2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.5确定二次函数表达式 同步练习题（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.5确定二次函数表达式 同步练习题（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 419.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 10:16:50 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.5确定二次函数表达式》同步练习题（附答案）
1．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
2．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．
所有正确结论的序号为 ．
4．如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B，D的坐标分别为B（0，﹣1），D（0，3），A点在第二象限．则A点的坐标为 ，以B点为顶点，经过A，C两点的抛物线的解析式为 ．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4．
（1）抛物线的对称轴是直线x＝ ；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的解析式；
（3）若a＞0，对于抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
7．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
8．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），B（4，5）．
（1）求此抛物线表达式及顶点M的坐标；
（2）设点M关于y轴的对称点是N，此抛物线在A，B两点之间的部分记为图象W（包含A，B两点），经过点N的直线l：y＝mx+n与图象W恰一个有公共点，结合图象，求m的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣3+4m﹣m2的对称轴是直线x＝1
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＞y2，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线y＝kx﹣4（k≠0）有交点，求k的取值范围．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G有唯一公共点，请结合图象，求n的取值范围．
13．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x＝4于B点．
（1）抛物线的对称轴为x＝ （用含m的代数式表示）；
（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；
（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．
14．已知二次函数的图象经过（0，0）、（1，﹣1）、（﹣2，14）三点，
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）设这个二次函数的图象与直线y＝x+t（t≤1），相交于（x1，y1），（x2，y2）两点（x1≠x2），求：t的取值范围．
15．已知：点P（m，n）为抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上一动点．
（1）P1（1，n1），P2（3，n2）为P点运动所经过的两个位置，判断n1，n2的大小，并说明理由；
（2）当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，求抛物线的解析式．
16．二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣3，0）和（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线；
（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的取值范围．
18．已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x＝﹣2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式．
19．已知：抛物线y＝ax2+x+2．
（1）当对称轴为时，求此抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若代数式﹣x2+x+2的值为正整数，求x的值．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2bx+b的图象的顶点在x轴的负半轴上，求出此二次函数的解析式．
21．已知抛物线y＝﹣x2+（m+2）x+3m﹣20经过点（1，﹣3），求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标．
22．已知直线y＝mx+n经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点P（1，7），与抛物线的另一个交点为M（0，6），求直线和抛物线的解析式．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1），B（0，﹣2），C（1，1）．
（1）求抛物线的解析式以及它的对称轴；
（2）求这个函数的最值．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴相交于点（0，﹣3），并经过点（﹣2，5），它的对称轴是x＝1，如图为函数图象的一部分．
（1）求函数解析式，写出函数图象的顶点坐标；
（2）在原题图上，画出函数图象的其余部分；
（3）如果点P（n，﹣2n）在上述抛物线上，求n的值．
参考答案
1．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
2．解：∵函数图象的顶点在x轴上，当x＜1时，y随x的增大而减小；
∴可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，
∵该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同，
∴二次项系数为1，
∴满足条件二次函数表达式可为y＝（x﹣1）2．
故答案为y＝（x﹣1）2．
3．解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线y1的表达式为：y1＝﹣x2+x+3，顶点（，）；
同理可得：y2＝﹣x2+x+3，顶点坐标为：（，）；
y3＝﹣x2+x+3，顶点坐标为（1，）；
y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；
①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；
②当x＜0时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意；
③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意；
④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．
