21．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____．
三、解答题
22．因式分解法解方程：
（1）；
（2）
23．用因式分解法解下列方程：
（1）3（x+2）2＝2（x+2）；
（2）（2x+3）2-25＝0．
24．阅读下列解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程两边都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
①第一步方程左边分解因式的方法是______，解方程的过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______；
②请直接写出方程的根为_______．
25．由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：．
（1）分解因式：
（2）请用上述方法解方程：
26．小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
27．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式；
（2）请将整式分解因式；
（3）若，求的值．
28．对于三个实数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用min表示这三个数中最小的数．例如：，min，min．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）____________；
（2）若min，则整数的值是_____________；
（3）若min，求的值．
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21.2.3：因式分解法解一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
2．若x，y都是负数，且，则的值是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】将x+y看作一个整体，把已知等式进行因式分解即可求出x+y的值．
【详解】解：，
∴，
即，
可得或．
∵x，y都是负数，
∴x+y＜0，
∴，
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是利用整体思想，掌握因式分解法．
3．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解法即可求解．
【详解】解
∴或
解得
故选：D．
【点评】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】解出该一元二次方程即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
5．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
【答案】D
【分析】先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．
【详解】解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
6．用下列哪种方法解方程3（x﹣2）2＝2x﹣4比较简便（ ）
A．直接开平方 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【答案】D
【分析】此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x-2），移项后可把（x-2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．
【详解】解：由方程3（x-2）2=2x-4知：
两边有公因式x-2，
因此用因式分解法解方程3（x-2）2=2x-4比较简便．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
7．下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是( )
A．（x-1）（x-2）=3 B．x2 +4x=23
C．x2+2x-1=0 D．（x-3）2=x2-9
【答案】D
【分析】先观察每个方程的特点，根据方程的特点逐个判断即可．
【详解】解：A、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
B、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
C、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
D、最适合用分解因式解方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
8．小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）
A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=0
【答案】D
【详解】x2-x=0，因式分解得：x（x-1）=0，可化为x=0或x-1=0，解得：x1=0，x2=1，
则被漏掉的一个根为0．故选D.
9．方程(x﹣1)(x+2)＝x﹣1的解是( )
A．x＝﹣2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3
【答案】C
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：方程整理得：(x﹣1)(x+2)﹣(x﹣1)＝0，
分解因式得：(x﹣1)(x+1)＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程解法，熟练利用因式分解法解一元二次方程是关键，注意不要两边同时除以(x﹣1)，因为(x﹣1)可能为0．
10．下列解方程的过程，正确的是（ ）
A．．两边同除以，得
B．．直接开平方法，得
C．．∵，， ∴，
D．，整理得， ∴，
【答案】D
【分析】分别利用因式分解法以及直接开平方和公式法解方程进而得出正确答案．
【详解】解：A、x=x，移项得：x-x=0，解得：x=0，x=1，故此选项错误；
B、x+4=0，则x=-4，此方程无解，故此选项错误；
C、（x-2）（x+1）=3×2，应先去括号整理得出：x-x-8=0，解得：x=，x= x=，故此选项错误；
D、（2-3x）+（3x-2）=0．整理得3（3x-2）（x-1）=0，∴x= ，x=1，此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解法以及直接开平方和公式法解方程，熟练记忆求根公式是解题关键．
11．解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过设元，然后把用倒数法转换为，把方程变为y的方程，再整理去分母即可．
【详解】设，，原方程变为y-+3=0，
方程两边都乘以y得，，
把原方程变形成整式方程为：．
故选：D．
【点评】本题考查高次方程的解法，掌握换元的方法，有倒数换元法，平方换元法，根据方程的特点选取适当的换元方法，会用换元法进行判断，选择，或解方程是解题关键．
12．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为( )
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
【答案】A
【分析】先求出方程的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边，即可求出菱形的周长.
【详解】，
，
，，
当时，由菱形的对角线的一条对角线和菱形的两边，不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当时，由菱形的对角线的一条对角线和菱形的两边，能组成三角形，即存在菱形，菱形的周长为.
故选.
【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，解本题的关键是确定出菱形的边长，难点是用三角形的三边关系判断符合条件的的值，也是易错点.
