2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 350.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 12:31:17 | ||
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文档简介
2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷
一．选择题
1．如果x：y＝3：5，那么x：（x+y）＝（ ）
A． B． C． D．
2．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
5．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A．AB2＝AC BC B．BC2＝AC BC C．AC＝BC D．BC＝AC
6．下列判断中，正确的个数有（ ）
（1）全等三角形是相似三角形 （2）顶角相等的两个等腰三角形相似
（3）所有的等边三角形都相似 （4）所有的矩形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）
A．S△ADE：S△ABC＝1：2 B．
C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC
9．如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
二．填空题
11．如图，请补充一个条件： ，使△ACB∽△ADE．
12．若3a＝2b，则a：b＝ ．
13．已知＝，则＝ ．
14．若，则的值为 ．
15．在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，则A、B两地的实际距离为 km．
16．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 cm（结果保留根号）．
17．已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝ ．
18．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
19．如图，△ABC是正三角形，D、E分别是BC、AC上的点，当∠ADE＝ 时，△ABD∽△DCE．
20．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝ ．
三．解答题
21．已知，求和的值．
22．已知，求m的值．
23．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN＝1，BC＝3，求线段PQ的长．
24．在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？
25．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．
26．以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示．
（1）试求AM、DM的长；
（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
27．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵x：y＝3：5，
∴可设x＝3k，则y＝5k，
则x：（x+y）＝3k：（3k+5k）＝3：8；
故选：B．
2．解：由，设a＝5x，b＝3x，
把a＝5x，b＝3x代入，
故选：B．
3．解：∵，
∴2m﹣2n＝n，
则2m＝3n，
∴＝，
故选：C．
4．解：因为a，b，c，d是成比例线段，
可得：d＝cm，
故选：A．
5．解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴＝，即AC2＝BC AB，故A、B错误；
AC＝AB，故C错误；
BC＝AC，故D正确；
故选：D．
6．解：（1）全等三角形是相似三角形，正确，符合题意；
（2）顶角相等的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；
（3）所有的等边三角形都相似，正确，符合题意；
（4）所有的矩形不一定相似，故错误，不符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
8．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，DE＝BC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：A．
9．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴BE＝BC+EC＝3+＝，
故选：A．
10．解：
∵∠A＝∠A，
分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴DE＝12，
②∠ADE′＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＞AB，不合题意，
故选：A．
二．填空题
11．解：当∠ADE＝∠C（答案不唯一），再由∠BAC＝∠DAE，可得△ACB∽△ADE．
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
12．解：∵3a＝2b，
∴a：b＝2：3．
故答案为2：3．
13．解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
14．解：由合比性质，得
＝＝．
故答案为：．
15．解：∵比例尺为1：50000，量得两地的距离是3厘米，
∴，
∴A、B两地的实际距离＝150000cm＝1.5km．
故答案为：1.5．
16．解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）．
故本题答案为：3（﹣1）．
17．解：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵DF∥BE，
∴△AME∽△ADF，
∴AM：MD＝AE：EF＝4：1＝8：2
∵DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，
∴BD：DC＝EF：FC＝2：3
∴AE：EC＝AE：（EF+FC）＝8：（2+3）
∴AE：EC＝8：5．
18．解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．
19．解：当∠ADE＝60°时，△ABD∽△DCE；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
20．解：∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，
∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，
∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，
∴∠OMC+∠B＝180°，
∴∠MOB+∠BCM＝180°，
∴∠MOB＝90°，
∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∴CM＝AC﹣AM＝8﹣＝．
②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，
∵∠BOC＝∠OMN，
∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC＝∠A，
∵∠MCO＝∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM CA，
∴25＝CM 8，
∴CM＝，
故答案为或．
三．解答题
21．解：∵＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，
∴＝＝，
＝＝．
22．解：由可知：
x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my．
这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z），
当x+y+z≠0时，有m＝2，
当x+y+z＝0时，有x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1．
故m＝2或﹣1．
23．解：∵PQ∥BC，
∴，，
∴MN∥BC，
∴＝＝，
∴，
∴，
∵AP＝AQ，
∴PQ＝3．
24．解：10×3000000＝30000000（厘米），
30000000厘米＝300千米，
设甲车的速度是2x千米/时，则乙车的速度是3x千米/时，根据题意得
3（2x+3x）＝300，
解得x＝20，
2x＝2×20＝40，
3x＝3×20＝60．
答：甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是60千米/时．
25．解：设＝＝＝k，
可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，
解得：k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
则△ABC为直角三角形．
26．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1cm，AD＝2cm，
由勾股定理知PD＝＝＝cm，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1（cm）
DM＝AD﹣AM＝3﹣（cm）；
