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21.4：实际问题与一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315
C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝315
2．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
4．某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
5．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（ ）
A．4（1＋）＝64 B．4（1＋）＝400 C．4＝64 D．4＝400
6．“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则x满足的方程是（ ）
A．1+x2＝81 B．（1+x）2＝81
C．1+x+x2＝81 D．1+x+（1+x）2＝81
9．1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔（宽）为步，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．为改善居住环境，我县2019年投入治理黑臭水体2500万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+2x）＝12000
B．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000
C．2500（1+x）2＝12000
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
11．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（ ）
A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91
12．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为m，则的长为（ ）
A．20m或5m B．25m或5m C．5m D．20m
13．若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（ ）
A．不存在这样的值 B．有两个相等的的值
C．有两个不相等的的值 D．无法确定
14．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（ ）
A．200 B．150 C．150或200 D．200或300
二、填空题
15．解一元二次方程的方法有____________ 、__________、__________、__________．
16．列一元一次方程应用题的步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）找等量关系；（4）______；（5）___________；（6）作答
17．列一元二次方程解用用题的一般步骤：
（1）审题，明确已知和未知；
（2）找相等关系，设未知数；
（3）_____________；
（4）_____________；
（5）检验根的合理性；
（6）作答．
18．某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资亿元，设年平均增长率为，则由题意可列方程________．
19．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为__．
20．据美国约翰斯 霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．
21．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒150元下调至96元，求这种药品平均每次降价的百分率是_____．
22．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为_________．
23．两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是______．
24．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，当梯子的顶端沿墙向下滑的距离与梯子底端向外移的距离相等时，的长是______．
三、解答题
25．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有 人，有 人被传染，
第二轮的传染源有 人，有 人被传染，
两轮过后共有 人患了流感？
你能根据问题中的数量关系列出方程并解答吗？
26．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
27．有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
28．某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．
（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑
（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．
29．商场出售的某品牌电脑原价为每台5000元，随着暑期来临，开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．求平均每次下调的百分率．
30．青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8712kg．
（1）求水稻每公顷产量的年平均增长率；
（2）2010年水稻平均每千克的成本为2元，每千克的售价为3元，2011年水稻平均每千克的成本比2010年的增加了10%，若2011年平均每公顷水稻的利润比2010年至少增加720元，则2011年平均每千克水稻的售价最少应为多少元
31．如图，用一块长为100cm，宽为60cm的矩形纸片制作一个无盖的盒子，若在纸片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm．
（1）底面的长AB＝ cm，宽BC＝ cm（用含x的代数式表示）；
（2）当做成盒子的底面积为3200cm2时，求该盒子的底面长和宽．
32．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销．经市场调研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
（1）降价促销后商场每件商品盈利______元，平均每天日销售量增加______件；
（2）在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多少元？
33．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
34．某商场“五一节”进行促销活动期间，前四天的总营业额为450万元，第五天的营业额是前四天总营业额的12%．
（1）求该商场“五一节”这五天的总营业额；
（2）该商场2月份的营业额为350万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一节”这五天的总营业额与4月份的营业额相等．求该商场3、4月份营业额的月增长率．
35．为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
36．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
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21.4：实际问题与一元二次方程--同步试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315
C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝315
【答案】B
【详解】试题分析：根据题意，设设每次降价的百分率为x，可列方程为560（1-x） =315.
故选B
2．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【详解】设每人每轮平均感染人，由题意得，
x（x+1）+x+1=81，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．
3．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故选B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
4．某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
【答案】B
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的矩形，利用种植的面积＝合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，
依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
故选B．
【点评】本题主要考查一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是要根据图形面积公式列一元二次方程.