故答案为：①④．
4．解：根据题意画出相应的正方形得：
连接AC，与BD交于点M，
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥DB，M分别为BD、AC的中点，
∵D（0，3），B（0，﹣1），
∴DB＝OD+OB＝3+1＝4，OM＝MB﹣OB＝2﹣1＝1，
∴AM＝MC＝DM＝BM＝2，
则A的坐标为（﹣2，1），
同理可得C的坐标为（2，1），
∵二次函数顶点坐标为B（0，﹣1），且过A和C点，
∴设二次函数解析式为y＝ax2﹣1，
将A的坐标（﹣2，1）代入二次函数解析式得：1＝a（﹣2）2﹣1，
解得：a＝，
则二次函数解析式为y＝x2﹣1．
故答案为：（﹣2，1）；y＝x2﹣1
5．解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），
代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x＝1；
（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将B与C坐标代入得：，
解得：k＝，b＝0，
∴直线BC解析式为y＝x，
当x＝1时，y＝，
则t的范围为﹣4≤t≤．
6．解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2，
故答案为：2；
（2）当x＝2时，y＝4a﹣8a+4＝﹣4a+4，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴y＝﹣4a+4＝0，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣4x+4．
（3）如图：
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴当x＝0和x＝4时，y＝4，
∵x2≥4，a＞0，y1≤y2，
∴，
∴1≤t≤3．
7．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4
＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，
∵抛物线顶点在x轴上，
即当x＝﹣1时，y＝0，
∴3a2﹣a﹣4＝0，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．
（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
8．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
9．解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
10．解：（1）将 A（0，﹣3），B（4，5）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
则抛物线的表达式是y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点M的坐标是（1，﹣4）；
（2）M关于y 轴的对称点N（﹣1，﹣4），由图象知m＝0符合条件，
易求NA解析式为y＝x﹣3，NB解析式为y＝x﹣，
由图示知1＜m≤或m＝0．
11．解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣3+4m＝﹣（x﹣m）2+4m﹣3，
对称轴是对称轴是直线x＝1，
∴m＝1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x；
（2）如图1：
当x＝3时，y＝﹣x2+2x＝﹣9+6＝﹣3，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
则E（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，﹣3），
由图象可知，﹣1＜n＜3时，y1＞y2；
（3）由题意可得M′（﹣p，q），翻折后的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x，
∴结合﹣1＜p＜2，确定动点M及M′，
当x＝﹣1时，y＝﹣3；当x＝2时，y＝0，
因为动点M与M’关于y轴对称，所以图象确定如下，如图2，
当过（1，﹣3）时，代入 y＝kx﹣4，k＝1，
当过（﹣2，0）时，代入 y＝kx﹣4，k＝﹣2，
综上所述：k＞1或k＜﹣2．
12．解：（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的表达式中，
得：，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，3）．
抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）．
设直线PB解析式为y＝kx+b，
将点P（﹣3，4）、B（3，0）代入，得：
，
解得：，
∴直线PB的表达式为，
∴与y轴交于点E（0，2）．
∵直线PD平行于x轴，
∴与y轴交于点F（0，4）．
由图象可知，当过点P的直线与y轴交点在C、E（含点C，不含点E）之间时，与图象G有唯一公共点，
另外，直线PD与图象G也有唯一公共点，
但此时m＝0．
∴n的取值范围是2＜n≤3．
13．解：（1）抛物线的对称轴为x＝＝m．
故答案为：m．
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣2m2x+2＝2，
∴点A（0，2）．
∵AB∥x轴，且点B在直线x＝4上，
∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+2．
（3）当m＞0时，如图1．
∵A（0，2），
∴要使0≤xp≤4时，始终满足yp≤2，只需使抛物线y＝mx2﹣2m2x+2的对称轴与直线x＝2重合或在直线x＝2的右侧．
∴m≥2；
当m＜0时，如图2，
在0≤xp≤4中，yp≤2恒成立．
综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．
14．解：（1）设抛物线y＝ax2+bx+c
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，0）、（1，﹣1）、（﹣2，14）三点，
∴，
解得：．
则这个二次函数的表达式为y＝2x2﹣3x；
（2）①当t＝1时，直线y＝x+t（t≤1）可化为y＝x+1，
代入二次函数解析式y＝2x2﹣3x得，2x2﹣4x﹣1＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
故直线与抛物线有两个不同的交点．
②当直线与抛物线相切时t取得最小值，
把y＝x+t代入抛物线y＝2x2﹣3x得，2x2﹣4x﹣t＝0．
△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣t）＝0，
即t＝﹣2，
故t的取值范围是﹣2＜t≤1．
15．解：（1）n1＝n2．理由如下：
∵y＝ax2﹣4ax+b＝a（x﹣2）2+b﹣4a，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴P1（1，n1）、P2（3，n2）两点关于对称轴对称，
∴n1＝n2．
（2）①当a＜0时，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+1；
②当a＞0时，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+4．
综上可知：抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+1或y＝x2﹣3x+4．
