2021-2022学年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一．选择题
1．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．如图，以BC为边的三角形有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△ABC＝4cm2，则S△BFF＝（　　）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm2
5．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
6．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（　　）
A．15 B．16 C．19 D．26
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线垂直且相等
C．对角线相等的矩形是正方形
D．位似图形一定是相似图形
8．如图所示的图形中，三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．下列命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．角是轴对称图形
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB＝2∠ADB；
③∠ADC＝90°﹣∠ABD；
④BD平分∠ADC；
⑤∠BDC＝∠BAC．
其中正确的结论有（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题
11．如图，∠ADB是△　 　和△　 　的外角；以AC为一边长的三角形有　 　个．
12．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|的结果为　 　．
13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是　 　．
14．命题“如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是　 　 命题（填“真”或“假”）．
15．用一组a、b、c的值说明命题“若a＞b，则ac＞bc”错误的，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
16．若线段AD是△ABC的中线，且BD＝3，则BC长为　 　．
17．一个三角形的周长为81cm，三边长的比为2：3：4，则最长边比最短边长 　 　．
18．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成　 　个三角形．
19．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为36cm2，则△BEF的面积＝　 　．
20．已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数为　 　．
三．解答题
21．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正偶数解，试求第三边的长x．
22．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．
23．已知，如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，试确定∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE，∠B，∠C的数量关系，并证明你的结论．
24．观察以下图形，回答问题：
（1）图②有　 　个三角形；图③有　 　个三角形；图④有　 　个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　个三角形（用含n的代数式表示结论）．
25．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
26．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
27．已知，如图，在平面直角坐标系中，S△ABC＝24，OA＝OB，BC＝12，求△ABC三个顶点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：图中三角形的个数是5个，
故选：C．
2．解：以BC为边的三角形有△BCN，△BCO，△BMC，△ABC，
故选：B．
3．解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．
故选：C．
4．解：∵点D、E分别是边BC、AD上的中点，
∴S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，
S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，
∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∵点F是边CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC，
∵S△ABC＝4cm2，
∴S△BFF＝×4＝1（cm2）．
故选：B．
5．解：如图：
∵m∥n，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
6．解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．
由于第三边的长为偶数，
则a可以为4或6或8或10．
∴三角形的周长是 5+7+4＝16或5+7+6＝18或5+7+8＝20或5+7+10＝22．
故选：B．
7．解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；
B、矩形的对角线平分且相等，错误；
C、对角线相等、垂直且平分的矩形是正方形，错误；
D、位似图形一定是相似图形，正确；
故选：D．
8．解：三角形的个数有△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC，
故选：C．
9．解：A、同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，符合题意；
D、角是轴对称图形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
10．解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，∴⑤正确；
即正确的有4个，
故选：B．
二．填空题
11．解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；
以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；
故答案为：ADC，DFC，4．
12．解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（c﹣a﹣b）
＝a+b﹣c﹣c+a+b
＝2a+2b﹣2c
故答案为：2a+2b﹣2c．
13．解：∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE＝30°，
∴∠DEB＝∠D+∠DAE＝45°+30°＝75°，
即∠α的度数是75°．
故答案为：75°．
14．解：如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如a＞b，则a2＞b2，
假设a＝1，b＝﹣2，此时a＞b，但a2＜b2，即此命题为假命题．
故答案为：假．
15．解：当a＝1，b＝﹣1，c＝0时，1＞﹣1，而1×0＝0×（﹣1），
∴命题“若a＞b，则ac＞bc”是错误的，
故答案为：1；﹣1，0．（答案不唯一）
16．解：∵AD是△ABC的一条中线，BD＝3，
∴BC＝2BD＝2×3＝6．
故答案为：6．
17．解：设三角形的三边长为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x＝81，
解得：x＝9，
则三角形的三边长分别为：18cm，27cm，36cm，
所以，最长边比最短边长：36﹣18＝18（cm）．
故答案是：18cm．
18．解：三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个．
故答案为：2n+1．
19．解：∵AE＝DE，
∴S△BDE＝S△ABE，S△CDE＝S△ACE，
∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，
∴S△BCE＝S△ABC＝×36＝18（cm2）；
∵EF＝CF，
∴S△BEF＝S△BCF，
∴S△BEF＝S△BCE＝×18＝9（cm2），
即△BEF的面积是9cm2，
故答案为：9cm2．
20．解：①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠A＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠CBE＝ABC＝40°，
∴∠BEC＝90°﹣40°＝50°；
②如图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE＝∠ABC＝40°，
∴∠BEC＝90°+40°＝130°；
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE＝40°，∠ACB＝40°，
∴∠BEC＝180°﹣40°﹣40°﹣90°＝10°．
综上所述，∠BEC的度数为10°、50°、130°．
故答案为：10°、50°、130°．
三．解答题
21．解：原不等式可化为5（x+1）＞20﹣4（1﹣x），解得x＜11，
∵x是它的正整数解，
∴根据三角形第三边的取值范围，得8＜x＜12，
∵x是正偶数，
∴x＝10．
∴第三边的长为10．
22．解：设三边长分别为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x＝36，
解得：x＝4．
则a＝2×4＝8（cm），
b＝3×4＝12（cm），
c＝4×4＝16（cm）．
23．解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
则∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°，
（2）∠DAE＝（∠C﹣∠B），
理由如下：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝90°﹣∠C，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC，
＝∠BAC﹣（90°﹣∠C），
＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C，
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C，
＝（∠C﹣∠B）．
24．解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
25．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
26．证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF．
27．解：∵S△ABC＝BC OA＝24，OA＝OB，BC＝12，
∴OA＝OB＝＝＝4，
∴OC＝8，
∵点O为原点，
∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）．