5．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（ ）
A．4（1＋）＝64 B．4（1＋）＝400 C．4＝64 D．4＝400
【答案】C
【分析】原有4个红球，1分钟后红球数为个，2分钟新增加的红球数为个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论．
【详解】根据题意得：，
即：，
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．
6．“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销售量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得五、六月份的销售量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+ 50(1+x)2=182．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
7．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】C
【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC=55且AD=BC可得AD=BC=55-2x 米，再由长方形的面积公式可得答案．
【详解】解：设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55-2x米，
根据题意可得，x(55-2x)=375，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则x满足的方程是（ ）
A．1+x2＝81 B．（1+x）2＝81
C．1+x+x2＝81 D．1+x+（1+x）2＝81
【答案】B
【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可．
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．
根据题意，得：1+x+x（1+x）＝81，
整理得：（1+x）2＝81，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
9．1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔（宽）为步，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设宽为x步，则长为（x+12）步，根据面积等于长乘以宽列出方程即可
【详解】∵宽为x步，则长为（x+12）步，
∴，
故选C．
【点评】本题考查了矩形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的面积计算公式，准确列出一元二次方程是解题的关键．
10．为改善居住环境，我县2019年投入治理黑臭水体2500万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+2x）＝12000
B．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000
C．2500（1+x）2＝12000
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
【答案】D
【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2019年投入教育经费+2019年投入教育经费×（1+增长率）+2019年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程．
【详解】解：设每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．
故选：D．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于根据题意列出方程.
11．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（ ）
A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91
【答案】B
【分析】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，
根据题意得：x2+x+1＝91．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据主干、枝干和小分支的总数是91，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
12．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为m，则的长为（ ）
A．20m或5m B．25m或5m C．5m D．20m
【答案】D
【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49＋1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程解答即可．
【详解】解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49＋1﹣2x）m，
依题意得：x（49＋1﹣2x）＝200，
化简，得x2－25x＋100＝0，
解得：x1＝5，x2＝20
当x＝5时，49＋1－2x＝40＞35，故舍去
所以AB长为20m．
故选D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，分析清楚数量关系是解题关键．
13．若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（ ）
A．不存在这样的值 B．有两个相等的的值
C．有两个不相等的的值 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意列出方程，整理为一元二次方程的一般式，然后利用根的判别式即可判断根的情况．
【详解】解：由题意，得，
整理得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，，
故选C．
【点评】本题主要考查列一元二次方程与一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根；上面结论反过来也成立．
14．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（ ）
A．200 B．150 C．150或200 D．200或300
【答案】A
【分析】设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可；
【详解】设购买洗手液x瓶，
∵＜，
∴＞，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案选A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
二、填空题
15．解一元二次方程的方法有____________ 、__________、__________、__________．
【答案】直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
16．列一元一次方程应用题的步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）找等量关系；（4）______；（5）___________；（6）作答
【答案】列方程 解方程
17．列一元二次方程解用用题的一般步骤：
（1）审题，明确已知和未知；
（2）找相等关系，设未知数；
（3）_____________；
（4）_____________；
（5）检验根的合理性；
（6）作答．
【答案】列方程 解方程
18．某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资亿元，设年平均增长率为，则由题意可列方程________．
【答案】10（1+x）2=14.4
【分析】首先设每年投资的增长率为x．根据2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，可列方程．
【详解】解：设每年投资的增长率为x，
根据题意，得：10（1+x）2=14.4，
故答案为：10（1+x）2=14.4．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n=b其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，b是第三年数据．
19．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为__．
【答案】2
【分析】根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．
依题意，得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，
整理，得：2x2﹣33x＋58＝0，
解得：x1＝2，x2＝14.5（不合题意，舍去）．
答：x的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
20．据美国约翰斯 霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．
【答案】11
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，然后由题意可得，进而求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均每人传染了11人；
故答案为11．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
21．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒150元下调至96元，求这种药品平均每次降价的百分率是_____．
【答案】20%
【解析】
设这种药品平均每次降价的百分率是x,依题意得：
，
解得 （不合，舍去），
∴
故答案为20%.
点睛：（1）两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2，
若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b ，
则 第1次增长后的量是，
第2次增长后的量是，
…… 第n次增长后的量是；
（2）两次降低后的量=原来的量(1-降低率)2，
若原来为a,平均降低率是x,降低后的量为b ，
则 第1次降低后的量是，
第2次降低后的量是 ，
……第n次降低后的量是；
即n次平均增长（降低）率公式：.