16．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）
∴
解得m＝﹣2，n＝3
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）经过点B，
∴﹣×1+b＝0，
∴解得b＝
∴y＝﹣x+
设M（m，﹣m+），则N（m，﹣m2﹣2m+3），
∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+）＝﹣m2﹣m+＝﹣（m+）2+，
∴MN的最大值为．
17．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣3，0）和（1，0）．
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）此抛物线如图所示．
（3）2＜t≤4．
如图，
由图象可知点B纵坐标t的取值范围为2＜t≤4．
18．解：∵二次函数的图象对称轴是直线x＝﹣2，最高点的纵坐标为4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），
∴设y＝a（x+2）2+4（a≠0），
∵二次函数的图象经过原点，
∴代入（0，0）点，则有0＝a（0+2）2+4，解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣4x．
19．解：（1）∵对称轴为，∴．
∵b＝1，∴a＝﹣1．
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
顶点坐标为）．
（2）∵代数式﹣x2+x+2的值为正整数，
即（1）中的二次函数y＝﹣x2+x+2的函数值y为正整数．
由（1）知，y的最大值是，∴符合题意的y值有：2和1．
∴当y＝2时，有﹣x2+x+2＝2．解得x1＝0或x2＝1；
当y＝1时，有﹣x2+x+2＝1．解得．
即所求的x的值为0，1，，．
20．解：根据题意可知：△＝（2b）2﹣4（﹣1）b＝0，
解之得：b＝0或b＝﹣1，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴b＝﹣1．
∴此二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
21．解：∵抛物线y＝﹣x2+（m+2）x+3m﹣20经过（1，﹣3）点，
∴﹣12+（m+2）+3m﹣20＝﹣3，
整理，得4m﹣19＝﹣3，
解得m＝4，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣8．
令y＝0，可得﹣x2+6x﹣8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），
∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，1）．
22．解：∵直线y＝mx+n经过P（1，7），M（0，6），
∴，
解得，
∴直线的解析式为y＝x+6，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，7），
∴y＝a（x﹣1）2+7，
∵抛物线经过点A（0，6），
∴a（0﹣1）2+7＝6，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．
答：直线的解析式为y＝x+6，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．
23．解：（1）由题意得，
解得所以所求抛物线解析式为y＝2x2+x﹣2．
配方得．
所以此抛物线的对称轴为直线；
（2）因为a＞0，所以当时，函数有最小值，
这个函数的最小值为．
24．解：（1）把点（0，﹣3），（﹣2，5）代入y＝ax2+bx+c，
得，，解得
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴图象的顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）画函数图象的其余部分如图所示．
（3）依题意，得：n2﹣2n﹣3＝﹣2n，解得n＝±．
1．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
2．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．
所有正确结论的序号为 ．
4．如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B，D的坐标分别为B（0，﹣1），D（0，3），A点在第二象限．则A点的坐标为 ，以B点为顶点，经过A，C两点的抛物线的解析式为 ．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4．
（1）抛物线的对称轴是直线x＝ ；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的解析式；
（3）若a＞0，对于抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
7．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
8．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），B（4，5）．
（1）求此抛物线表达式及顶点M的坐标；
（2）设点M关于y轴的对称点是N，此抛物线在A，B两点之间的部分记为图象W（包含A，B两点），经过点N的直线l：y＝mx+n与图象W恰一个有公共点，结合图象，求m的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣3+4m﹣m2的对称轴是直线x＝1
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＞y2，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线y＝kx﹣4（k≠0）有交点，求k的取值范围．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G有唯一公共点，请结合图象，求n的取值范围．
13．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x＝4于B点．
（1）抛物线的对称轴为x＝ （用含m的代数式表示）；
（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；
（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．
14．已知二次函数的图象经过（0，0）、（1，﹣1）、（﹣2，14）三点，
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）设这个二次函数的图象与直线y＝x+t（t≤1），相交于（x1，y1），（x2，y2）两点（x1≠x2），求：t的取值范围．
15．已知：点P（m，n）为抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上一动点．
（1）P1（1，n1），P2（3，n2）为P点运动所经过的两个位置，判断n1，n2的大小，并说明理由；
（2）当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，求抛物线的解析式．
16．二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣3，0）和（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线；
