相似三角形复习

(共29张PPT)
了解比例线段,比例中项,比例的基本性质;
会解对应关系不唯一的相似三角形的多解问题;
能找准动点问题中的不变关系.
1. 成比例的数（线段）：
叫做四个数成比例.
那么
或
若
,
:
:
c
b
a
d
d
c
b
a
d
c
b
a
=
=
,
,
,
若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果
（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d
叫做成比例的线段，简称比例线段.
a c
b d
=
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
比例的性质：
bc
ad
d
c
b
a
=

=
;
若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果
（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d
叫做成比例的线段，简称比例线段.
a c
b d
=
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= ___
6
2.下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4
练习:
D
解： x：(x+2)=(2—x)：3
3x=(x+2)(2-x)
3x=4-x2
x 2 +3x-4=0
(x+4)(x-1)=0
x=-4 x=1
3、已知 (1) x：(x+2)=(2—x)：3，求x.
x为-4或1.
3、(2)若 ， 求 .
=
-
2x
3y
+
y
x
1
2
y
x
解： 2(2x-3y)=x+y
4x-6y=x+y
3x=7y
x:y=7:3
2.比例中项：
当两个比例内项相等时，
即
a b
b c
= ，
(或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
2
ac
b
=
即：
定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比.
∽
ABC A’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么 A’B’C’与
ABC的相似比为_________.
三角形相似的判定方法有哪几种
预备定理
A
B
C
D
E
D
E
A
B
C
∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC
相似三角形判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似 (AA)
A
B
C
D
E
F
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)
△ABC∽△DEF
A
B
C
D
E
F
相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.(SSS)
A
B
C
D
E
F
△ABC∽△DEF
A
D
E
B
A
C
B
A
B
C
D
△ADE绕点A
旋转
D
C
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
B
C
A
D
E
点E移到与C点
重合
∠ACB=Rt∠
CD⊥AB
相似三角形基本图形的回顾：
相似三角形的性质：
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例;
2、相似三角形的周长比等于相似比，
相似三角形对应高的比等于相似比,
相似三角形对应角平分线的比等于相似比,
相似三角形对应中线的比等于相似比；
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方.
二.知识应用:
4.找一找: 学案4
(1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似.
(2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=Rt∠ ,CD⊥ AB于D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC相似.
A
B
C
D
E
F
如图(1)
3
E
A
B
C
D
如图(2)
4
ΔADE,ΔABC,ΔEFC两两相似.
ΔACD,ΔCDE,ΔBDE,ΔBCD都与△ABC相似.
5.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE相似。
E
A
B
C
D
M
N
1或4
或
∴CN=1 或 CN=4
∵正方形ABCD中，∠A=∠C=90°
∴要使△CMN与△ADE相似，
只需
6.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________.
y
·A
B
C
x
·
·
O
·P
（0，1.5）或（0，2/3）
或
OP=2/3 或 OP=1.5
∴P(0,2/3) 或 P(0,1.5)
∵∠POB=∠ACB=90°
∴要使△POB与△ABC相似，
只需
E
A
B
C
.
7、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=____.
F2
F1
或
∴ AF=1.6 或 AF=2.5
∵∠A=∠A
∴要使△AEF与△ABC相似，
只需
1.6或2.5
8、要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少 你有几种答案
解：设另外两边长分别为x和y,则边长2分别对应边长4，5，6时，共有如下三种情况.
x=2.5 y=3
x=1.6 y=2.4
9、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm,30cm,36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm,45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( )种.
解：设另外两边长分别为x和y,则边长27分别对应边长24，30，36时，共有如下三种情况.
x=33.75 y=40.5
x=21.6 y=32.4
x=18 y=22.5
边长45分别对应边长24，30，36时，也有如下三种情况.
x=56.25 y=67.5
x=36 y=54
x=30 y=37.5
满足另外两边的和x+y≤45的只有第(3)种情况.
B
C
A
Q
P
8
16
2cm/秒
4cm/秒
10、在 ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟 BPQ与 BAC相似？
或
∴ x=2 或 x=0.8
解:设经x秒钟 BPQ与 BAC相似,
则AP=2x,BQ=4x,
∵AB=8,BC=16∴BP=AB-AP=8-2x
∵∠B=∠B
∴要使 BPQ与 BAC相似，只需
∴经2秒或0.8秒钟 BPQ与 BAC相似.
11、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,BC=9,如果动点D以每秒2个单位长的速度,从点B出发沿BA边向点A运动,直线DE//BC,交AC于E.记x秒时DE的长度为y,写出y关于x的函数关系式,并画出它的图象.
A
y
D E
B C
∴ y=-2.25x+9
(0≤x≤9)
解:∵DE//BC
∴ ADE∽ ABC
∴
∵AB=8,BC=9,BD=2x
∴AD=AB-BD=8-2x
0 4 x
y
9
12、如图,四边形ABCD是矩形,点F在对角线AC上运动,EF//BC,FG//CD,四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗 证明你的结论.
∵ ∠BAD=∠EAG ∴ ∠BCD=∠EFG
∴四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似.
B C
A G D
E F
证明:∵EF//BC
∴ AEF∽ ABC ∠AEF=∠B
∴
∵FG//CD
∴ AFG∽ ACD ∠AGF=∠D
∴
∴
13、如图,在长为10cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,留下矩形的面积是多少
解:设留下矩形的宽为xcm,
由题意得:
x=3.6
3.6×6=21.6
答:留下矩形的面积是21.6cm2.
1.了解比例线段,比例中项,比例的基本性质;
注意比例的顺序.
2.会解对应关系不唯一的相似三角形的多解问题;
理解多解产生的原因.
3.能找准动点问题中的不变关系.
注意字母的取值范围.
如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.
求△ABC的面积.
A
B
C
D
E
F
25
36
解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C
∴△ADE∽△EFC
∴
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵ S△ADE=25
∴S △ABC=121
∴
∴
∴