22．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为_________．
【答案】4或-2
【分析】根据运算程序列出方程求解即可．
【详解】解：由运算程序可知
解得，
故答案为：4或-2
【点评】本题考查列一元二次方程和解一元二次方程，解答关键是根据题意列出方程．
23．两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是______．
【答案】14或
【分析】先设出相邻的最小偶数，用偶数的性质表示对大的偶数，根据题意构造方程，解这个方程即可
【详解】解：设两个相邻偶数分别为n，n+2,
根据题意
整理得
配方得
∴
∴,
∴，
这两个相邻偶数中较大的数是14或-12
【点评】本题考查一元二次方程数字问题应用题，掌握一元二次方程数字问题应用题方法与步骤，注意偶数的表示，连续偶数的表示是解题关键．
24．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，当梯子的顶端沿墙向下滑的距离与梯子底端向外移的距离相等时，的长是______．
【答案】1.4
【分析】由题意易得，设AC=BD=xm，则有，然后利用勾股定理可建立方程求解．
【详解】解：由题意得：∠AOB=90°，，，
∴，
设AC=BD=xm，则有，
∴在Rt△COD中，，即，
解得：（舍去），
∴；
故答案为1.4．
【点评】本题主要考查勾股定理及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理及一元二次方程的解法是解题的关键．
三、解答题
25．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有 人，有 人被传染，
第二轮的传染源有 人，有 人被传染，
两轮过后共有 人患了流感？
你能根据问题中的数量关系列出方程并解答吗？
【答案】1，x，1＋x，x（1＋x），1＋x＋ x（1＋x）；每轮传染中平均一个人传染了10个人．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
列方程 ，
解方程，得：，，
根据题意，舍，
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
26．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
【答案】6
【详解】试题分析：本题考查单循环的计算公式，带入公式即可.
试题解析：设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得 解得 (舍去)，答：邀请6支球队参加比赛.
27．有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
【答案】这个两位数是24.
【分析】设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，进而可表示出这个两位数；再根据“这个两位数等于其各位数字之积的3倍”可列出关于x的方程，通过解方程问题就迎刃而解了.
【详解】设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，这个两位数是[10(x－2)＋x].
根据题意，得10(x－2)＋x＝3x(x－2)，
整理，得3x2－17x＋20＝0，5分
解得x1＝4，x2＝ (不合题意，舍去).
当x＝4时，x－2＝2，
∴这个两位数是24.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用---数字问题，解题关键是掌握数字的表示方法，找出题目中的等量关系.
28．某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．
（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑
（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．
【答案】（1）3台；（2）四
【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论．
【详解】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．
（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，
经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，
，
四轮感染后机房内所有电脑都被感染．
故答案为：四．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．商场出售的某品牌电脑原价为每台5000元，随着暑期来临，开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．求平均每次下调的百分率．
【答案】平均每次下调的百分率为10%
【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据原价可得第一次降价后的价格为5000（1-x），进而可得第二次降价后的价格为5000（1-x）2，即可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可得答案．
【详解】设平均每次下调的百分率为x，
∵原价为每台5000元，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元，
∴5000（1-x）2=4050，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，正确找出等量关系列出方程是解题关键．
30．青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8712kg．
（1）求水稻每公顷产量的年平均增长率；
（2）2010年水稻平均每千克的成本为2元，每千克的售价为3元，2011年水稻平均每千克的成本比2010年的增加了10%，若2011年平均每公顷水稻的利润比2010年至少增加720元，则2011年平均每千克水稻的售价最少应为多少元
【答案】（1）水稻每公顷产量的年平均增长率为10%；（2）2011年平均每千克水稻的售价至少为应为3.2元．
【分析】（1）设水稻每公顷产量的年平均增长率为，2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8712kg，列出一元二次方程，求出两个根，取正值即可得出答案；
（2）设2011年平均每千克水稻的售价为元，利用平均每公顷水稻的利润=每千克的利润×平均每公顷的产量，结合2011年平均每公顷水稻的利润比2010年至少增加720元，即可列出关于a的不等式，解出取其最小值即可得出答案．
【详解】（1）设水稻每公顷产量的年平均增长率为，
根据题意可列方程：