（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的取值范围．
18．已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x＝﹣2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式．
19．已知：抛物线y＝ax2+x+2．
（1）当对称轴为时，求此抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若代数式﹣x2+x+2的值为正整数，求x的值．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2bx+b的图象的顶点在x轴的负半轴上，求出此二次函数的解析式．
21．已知抛物线y＝﹣x2+（m+2）x+3m﹣20经过点（1，﹣3），求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标．
22．已知直线y＝mx+n经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点P（1，7），与抛物线的另一个交点为M（0，6），求直线和抛物线的解析式．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1），B（0，﹣2），C（1，1）．
（1）求抛物线的解析式以及它的对称轴；
（2）求这个函数的最值．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴相交于点（0，﹣3），并经过点（﹣2，5），它的对称轴是x＝1，如图为函数图象的一部分．
（1）求函数解析式，写出函数图象的顶点坐标；
（2）在原题图上，画出函数图象的其余部分；
（3）如果点P（n，﹣2n）在上述抛物线上，求n的值．
参考答案
1．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
2．解：∵函数图象的顶点在x轴上，当x＜1时，y随x的增大而减小；
∴可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，
∵该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同，
∴二次项系数为1，
∴满足条件二次函数表达式可为y＝（x﹣1）2．
故答案为y＝（x﹣1）2．
3．解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线y1的表达式为：y1＝﹣x2+x+3，顶点（，）；
同理可得：y2＝﹣x2+x+3，顶点坐标为：（，）；
y3＝﹣x2+x+3，顶点坐标为（1，）；
y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；
①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；
②当x＜0时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意；
③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意；
④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．
故答案为：①④．
4．解：根据题意画出相应的正方形得：
连接AC，与BD交于点M，
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥DB，M分别为BD、AC的中点，
∵D（0，3），B（0，﹣1），
∴DB＝OD+OB＝3+1＝4，OM＝MB﹣OB＝2﹣1＝1，
∴AM＝MC＝DM＝BM＝2，
则A的坐标为（﹣2，1），
同理可得C的坐标为（2，1），
∵二次函数顶点坐标为B（0，﹣1），且过A和C点，
∴设二次函数解析式为y＝ax2﹣1，
将A的坐标（﹣2，1）代入二次函数解析式得：1＝a（﹣2）2﹣1，
解得：a＝，
则二次函数解析式为y＝x2﹣1．
故答案为：（﹣2，1）；y＝x2﹣1
5．解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），
代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x＝1；
（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将B与C坐标代入得：，
解得：k＝，b＝0，
∴直线BC解析式为y＝x，
当x＝1时，y＝，
则t的范围为﹣4≤t≤．
6．解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2，
故答案为：2；
（2）当x＝2时，y＝4a﹣8a+4＝﹣4a+4，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴y＝﹣4a+4＝0，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣4x+4．
（3）如图：
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴当x＝0和x＝4时，y＝4，
∵x2≥4，a＞0，y1≤y2，
∴，
∴1≤t≤3．
7．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4
＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，
∵抛物线顶点在x轴上，
即当x＝﹣1时，y＝0，
∴3a2﹣a﹣4＝0，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．
（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
8．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
9．解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
10．解：（1）将 A（0，﹣3），B（4，5）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
则抛物线的表达式是y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点M的坐标是（1，﹣4）；
（2）M关于y 轴的对称点N（﹣1，﹣4），由图象知m＝0符合条件，
易求NA解析式为y＝x﹣3，NB解析式为y＝x﹣，
由图示知1＜m≤或m＝0．
11．解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣3+4m＝﹣（x﹣m）2+4m﹣3，
对称轴是对称轴是直线x＝1，
∴m＝1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x；
（2）如图1：
当x＝3时，y＝﹣x2+2x＝﹣9+6＝﹣3，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
则E（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，﹣3），
由图象可知，﹣1＜n＜3时，y1＞y2；
（3）由题意可得M′（﹣p，q），翻折后的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x，
∴结合﹣1＜p＜2，确定动点M及M′，
