13.3.1等腰三角形 同步练习2021-2022学年人教版数学八年级上册（Word版含答案）

等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
2．如图，中，，，BD、CE分别为与的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
3．如图，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连接AD，BD＝CD，∠C＝30°，则∠BAD的度数是( )
A．50° B．60° C．80° D．100°
4．如图，N，C，A三点在同一直线上，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10．若△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数为（ ）
A．20° B．25° C．28° D．30°
5．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．已知∶如图，在中，，，．以点B为圆心，为半径画弧，交于点D，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
7．如图在ABC中，AB=AC，点O为边BC上的任一点，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，已知腰长为6，面积为15，则OE+OF=（ ）
A．5 B．7.5 C．9 D．10
8．如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC，把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝40°，则∠CBD的度数为（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
9．如图，在Rt中，，，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CB于点T，连接AT，则的度数是（ ）
A．64° B．24° C．21° D．16°
10．如图，ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则AMN的周长等于（ ）
A．17 B．15 C．12 D．11
11．已知：中，，为边上一点，，，于，延长线交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在等腰直角ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延长AB至点D，使得AD＝AC，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作BG∥DF交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（ ）
①∠BCD＝∠CAE；②点G为AC中点；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．等腰三角形的底角比顶角大30°，则此三角形的底角是___．
14．中，，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了和的两部分，求这个三角形的腰长______ cm．
15．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是________．
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，若AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF＝54°，则∠A＝________°．
17．如图，在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积为 ___________ ．
三、解答题
18．如图，一艘船从A处出发，以的速度向正北航行，经过到达B处．分别从A，B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
19．已知：如图，．
求证：是等腰三角形．
20．如图，在中，平分，交于点D，过点D作，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
21．如图，在中，，点D，E都在边上，且，那么与相等吗？请证明你的结论．
22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
23．在中，，，，D为上一点，连接，过点C作于点E．
（1）如图1，过点B作交的延长线于点F，求证：；
（2）如图2，若D为的中点，的延长线交于点M，连接．求证：；
参考答案
1．B
解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：B．
2．C
解：∵在ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝∠A＝36°，
∴AE＝CE，AD＝BD，BF＝CF，
∴ABC，ABD，ACE，BFC是等腰三角形，
∵∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCE＝72°，∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝72°，∠EFB＝∠DFC＝∠CBD+∠BCE＝72°，
∴∠BEF＝∠BFE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CDF＝∠CFD＝72°，
∴BE＝BF，CF＝CD，BC＝BD＝CE，
∴BEF，CDF，BCD，CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故选：C．
3．B
解：∵的垂直平分线分别交、于点和点，
∴，
∵，
∴．
∵是的外角，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：B．
4．A
解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，
∵△MNC≌△ABC，
∴∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，
∴∠NBC＝∠N＝50°，
∴∠BCN＝180° ∠N ∠NBC＝80°，
∴∠BCM＝∠NCM ∠BCN＝100° 80°＝20°．
故选：A．
5．B
解：∵∠BAC＝100°，
∴∠C＋∠B＝180° 100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，
∴∠EAG＝100° 80°＝20°，
故选：B．
6．A
解：，
，
．
由作图可知，，
，
，
，
，
故选：A．
7．A
解：如图所示，连接AO，过点C作，交AB于点H，
∴，
，
解得，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
又∵AB=AC，
∴，
故选A．
8．B
解：∵AC＝BC，∠BAC＝40°，
∵∠ABC＝∠BAC＝40°，
由折叠的性质可得：∠CAD＝∠BAC＝40°，AB＝AD，
∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝80°，
∴∠ABD＝ （180°﹣∠BAD）＝50°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABD＝10°．
故选：B．
9．C
解：由题意可得，BT＝AB，
∴△BTA是等腰三角形，
∵∠CAB＝90°，∠C＝48°，
∴∠B＝90° 48°＝42°，
∴
∴∠CAT＝∠BTA ∠C＝69° 48°＝21°，
故选：C．
10．C
解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝7，AC＝5，
∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AB＋AC＝7＋5＝12．
故答案为：C．
11．A
解：过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，
∵AB＝AD，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠DAM，BM＝DM，
∵BH⊥AD，
∴∠HBD＋∠HDB＝90°，
又∵∠HDB＋∠MAD＝90°，
∴∠HBD＝∠MAD，
∴∠HBD＝∠BAM＝∠MAD，
∵∠C＝45°，
∴∠MAC＝∠FEC＝45°，
∵∠AEB＝∠C＋∠EBC＝45°＋∠EBC，∠BAC＝∠MAC＋∠BAM＝45°＋∠BAM，
∴∠AEB＝∠BAC，
∴AB＝BE，
在△ABM和△BEF中，，
∴△ABM≌△BEF（AAS），
∴EF＝BM＝1，
∴CE＝EF＝，
故选：A．
12．C
解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD，
∴∠BCD＋∠CFE＝90°，CF＝DF，
∵∠CBA＝90°，
∴∠DAE＋∠BFA＝90°，
∵∠CFE＝∠BFA，
∴∠BCD＝∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，
故①正确；
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°，
∵∠BCD＝∠DAE，
∴△BCD≌△BAF（ASA），
∴BD＝BF，CD＝FA，
∵AE是△ACD的中线，
∴CD＝FA＝2DE，
故③正确；
∵CB＝BF＋CF，CF＝DF，BF＝BD，
∴AB＝BD＋DF，
故④正确；
∵BD＝BF，∠DBC＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
∵BG∥DF，
∴∠ABG＝∠BDF＝45°，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
∵BA＝BC，
∴点G为AC中点，
故②正确；
由图可知
故⑤不正确，
故正确的有①②③④，共计4个．
故选：C．
13．70°
解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x＋30）°，根据题意，
得x＋2（x＋30）＝180，
解得 x＝40．
∴x＋30=70，
故答案为：70°．
14．8
解：
如图所示，设，，则，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：（不能构成三角形），
．
故答案为：8．
15．84°
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，
∴∠O＝∠ODC＝24°，
∴．
故答案为：84°．
16．72
解：∵AB＝AC，
∴∠B=∠C
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠EDC，
∴∠B＝∠EDF＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
故答案为：72．
17．12
解：如图示
在中，，，
，，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：12．
18．．
解：根据题意得：AB＝18×10＝，
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC ∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝．
即从B处到灯塔C的距离是．
19．证明见解析
解：∵，
∴．
∴（全等三角形的对应角相等）．
∴（等角对等边）．
∴是等腰三角形．
20．等腰三角形，理由见解析．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
21．，证明见解析．
解：，理由如下：
，，
，，
即，
在和中，，
，
，
，
即．
22．（1）见解析；（2）∠BAC=80°．
解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF；
（2）∵∠BDE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠C=50°，
∴∠BAC=100°-50°-50°=80°．
23．（1）见解析；（2）见解析
解：（1）∵BF⊥BC，CE⊥AD，
∴∠AEC=∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBF（ASA）；
（2）过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，如图所示：
由（1）得：△ACD≌△CBF，
∴∠ADC=∠F，CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BD=BF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵∠CBF=90°，
∴∠FBM=90°-45°=45°，
∴∠DBM=∠FBM，
又∵BM=BM，
∴△BDM≌△BFM（SAS），
∴∠BDM=∠F，
∴∠BDM=∠ADC．