解得：，（不合题意，舍去），
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%；
（2）设2011年平均每千克水稻的售价为元，
根据题意可列不等式：
，
解得：
答：2011年平均每千克水稻的售价至少为应为3.2元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出不等式．
31．如图，用一块长为100cm，宽为60cm的矩形纸片制作一个无盖的盒子，若在纸片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm．
（1）底面的长AB＝ cm，宽BC＝ cm（用含x的代数式表示）；
（2）当做成盒子的底面积为3200cm2时，求该盒子的底面长和宽．
【答案】（1）（100-2x），（60-2x）；（2）底面长为80cm，宽为40cm
【分析】（1）利用矩形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出AB与BC的长即可；
（2）根据（1）中求得的长与宽以及盒子的底面积为3200cm2得出x的值，即可求出盒子的底面长与宽．
【详解】解：（1）根据题意得，
底面的长AB=（100-2x）cm，宽BC=（60-2x）cm，
故答案为：（100-2x），（60-2x）；
（2）根据题意得，
（100-2x）（60-2x）=3200，
整理得：x2-80x+700=0，
解得：x1=10，x2=70（不符合题意，舍去），
∴100-2x=80，60-2x=40，
答：该盒子的底面长为80cm，宽为40cm．
【点评】本题考查了矩形面积公式的运用以及解一元二次方程，分别找出底面的长和宽是解题的关键．
32．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销．经市场调研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
（1）降价促销后商场每件商品盈利______元，平均每天日销售量增加______件；
（2）在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多少元？
【答案】（1）(50﹣x)，2x；（2）商场每件商品要降价20元
【分析】（1）直接利用盈利-降价=降价后盈利，再结合每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，进而得出答案；
（2）利用销量×每件利润=2400，进而得出等式求出答案．
【详解】解：（1）降价促销后商场每件商品盈利：（50﹣x）元，
平均每天日销售量增加：2x 元；
故答案为：（50﹣x），2x；
（2）由题意列方程为：（50﹣x）（40+2x）＝2400，
解得：x1＝20，x2＝10（不合题意，舍去），
答：商场每件商品要降价20元，即让利消费者又能实现2400元的日盈利．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每件利润是解题关键．
33．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）不可能，见解析
【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
34．某商场“五一节”进行促销活动期间，前四天的总营业额为450万元，第五天的营业额是前四天总营业额的12%．
（1）求该商场“五一节”这五天的总营业额；
（2）该商场2月份的营业额为350万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一节”这五天的总营业额与4月份的营业额相等．求该商场3、4月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）该商场3、4月份营业额的月增长率为20%
【分析】（1）该商场“五一节”这五天的总营业额＝前四天的总营业额+第五天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商场3、4月份营业额的月增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份的营业额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）450+450×12%＝450+54＝504（万元）．
答：该商场“五一节”这五天的总营业额为504万元．
（2）设该商场3、4月份营业额的月增长率为x，
依题意得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商场3、4月份营业额的月增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
【答案】（1）（﹣x+30）米；（2）20m或40m.
【分析】（1）设BE＝am，则AE＝2am，AB＝3am，根据围网的总长度为120m，即可用含x的代数式表示出a，再将其代入AE＝2a中即可得出结论；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设BE＝am，而
区域①②③的面积相等，
AE＝2am，AB＝3am，
依题意得：2×3a+2a+2x＝120，
∴a＝﹣x+15，
∴AE＝2a＝﹣x+30，
∴AE的长为（﹣x+30）m．
（2）依题意得：3a x＝600，
即3（﹣x+15）x＝600，
整理得：x2﹣60x+800＝0，
解得：x1＝20，x2＝40．
答：BC的长为20m或40m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于准确找到等量关系列出方程求解.
36．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
【答案】（1）同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；（2）不存在，理由见详解
【分析】（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，用x表示出PC，CQ，根据勾股定理可列方程求解．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，由题意得：
，
解得：x＝2或x＝，
答：同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
，
y2 6y＋12＝0，
∵△＝36 4×12＜0，
∴方程无解，即：不存在．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理，和一元二次方程的判别式，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
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