（2）∵AM2＝（）2＝6﹣2，
AD DM＝2×（3﹣）＝6﹣2，
∴AM2＝AD DM，
所以点M是线段AD的黄金分割点．
27．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
一．选择题
1．如果x：y＝3：5，那么x：（x+y）＝（ ）
A． B． C． D．
2．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
5．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A．AB2＝AC BC B．BC2＝AC BC C．AC＝BC D．BC＝AC
6．下列判断中，正确的个数有（ ）
（1）全等三角形是相似三角形 （2）顶角相等的两个等腰三角形相似
（3）所有的等边三角形都相似 （4）所有的矩形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）
A．S△ADE：S△ABC＝1：2 B．
C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC
9．如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
二．填空题
11．如图，请补充一个条件： ，使△ACB∽△ADE．
12．若3a＝2b，则a：b＝ ．
13．已知＝，则＝ ．
14．若，则的值为 ．
15．在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，则A、B两地的实际距离为 km．
16．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 cm（结果保留根号）．
17．已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝ ．
18．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
19．如图，△ABC是正三角形，D、E分别是BC、AC上的点，当∠ADE＝ 时，△ABD∽△DCE．
20．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝ ．
三．解答题
21．已知，求和的值．
22．已知，求m的值．
23．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN＝1，BC＝3，求线段PQ的长．
24．在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？
25．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．
26．以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示．
（1）试求AM、DM的长；
（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
27．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵x：y＝3：5，
∴可设x＝3k，则y＝5k，
则x：（x+y）＝3k：（3k+5k）＝3：8；
故选：B．
2．解：由，设a＝5x，b＝3x，
把a＝5x，b＝3x代入，
故选：B．
3．解：∵，
∴2m﹣2n＝n，
则2m＝3n，
∴＝，
故选：C．
4．解：因为a，b，c，d是成比例线段，
可得：d＝cm，
故选：A．
5．解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴＝，即AC2＝BC AB，故A、B错误；
AC＝AB，故C错误；
BC＝AC，故D正确；
故选：D．
6．解：（1）全等三角形是相似三角形，正确，符合题意；
（2）顶角相等的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；
（3）所有的等边三角形都相似，正确，符合题意；
（4）所有的矩形不一定相似，故错误，不符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
8．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，DE＝BC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：A．
9．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴BE＝BC+EC＝3+＝，
故选：A．
10．解：
∵∠A＝∠A，
分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴DE＝12，
②∠ADE′＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＞AB，不合题意，
故选：A．
二．填空题
11．解：当∠ADE＝∠C（答案不唯一），再由∠BAC＝∠DAE，可得△ACB∽△ADE．
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
12．解：∵3a＝2b，
∴a：b＝2：3．
故答案为2：3．
13．解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
14．解：由合比性质，得
＝＝．
故答案为：．
15．解：∵比例尺为1：50000，量得两地的距离是3厘米，
∴，
∴A、B两地的实际距离＝150000cm＝1.5km．
故答案为：1.5．
16．解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）．
故本题答案为：3（﹣1）．
17．解：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵DF∥BE，
∴△AME∽△ADF，
∴AM：MD＝AE：EF＝4：1＝8：2
∵DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，
∴BD：DC＝EF：FC＝2：3
∴AE：EC＝AE：（EF+FC）＝8：（2+3）
∴AE：EC＝8：5．
18．解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．
19．解：当∠ADE＝60°时，△ABD∽△DCE；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
20．解：∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，
∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，
∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，
∴∠OMC+∠B＝180°，
∴∠MOB+∠BCM＝180°，
∴∠MOB＝90°，
∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∴CM＝AC﹣AM＝8﹣＝．
②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，
∵∠BOC＝∠OMN，
∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC＝∠A，
∵∠MCO＝∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM CA，
∴25＝CM 8，
∴CM＝，
故答案为或．
三．解答题
21．解：∵＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，
∴＝＝，
＝＝．
22．解：由可知：
x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my．
这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z），
当x+y+z≠0时，有m＝2，
当x+y+z＝0时，有x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1．
故m＝2或﹣1．
23．解：∵PQ∥BC，
∴，，
∴MN∥BC，
∴＝＝，
∴，
∴，
∵AP＝AQ，
∴PQ＝3．
24．解：10×3000000＝30000000（厘米），
30000000厘米＝300千米，
设甲车的速度是2x千米/时，则乙车的速度是3x千米/时，根据题意得
3（2x+3x）＝300，
解得x＝20，
2x＝2×20＝40，
3x＝3×20＝60．
答：甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是60千米/时．
25．解：设＝＝＝k，
可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，
解得：k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
则△ABC为直角三角形．
26．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1cm，AD＝2cm，
由勾股定理知PD＝＝＝cm，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1（cm）
DM＝AD﹣AM＝3﹣（cm）；
（2）∵AM2＝（）2＝6﹣2，
AD DM＝2×（3﹣）＝6﹣2，
∴AM2＝AD DM，
所以点M是线段AD的黄金分割点．
27．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．