13．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【答案】D
【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
二、填空题
14．我们之前学过了几种解一元二次方程的方法？
__________________；
_______________；
_____________
【答案】直接开平方法 配方法 公式法
15．把一个多项式分解成几个_______________的形式叫做分解因式．
【答案】整式乘积
16．分解因式的方法：
（1）提公因式法：am＋bm＋cm＝_____________；
（2）公式法：＝_________ ，＝___________．
【答案】m（a＋b＋c） （a＋b）（a－b）
17．对于一元二次方程，因为方程的右边为0，左边可以因式分解，得_______________，这个方程左边是两个___________的乘积，右边是0.那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.所以x＝0或10－5x＝0，所以方程的两根是____________．
【答案】 一次因式 ，
18．使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，而使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做________________．
【答案】因式分解法
19．因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）方程右边化为______________；
（2）将方程左边化为两个____________的相乘；
（3）分别使各个一次因式________，得到两个一元一次方程；
（4）解所得的________________________；
（5）写出方程的解．
【答案】0 一次因式 等于0 两个一元一次方程
20．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是____________．
【答案】y2﹣2y+1＝0
【分析】利用换元法，再化成整式方程即可．
【详解】解：设，则原方程可变为：y+＝2，
化为整式方程为y2﹣2y+1＝0，
故答案为：y2﹣2y+1＝0．
【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
21．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____．
【答案】1或-9
【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．
【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．
①若x=0是两个方程相同的实数根．
将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，
∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，
解得：x1=0，x2=-3，符合题意，
∴m=1；
②若x=2是两个方程相同的实数根．
将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，
∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0，
解得：x1=2，x2=-5，符合题意，
∴m=-9．
综上所述：m的值为1或-9．
故答案为：1或-9．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．
三、解答题
22．因式分解法解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），；（2），
【详解】（1）因式分解，得：，
得：或，
，．
（2）化为一般式为：，
因式分解，得：
得：或，
，．
23．用因式分解法解下列方程：
（1）3（x+2）2＝2（x+2）；
（2）（2x+3）2-25＝0．
【答案】（1）x1＝-2，x2＝-；（2）x1＝1，x2＝-4
【分析】（1）把“x+2”看做一个整体,移项后利用提公因式法因式分解，继而用因式分解法即可求解；
（2）把“2x+3”看做一个整体，利用平方差公式因式分解，继而用因式分解法即可求解．
【详解】解：（1）移项．得3（x+2）2-2（x+2）＝0，
（x+2）（3x+6-2）＝0．
∴x+2＝0或3x+4＝0，
∴x1＝-2，．
（2）（2x+3-5）（2x+3+5）＝0，
∴2x-2＝0或2x+8＝0，
∴x1＝1，x2＝-4
【点评】本题考查利用因式分解法解一元二次方程．（1）中方程求解时，不能两边同时除以（x+2），否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．（2）可用平方差公式分解．
24．阅读下列解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程两边都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
①第一步方程左边分解因式的方法是______，解方程的过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______；
②请直接写出方程的根为_______．
【答案】①公式法，二，x﹣3可能为0；②x1＝3，x2＝﹣1．
【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；
②利用公式法求解即可．
【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：x﹣3可能为0，
故答案为：公式法，二，x﹣3可能为0；
②∵x2﹣9＝2（x﹣3），
∴（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），
∴（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】考核知识点：因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
25．由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：．
（1）分解因式：
（2）请用上述方法解方程：
【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），
【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；
（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解．
【详解】（1）
故答案为：2，4（或4，2）；
（2）∵，
或，
解得：，．
【点评】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键．
26．小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
27．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式；
（2）请将整式分解因式；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】（1）根据整式加减法即可求出；
（2）先根据整式加法算出，再利用公式法，公因式法分解即可；
（3）把带入，利用十字相乘即可求的值．
【详解】解 :（1）
（2）
（3）由题意得，
【点评】本题考察了整式计算，因式分数，一元二次方程计算，属于基础题型．
28．对于三个实数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用min表示这三个数中最小的数．例如：，min，min．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）____________；
（2）若min，则整数的值是_____________；
（3）若min，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【分析】依题意，（1）依据定义进行平均值的求解即可；
（2）依据定义分类讨论进行比较，即可；
（3）结合和的定义，进行方程的求解，即可；
【详解】由题知，（1）依据定义，表示这三个数的平均数；
∴ ；
（2）依据表示这三个数中最小的数；又；
∴ ，得，；又为整数；
∴ 整数的值是：2、3；
（3）依据表示这三个数的平均数；依据表示这三个数中最小的数；又；且
∴，∴，
∴或；
【点评】本题考查平均数和一元二次方程的性质，关键在利用新的定义列等式和计算；
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