当x＝﹣1时，y＝﹣3；当x＝2时，y＝0，
因为动点M与M’关于y轴对称，所以图象确定如下，如图2，
当过（1，﹣3）时，代入 y＝kx﹣4，k＝1，
当过（﹣2，0）时，代入 y＝kx﹣4，k＝﹣2，
综上所述：k＞1或k＜﹣2．
12．解：（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的表达式中，
得：，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，3）．
抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）．
设直线PB解析式为y＝kx+b，
将点P（﹣3，4）、B（3，0）代入，得：
，
解得：，
∴直线PB的表达式为，
∴与y轴交于点E（0，2）．
∵直线PD平行于x轴，
∴与y轴交于点F（0，4）．
由图象可知，当过点P的直线与y轴交点在C、E（含点C，不含点E）之间时，与图象G有唯一公共点，
另外，直线PD与图象G也有唯一公共点，
但此时m＝0．
∴n的取值范围是2＜n≤3．
13．解：（1）抛物线的对称轴为x＝＝m．
故答案为：m．
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣2m2x+2＝2，
∴点A（0，2）．
∵AB∥x轴，且点B在直线x＝4上，
∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+2．
（3）当m＞0时，如图1．
∵A（0，2），
∴要使0≤xp≤4时，始终满足yp≤2，只需使抛物线y＝mx2﹣2m2x+2的对称轴与直线x＝2重合或在直线x＝2的右侧．
∴m≥2；
当m＜0时，如图2，
在0≤xp≤4中，yp≤2恒成立．
综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．
14．解：（1）设抛物线y＝ax2+bx+c
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，0）、（1，﹣1）、（﹣2，14）三点，
∴，
解得：．
则这个二次函数的表达式为y＝2x2﹣3x；
（2）①当t＝1时，直线y＝x+t（t≤1）可化为y＝x+1，
代入二次函数解析式y＝2x2﹣3x得，2x2﹣4x﹣1＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
故直线与抛物线有两个不同的交点．
②当直线与抛物线相切时t取得最小值，
把y＝x+t代入抛物线y＝2x2﹣3x得，2x2﹣4x﹣t＝0．
△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣t）＝0，
即t＝﹣2，
故t的取值范围是﹣2＜t≤1．
15．解：（1）n1＝n2．理由如下：
∵y＝ax2﹣4ax+b＝a（x﹣2）2+b﹣4a，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴P1（1，n1）、P2（3，n2）两点关于对称轴对称，
∴n1＝n2．
（2）①当a＜0时，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+1；
②当a＞0时，有，
解得：，
此时抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+4．
综上可知：抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+1或y＝x2﹣3x+4．
16．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）
∴
解得m＝﹣2，n＝3
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）经过点B，
∴﹣×1+b＝0，
∴解得b＝
∴y＝﹣x+
设M（m，﹣m+），则N（m，﹣m2﹣2m+3），
∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+）＝﹣m2﹣m+＝﹣（m+）2+，
∴MN的最大值为．
17．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣3，0）和（1，0）．
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）此抛物线如图所示．
（3）2＜t≤4．
如图，
由图象可知点B纵坐标t的取值范围为2＜t≤4．
18．解：∵二次函数的图象对称轴是直线x＝﹣2，最高点的纵坐标为4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），
∴设y＝a（x+2）2+4（a≠0），
∵二次函数的图象经过原点，
∴代入（0，0）点，则有0＝a（0+2）2+4，解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣4x．
19．解：（1）∵对称轴为，∴．
∵b＝1，∴a＝﹣1．
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
顶点坐标为）．
（2）∵代数式﹣x2+x+2的值为正整数，
即（1）中的二次函数y＝﹣x2+x+2的函数值y为正整数．
由（1）知，y的最大值是，∴符合题意的y值有：2和1．
∴当y＝2时，有﹣x2+x+2＝2．解得x1＝0或x2＝1；
当y＝1时，有﹣x2+x+2＝1．解得．
即所求的x的值为0，1，，．
20．解：根据题意可知：△＝（2b）2﹣4（﹣1）b＝0，
解之得：b＝0或b＝﹣1，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴b＝﹣1．
∴此二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
21．解：∵抛物线y＝﹣x2+（m+2）x+3m﹣20经过（1，﹣3）点，
∴﹣12+（m+2）+3m﹣20＝﹣3，
整理，得4m﹣19＝﹣3，
解得m＝4，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣8．
令y＝0，可得﹣x2+6x﹣8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），
∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，1）．
22．解：∵直线y＝mx+n经过P（1，7），M（0，6），
∴，
解得，
∴直线的解析式为y＝x+6，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，7），
∴y＝a（x﹣1）2+7，
∵抛物线经过点A（0，6），
∴a（0﹣1）2+7＝6，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．
答：直线的解析式为y＝x+6，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．
23．解：（1）由题意得，
解得所以所求抛物线解析式为y＝2x2+x﹣2．
配方得．
所以此抛物线的对称轴为直线；
（2）因为a＞0，所以当时，函数有最小值，
这个函数的最小值为．
24．解：（1）把点（0，﹣3），（﹣2，5）代入y＝ax2+bx+c，
得，，解得
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴图象的顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）画函数图象的其余部分如图所示．
（3）依题意，得：n2﹣2n﹣3＝﹣2n，解得n＝±．