中小学教育资源及组卷应用平台
21.3：一元二次方程根与系数的关系--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．一元二次方程的两根，，则下列式子中正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
2．若方程3-4x-4=0的两个实数根分别为，，则 =（ ）
A．-4 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：如果一元二次方程a+bx+c=0的两根为和，则+=，=，根据方程可得：+=.
考点：韦达定理
3．若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．－3 B．－4
C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之和．
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，且a＝1，b＝﹣3，
∴x1+x2＝＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
4．已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】已知方程的根，
，
即，
，
．
．
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
5．下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系可对A、B、D进行判断；根据根的判别式对C进行判断．
【详解】解：A、x1+x2=0，所以A选项不符合；
B、x1+x2=2，所以B选项符合；
C、Δ=4-4×2＜0，方程没有实数根，所以C选项不符合；
D、x1+x2=-2，所以D选项不符合．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1 x2=，也考查了一元二次方程的根的判别式．
6．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据、是一元二次方程的两个根得到，再将变形为，然后代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴
∵，
∴，
选D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．
7．关于方程的两根的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．无实数根
【答案】D
【分析】根据判别式的意义进行判断．
【详解】解：Δ=b2-4ac=-8＜0，Δ=22-4×3=-8＜0，此无实数根，
故选D.
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，也考查了判别式的意义．
8．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出，，将变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出和是解此题的关键．
9．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出再代入分式计算，即可求得．
【详解】解：由根与系数的关系得： ，
,
即,
解得：或,
而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴
故选C．
【点评】本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．
10．若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察两个式子，可把两个式子整理成形式相同的式子，然后根据根与系数的关系可以求出所求代数式的值．
【详解】解：，，
，，
又，
，
故a和可看成方程的两根，
再运用根与系数的关系得，
即．
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、等式的性质，解题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．
11．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【分析】利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
整理得出：，
解得：，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根与系数的关系：，．
二、填空题
12．方程的求根公式x＝__________________．
【答案】
13．把方程的左边展开，化成一般形式，得方程__________________，这个方程的二次项系数为_______，一次想系数p＝___________，常数项q＝_______，于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：___________，＝___________
【答案】 1 －p q
14．一般地，一元二次方程，根据求根公式可知：
，，
＋＝＝，
＝＝，
因此，方程的两个根，和系数a，b，c有如下的关系：
，＝，
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于_________与___________的比的相反数，两个根的积等于__________与____________的比．
【答案】一次项系数 二次项系数 常数项 二次项系数
15．若是一元二次方程的两个根，则的值是_________．
【答案】15
【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15.
故答案为：15.
考点： 根与系数的关系．
16．已知，是方程的两根，则的值为__________．
【答案】13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-2，再利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=-2，
所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=32-2×（-2）=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
17．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是______．
【答案】6
【分析】设方程的另一个根是m，则利用根与系数的关系，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，设方程的另一个根是m，则
利用根与系数的关系有：
，
解得：，
∴方程的另一个根为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系进行解题．
18．若a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，则（2a﹣1）（2b﹣1）＝____．
【答案】﹣2021．
【分析】由根与系数的关系可求得与的值，代入求值即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
19．若是一元二次方程的两个根，则______________．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系先求出x1+x2，x1x2的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=3，x1x2=1，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
20．已知关于的方程的一个根是-2，则它的另一个根是_______．
【答案】
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到-2t=-3，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得-2t=-3，解得t=，
即方程的另一个根是，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
21．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则=_____．
【答案】
【分析】根据韦达定理，得到x1+x2=2，x1 x2=﹣1，然后再代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，
∴由韦达定理，得：x1+x2=2，x1 x2=﹣1，
∴；
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
22．设一元二次方程的两根分别为、，以、为根的一元二次方程是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别计算出方程的两根之和与两根之积；接着将、变形为、的值，从而求出、的值；最后根据一元二次方程根与系数的关系即可得到以、为根的一元二次方程．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系知：，，
则，，
所求方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，，．
23．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
三、解答题
24．关于x的一元二次方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．
（1）已知k＝2，求x1＋x2＋x1x2．
（2）若x1＝3x2，试求k值．
【答案】（1）3；（2）6
【分析】（1）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝4、x1x2＝k﹣3＝﹣1，将其代入x1＋x2＋x1x2中即可求出结论；
（2）根据x1＋x2＝4、x1＝3x2，即可求出x1、x2的值，将其代入k＝x1x2＋3中可求出k值．
【详解】解：（1）∵方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，
∴x1＋x2＋x1x2＝4﹣1＝3．
（2）∵x1＋x2＝4，x1＝3x2，x1x2＝k﹣3
∴x1＝3，x2＝1，
∴k＝x1x2＋3＝6．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求的值．
【答案】（1）m＜3且m≠2；（2）6
【分析】（1）由△＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知m=1，还原方程，利用根与系数的关系求解可得．
【详解】解：（1）由题意知，△=（-2）2-4（m-2）＞0，
∴m＜3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m＜3且m≠2；
（2）∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程为，即，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-1，
∴．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
21.3：一元二次方程根与系数的关系--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．一元二次方程的两根，，则下列式子中正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．若方程3-4x-4=0的两个实数根分别为，，则 =（ ）
A．-4 B．3 C． D．
3．若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．－3 B．－4
C．3 D．4
4．已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．关于方程的两根的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．无实数根
8．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
9．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
10．若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
11．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
二、填空题
12．方程的求根公式x＝__________________．
13．把方程的左边展开，化成一般形式，得方程__________________，这个方程的二次项系数为_______，一次想系数p＝___________，常数项q＝_______，于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：___________，＝___________
14．一般地，一元二次方程，根据求根公式可知：
，，
＋＝＝，
＝＝，
因此，方程的两个根，和系数a，b，c有如下的关系：
，＝，
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于_________与___________的比的相反数，两个根的积等于__________与____________的比．
15．若是一元二次方程的两个根，则的值是_________．
16．已知，是方程的两根，则的值为__________．
17．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是______．
18．若a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，则（2a﹣1）（2b﹣1）＝____．
19．若是一元二次方程的两个根，则______________．
20．已知关于的方程的一个根是-2，则它的另一个根是_______．
21．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则=_____．
22．设一元二次方程的两根分别为、，以、为根的一元二次方程是________．
23．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
三、解答题
24．关于x的一元二次方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．
（1）已知k＝2，求x1＋x2＋x1x2．
（2）若x1＝3x2，试求k值．
25．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
